?數(shù)學(xué)試題
一、選擇題（本大題共有8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1. －3的倒數(shù)是（ ）
A. 3 B. －3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，即可計(jì)算出結(jié)果．
【詳解】解：－3的倒數(shù)是；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)的定義：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．
2. 下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可，軸對(duì)稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．
【詳解】A.是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
B.不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C.不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D.不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3. 2021年12月9日，“天宮課堂”正式開課，我國(guó)航天員在中國(guó)空間站首次進(jìn)行太空授課，本次授課結(jié)束時(shí)，網(wǎng)絡(luò)在線觀看人數(shù)累計(jì)超過(guò)14600000人次．把“14600000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的具體要求．
4. 在體育測(cè)試中，7名女生仰臥起坐的成績(jī)?nèi)缦拢ù?分鐘）：38，42，42，45，43，45，45，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）
A. 38 B. 42 C. 43 D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：∵45出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，
∴眾數(shù)為45．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了求眾數(shù)，掌握眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
5. 函數(shù)中自變量的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)自變量取值范圍，二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
6. 的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形，其最長(zhǎng)邊為12，則的周長(zhǎng)是（ ）
A. 54 B. 36 C. 27 D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長(zhǎng)邊為4，△DEF的最長(zhǎng)邊為12，
∴兩個(gè)相似三角形的相似比為1:3，
∴△DEF的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)比為3:1，
∴△DEF的周長(zhǎng)為3×（2+3+4）=27，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似之比是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（ ）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)OC作OD⊥AB于點(diǎn)D，


∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴陰影部分的面積為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計(jì)算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．
8. 如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（ ）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】由折疊的性質(zhì)知∠FGE=90°，∠GEC=90°，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，
∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°，
同理∠GEC=90°，
∴GF∥EC；故①正確；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO，GA=GO，
∴DG=GO=GA，即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，
同理可得點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，則DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，
∴GC=3a，
在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，
即(3a)2=a2+(2b)2，
∴b=，
∴AB=2=AD，故②不正確；
設(shè)DF=FO=x，則FC=2b-x，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
即(2b-x)2=x2+(2a)2，
∴x==，即DF=FO=，
GE=a，
∴，
∴GE=DF；故③正確；
∴，
∴OC=2OF；故④正確；
∵∠FCO與∠GCE不一定相等，
∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正確；
綜上，正確的有①③④，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．
二、填空題（本大題共8小題，不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 計(jì)算：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接運(yùn)用合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：

．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)，熟練掌握合并同類項(xiàng)法則是解答本題的關(guān)鍵．
10. 已知∠A的補(bǔ)角是60°，則_________．
【答案】120
【解析】
【分析】如果兩個(gè)角的和等于180°，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．由此定義即可求解．
【詳解】解：∵∠A的補(bǔ)角是60°，
∴∠A=180°-60°=120°，
故答案為：120．
【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)角的定義，熟練掌握兩個(gè)角互為補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．
11. 寫出一個(gè)在1到3之間的無(wú)理數(shù)：_________．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】由于12=1，32=9，所以只需寫出被開方數(shù)在1和9之間的，且不是完全平方數(shù)的數(shù)即可求解．
【詳解】解：1和3之間的無(wú)理數(shù)如．
故答案為：(答案不唯一)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查常見(jiàn)無(wú)理數(shù)的定義和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是估算無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分．
12. 若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則的值是___．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義把代入到進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解是，
∴，
∴，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，為切點(diǎn)，連接，與⊙交于點(diǎn)，連接．若，則_________．


【答案】49
【解析】
【分析】利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求得∠B=∠AOD=41°，根據(jù)AC是⊙O的切線得到∠BAC=90°，即可求出答案．
【詳解】解：∵∠AOD=82°，
∴∠B=∠AOD=41°，
∵AC為圓的切線，A為切點(diǎn)，
∴∠BAC=90°，
∴∠C=90°-41°=49°
故答案為49．
【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形兩銳角互余，正確理解圓周角定理及切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則_________．


【答案】
【解析】
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，
由題意得，
∴，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為，則他距籃筐中心的水平距離是_________．

【答案】4
【解析】
【分析】將代入中可求出x，結(jié)合圖形可知，即可求出OH．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得：或，
結(jié)合圖形可知：，
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：投球問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖形確定x的值．
16. 如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_________．

【答案】
【解析】
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BM的長(zhǎng)，即可利用勾股定理求出BH的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于M，
由作圖方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共11小題，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 計(jì)算：．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法，二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)的計(jì)算法則求解即可．
詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
18. 解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

【答案】不等式的解集為x＞1，在數(shù)軸上表示見(jiàn)解析.
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)可得不等式的解集，再根據(jù)“大于向右，小于向左，包括端點(diǎn)用實(shí)心，不包括端點(diǎn)用空心”的原則在數(shù)軸上將解集表示出來(lái)．
試題解析：
去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移項(xiàng)，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同類項(xiàng)，得：x＞1，
將不等式解集表示在數(shù)軸上如圖：

19. 化簡(jiǎn)：．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)異分母分式的加法計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：原式




．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了異分母分式的加法，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
20. 為落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，某校為學(xué)生開展了課后服務(wù)，其中在體育類活動(dòng)中開設(shè)了四種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目：A乒乓球，B排球，C籃球，D跳繩．為了解學(xué)生最喜歡哪一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（每位學(xué)生僅選一種），并將調(diào)查結(jié)果制成如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．
問(wèn)卷情況統(tǒng)計(jì)表：
運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目
人數(shù)
A乒乓球
m
B排球
10
C籃球
80
D跳繩
70

（1）本次調(diào)查的樣本容量是_______，統(tǒng)計(jì)表中m=_________；
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“B排球”對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是_________；
（3）若該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜歡“A乒乓球”的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）200，40
（2）18 （3）約為400人
【解析】
【分析】（1）從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中可知，“C籃球”的人數(shù)80人，占調(diào)查人數(shù)的40%，可求出本次調(diào)查的樣本容量，進(jìn)而求出m的值；
（2）“B排球”的人數(shù)10人，據(jù)此可求得相應(yīng)的圓心角；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以“A乒乓球”的學(xué)生所占的百分比即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：本次調(diào)查的樣本容量是：80÷40%=200（人），
m=200-10-80-70=40；
故答案為：200，40；
【小問(wèn)2詳解】
解：扇形統(tǒng)計(jì)圖中B部分扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角是360°×=18°，
故答案為：18；
【小問(wèn)3詳解】
解：（人），
估計(jì)該校最喜歡“A乒乓球”的學(xué)生人數(shù)約為400人．
【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)表、扇形統(tǒng)計(jì)圖的結(jié)合，從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中獲取數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的前提．
21. “石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢(shì)中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢(shì)相同不分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢(shì)中的1種．
（1）甲每次做出“石頭”手勢(shì)的概率為_________；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕剩?br /> 【答案】（1）
（2）見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；
（2）先畫樹狀圖得出所有等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到乙不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù)，最后利用概率計(jì)算公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵甲每次做出的手勢(shì)只有“石頭”、“剪子”、“布”其中的一種，
∴甲每次做出“石頭”手勢(shì)的概率為；
【小問(wèn)2詳解】
解：樹狀圖如圖所示：

甲、乙兩人同時(shí)做出手勢(shì)共有9種等可能結(jié)果，其中乙不輸?shù)墓灿?種，
∴（乙不輸）．
答：乙不輸?shù)母怕适牵?br /> 【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，利用列表法或樹狀圖法求解概率，熟知概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
22. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”其大意是：今有幾個(gè)人共同出錢購(gòu)買一件物品．每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．問(wèn)人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？請(qǐng)你求出以上問(wèn)題中的人數(shù)和物品價(jià)格．
【答案】有7人，物品價(jià)格是53錢
【解析】
【分析】設(shè)人數(shù)為人，根據(jù)“物品價(jià)格=8×人數(shù)-多余錢數(shù)=7×人數(shù)+缺少的錢數(shù)”可得方程，求解方程即可．
【詳解】解：設(shè)人數(shù)為人，由題意得
，
解得．
所以物品價(jià)格是．
答：有7人，物品價(jià)格是53錢．
【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，由實(shí)際問(wèn)題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系．
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)．點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－2．

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求面積．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）通過(guò)點(diǎn)P坐標(biāo)求出反比例函數(shù)解析式，再通過(guò)解析式求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，從而解出PQ一次函數(shù)解析式；
（2）令PQ與軸的交點(diǎn)為M，則三角形POQ的面積為OM乘以點(diǎn)P橫坐標(biāo)除以2加上OM乘以點(diǎn)Q橫坐標(biāo)除以2即可．
【小問(wèn)1詳解】
將代入，解得，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為．
當(dāng)時(shí)，代入，解得，即．
將、代入，
得，解得．
∴一次函數(shù)表達(dá)式為．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)一次函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)為，

將代入，得，即．
∵，，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)和反比例函數(shù)圍成的三角形面積，掌握拆分法是解本題關(guān)鍵．
24. 我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)處測(cè)得阿育王塔最高點(diǎn)的仰角，再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至處測(cè)得最高點(diǎn)的仰角，；小亮在點(diǎn)處豎立標(biāo)桿，小亮的所在位置點(diǎn)、標(biāo)桿頂、最高點(diǎn)在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）

（1）求阿育王塔的高度；
（2）求小亮與阿育王塔之間的距離．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．
（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
在中，∵，
∴．
∵，
∴．
在中，由，
得，
解得．
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解
答：阿育王塔的高度約為．
【小問(wèn)2詳解】
由題意知，
∴，
即，
∴．
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解
答：小亮與阿育王塔之間的距離約為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，四邊形為平行四邊形，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，且．

（1）求證：四邊形菱形；
（2）若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)、、分別在線段、、上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)四邊形為平行四邊形的性質(zhì)和證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，即可得證；
（2）先根據(jù)菱形對(duì)稱性得，得到，進(jìn)一步說(shuō)明的最小值即為菱形的高，再利用三角函數(shù)即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
又∵點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴四邊形為菱形．
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，由菱形對(duì)稱性得，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，
∴，
當(dāng)、、共線時(shí)，
，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
∵，
∴的最小值即為平行線間的距離的長(zhǎng)，
∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴在中，，，，
∴，
∴的最小值為．

【點(diǎn)睛】本題考查了最值問(wèn)題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法．將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求菱形的高是解答本題的關(guān)鍵．
26. 已知二次函數(shù)，其中．


（1）當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限；
（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值．
【答案】（1）
（2）見(jiàn)解析 （3）最大值為
【解析】
【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案；
（2）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后分別證明頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)都小于0即可；
（3）設(shè)平移后圖像對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點(diǎn)在直線上推出，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可以推出,由此即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：將代入，
解得．
由，則符合題意，
∴，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
解：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限．
【小問(wèn)3詳解】
解：設(shè)平移后圖像對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，，
∴．
將代入，
解得．
∵在軸的負(fù)半軸上，
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
∵，
∴．
在中，

,
∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)，面積有最大值，最大值為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
27. 【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．
【問(wèn)題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．




（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
（2）若點(diǎn)、、在同一條直線上，求點(diǎn)到直線的距離．
（3）連接，取的中點(diǎn)，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
（4）如圖4，為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)到直線的距離的最大值是_____．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）在Rt△BEF中，根據(jù)余弦的定義求解即可；
（2）分點(diǎn)在上方和下方兩種情況討論求解即可；
（3）取的中點(diǎn)，連接，從而求出OG=，得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；
（4）由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，過(guò)O作OH⊥AB于H，當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線的距離的最大，在Rt△BOH中求出OH，進(jìn)而可求GH.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意得，，
∵在中，，，．
∴．
【小問(wèn)2詳解】
①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，
如圖一，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，


∵在中，，，，
∴，
∴．
∵中，，，
，，
∴．
∵點(diǎn)、、在同一直線上，且，
∴．
又∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，
如圖二，


在中，∵，，，
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
在中，，
∴．
綜上，點(diǎn)到直線的距離為．
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖三，取的中點(diǎn)，連接，則．


∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．
當(dāng)三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、B、首次在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的軌跡為所對(duì)的圓弧，圓弧長(zhǎng)為．
∴點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．
【小問(wèn)4詳解】
解：由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
如圖四，過(guò)O作OH⊥AB于H，


當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線的距離的最大，
在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，
∴，
∴，
即點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形等知識(shí)，分點(diǎn)在上方和下方是解第（2）的關(guān)鍵，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解第（3）（4）的關(guān)鍵.

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