專題51 勾股定理的多種證明方法勾股定理具體內(nèi)容是：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2=c2。歷史上證明勾股定理有很多方法，每種方法都含有科學(xué)思維、科學(xué)探究的過程，每一種證明方法都利用數(shù)學(xué)觀念，數(shù)學(xué)知識(shí)。每一種方法都體現(xiàn)一名數(shù)學(xué)家為科學(xué)付出的情懷。在證明勾股定理的長(zhǎng)河中，參與的人有的是學(xué)者，有的是著名的科學(xué)家，還有的是政治家，比如總統(tǒng)。通過學(xué)習(xí)勾股定理的證明，可以品味各種拼圖，方法各異，妙趣橫生，證明思路別具匠心，極富創(chuàng)新。它們充分運(yùn)用了幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，深刻體現(xiàn)了形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特魅力。勾股定理是對(duì)社會(huì)有重大影響的10大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。早在4000多年前，中國(guó)的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測(cè)量?jī)傻氐牡貏?shì)差。迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，各種證法融幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)于一體，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的魅力。數(shù)學(xué)故事：在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德（Garfield）．他發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在談?wù)撝裁矗捎诤闷嫘牡尿?qū)使，伽菲爾德向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么．只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形．于是伽菲爾德便問他們?cè)诟墒裁?？只見那個(gè)小男孩頭也不抬地說：“請(qǐng)問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。【例題1】如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2=c2。【答案】見解析。【解析】用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊為a、b，斜邊為c）按下圖拼法。根據(jù)正方形面積公式得大正方形面積為：S=（a+b）2………這個(gè)大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形面積之和再加上內(nèi)部的小正方形的面積，即：S= 4×ab+ c2……..由得（a+b）2= c2 + 4×ab化簡(jiǎn)可得：a2+b2 = c2從而結(jié)論得到證明。【例題2】用1876年美國(guó)第十七任總統(tǒng)加菲爾德Garfield的方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab/2. 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于c2又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.∴ ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于S=（a+b）2……又因?yàn)檫@個(gè)直角梯形的面積等于三個(gè)小三角形面積之和，即S= 2×ab+c2……由得（a+b）2= 2×ab+c2化簡(jiǎn)：.從而結(jié)論得到證明。 1.用初中教材出現(xiàn)的方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b，所以面積相等. 即左邊圖形面積S=a2+b2 + 4×ab右邊圖形面積S= c2 + 4×aba2+b2 + 4×ab= c2 + 4×ab整理得：從而結(jié)論得到證明。2.利用鄒元治的方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.∴ 四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 它的面積等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于（a+b）2。又因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e等于4個(gè)小三角形面積之和再加上小正方形面積，所以 ∴ .從而結(jié)論得到證明。3.利用趙爽的方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab/2. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2.∵ EF=FG =GH=HE=b-a ,∠HEF=90o.∴ EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b-a的正方形，它的面積等于（b-a）2。.∴ .從而結(jié)論得到證明。4.利用梅文鼎的方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P. ∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.又∵ AB=BE=EG=GA=c，∴ ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即   ∠CBD= 90o.又∵ ∠BDE=90o，∠BCP=90o，BC=BD=a.∴ BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則∴ 從而結(jié)論得到證明。5.利用項(xiàng)明達(dá)的方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a） ，斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作QP∥BC，交AC于點(diǎn)P. 過點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點(diǎn)F作FN⊥PQ，垂足為N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90o，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90o，∴ BCPM是一個(gè)矩形，即∠MBC = 90o.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.這時(shí)我們?nèi)菀字谰匦蜝CPM是邊長(zhǎng)為a的正方形，矩形EFNP是邊長(zhǎng)為b的正方形，設(shè)多邊形FNMBA的面積為S，則∴ 從而結(jié)論得到證明。6.利用歐幾里得的方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD. 過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L. ∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面積等于a2ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴ 矩形ADLM的面積 =.同理可證，矩形MLEB的面積 =.∵ 正方形ADEB的面積= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積∴ ，即 . 從而結(jié)論得到證明。7.利用辛卜松的方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，斜邊的長(zhǎng)為c. 作邊長(zhǎng)是a+b的正方形ABCD.  把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為  =.∴  ,∴  .從而結(jié)論得到證明。8.利用相似三角形性質(zhì)證明勾股定理【答案】見解析。【解析】如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC，∴  ΔADC ∽ ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，即  .同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 .即 .從而結(jié)論得到證明。9.利用楊作玫方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BP⊥AF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為E，DE交AF于H.∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，AD = AB = c，∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = b―a.  ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，∴ DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.  ∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴ TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為                   ① = ，，= .     ②把②代入①，得= = .∴  .從而結(jié)論得到證明。10.利用陳杰方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊的長(zhǎng)為c. 做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o，∴ ∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，BT = BE = b，∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.∴ HT = AE = a.∴ GH = GT―HT = b―a.又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o，∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB―ED = b―a，∠HGF = ∠BDC = 90o，∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .過Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 . 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE，∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵  ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a，∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即.∵ ，，，又∵ ，，，==，即 .從而結(jié)論得到證明。 11.利用切割線定理證明勾股定理【答案】見解析。【解析】在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)?/span>∠BCA = 90o，點(diǎn)C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得=== ，即，∴ .從而結(jié)論得到證明。12.利用托勒密定理證明勾股定理【答案】見解析。【解析】在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點(diǎn)A作AD∥CB，過點(diǎn)B作BD∥CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有，∵ AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，∴，即 ，∴.從而結(jié)論得到證明。13.利用作直角三角形的內(nèi)切圓方法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內(nèi)切圓⊙O，切點(diǎn)分別為D、E、F（如圖），設(shè)⊙O的半徑為r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴ = = r + r = 2r,即 ，∴ .∴ ，即 ，， ，又∵ = = =  = ，∴ ，∴ ，∴ ，     ∴ .從而結(jié)論得到證明。14.利用反證法證明勾股定理【答案】見解析。【解析】如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D. 假設(shè)，即假設(shè) ，則由==可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠A = ∠A，∴ 若 AD：AC≠AC：AB，則∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵ ∠B = ∠B，∴ 若BD：BC≠BC：AB，則∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90o，∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.這與作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假設(shè)不能成立.∴ .從而結(jié)論得到證明。15.利用射影定理證明勾股定理【答案】見解析。【解析】如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D. 根據(jù)射影定理，得AC2＝AD·AB，      BC2＝BD·BA即AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝AB（AD＋BD）＝AB2     從而得a2+b2 = c2從而結(jié)論得到證明。 

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