7.3.1　離散型隨機變量的均值課前·基礎(chǔ)認知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標定位隨堂訓(xùn)練　素養(yǎng)?目標定位目 標 素 養(yǎng)1.通過具體實例,理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì),會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值.2.掌握兩點分布的均值;會利用離散型隨機變量的均值,解決一些相關(guān)的實際問題.3.通過學(xué)習(xí),提升直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).知 識 概 覽課前·基礎(chǔ)認知1.離散型隨機變量的均值一般地,若離散型隨機變量X的分布列如下表所示.均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的　平均水平　.?微思考 離散型隨機變量的均值與樣本平均值之間有什么區(qū)別?提示:離散型隨機變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本平均值是一個隨機變量,它隨樣本抽取的不同而變化.微訓(xùn)練1若隨機變量X的分布列為 則E(X)=(　　) 答案:C 2.兩點分布如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=0×(1-p) +1×p=p.3.均值的性質(zhì)E(aX+b)=　aE(X)+b　.?微訓(xùn)練2設(shè)E(X)=10,則E(3X+5)=　　　　　.?答案:35解析:E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.課堂·重難突破一 兩點分布的均值典例剖析1.某運動員投籃命中率為p=0.6,求投籃1次命中次數(shù)X的均值.解:投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如下表:因為隨機變量X服從兩點分布,所以E(X)=p=0.6.學(xué)以致用1.若X的分布列為則E(X)=(　　)答案:A 二 離散型隨機變量的均值公式及性質(zhì)典例剖析2.已知隨機變量X的分布列如下:(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).規(guī)律總結(jié) 1.該類題目屬于已知離散型隨機變量的分布列求均值,求解方法是直接套用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求解.2.對于aX+b型的隨機變量,可利用均值的性質(zhì)求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;也可以先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解,比較兩種方式顯然前者較方便.學(xué)以致用2.已知隨機變量X的分布列為且Y=aX+3,若E(Y)=-2,則a的值為　　　　　.?答案:-3三 求離散型隨機變量的均值典例剖析3.已知箱子中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和.(1)求X的分布列;(2)求X的均值E(X).解:(1)由題意得X可以取3,4,5,6, 所以X的分布列為 規(guī)律總結(jié) 求離散型隨機變量的均值的步驟(1)確定取值:根據(jù)隨機變量X的意義,寫出X可能取得的全部值;(2)求概率:求X取每個值的概率;(3)寫分布列:寫出X的分布列;(4)求均值:由均值的定義求出E(X).其中寫分布列是求解此類問題的關(guān)鍵.學(xué)以致用3.一個盒子里有1個紅球,1個綠球,2個黃球,四個除顏色外完全相同的球,每次取一個,不放回,取出紅球即停,設(shè)取出黃球的個數(shù)為Y,試求E(Y).四 離散型隨機變量均值的實際應(yīng)用典例剖析4.某學(xué)校組織環(huán)保知識競賽,有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤,則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確,則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;(2)為使累計得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.規(guī)律總結(jié) 概率模型的解答步驟(1)審題,確定實際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些.(2)確定隨機變量的分布列,計算隨機變量的均值.(3)根據(jù)實際意義,回答概率、均值等所表示的結(jié)論.學(xué)以致用4.在一次射擊比賽中,運動員甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4,0.1,0.5;運動員乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1,0.6,0.3.那么兩名運動員獲勝希望較大的是誰?解:設(shè)這次射擊比賽運動員甲得X1分,運動員乙得X2分,則分布列分別如下:根據(jù)均值公式得E(X1)=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1;E(X2)=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2.因為E(X2)>E(X1),所以這次射擊比賽運動員乙得分的均值較大,所以運動員乙獲勝的希望較大.隨堂訓(xùn)練1.設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=k)= ,k=1,2,3,4,則E(X)的值為(　　)A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2答案:A2.拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面朝上得1分,反面朝上得-1分,則得分X的均值為(　　)A.0 B.C.1 D.-1答案:A3.若p為非負實數(shù),隨機變量X的分布列為 則E(X)的最大值為(　　) 答案:B 4.兩封信隨機投入A,B,C三個空郵箱,則A郵箱的信件數(shù)X的均值E(X)=(　　)答案:B 解析:兩封信隨機投入A,B,C三個空郵箱,共有32=9種情況.依題意,X的所有可能取值為0,1,2,5.節(jié)日期間,某種鮮花進貨價是2.5元/束,銷售價5元/束;節(jié)日賣不出去的鮮花以1.6元/束的價格處理.根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測,節(jié)日期間這種鮮花的需求量X的分布列如下表所示:若進這種鮮花500束,則利潤的均值為　　　　　.?答案:706解析:由分布列可以得到E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340,因此利潤的均值為340×5+(500-340)×1.6-500×2.5=706.6.預(yù)測某地5月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)趨勢圖如圖所示.空氣質(zhì)量指數(shù)小于等于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇5月1日至5月13日中的某一天到達該地,并停留2天.(1)求此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率;(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與均值.解:(1)設(shè)B表示事件“此人到達當日空氣質(zhì)量優(yōu)良”,由題圖可知,在5月1日到5月13日這13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空氣質(zhì)量優(yōu)良,

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