第35講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2、平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的. 1、【2022年全國乙卷】已知向量，則（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，所以.故選：D2、【2019年新課標(biāo)2卷文科】已知向量，則A． B．2C．5 D．50【答案】A【解析】由已知，，所以，故選A3、【2018年新課標(biāo)1卷理科】在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得 ，所以，故選A.4、【2021年乙卷文科】已知向量，若，則_________．【答案】【解析】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：. 1、（2022·廣州一模）已知向量a＝(m，2)，b＝(3，－6)，若a＝λb，則實(shí)數(shù)m的值是(　　)A. －4    B. －1    C. 1    D. 4【解析】 由a＝λb，得所以m＝－1.【答案】 B2、 在△ABC中，BE是邊AC上的中線，O是BE的中點(diǎn)，若＝a，＝b，則等于(　　)A. a＋b    B. a＋bC. a＋b    D. a＋b【答案】 D【解析】 因?yàn)樵?/span>△ABC中，BE是邊AC上的中線，所以＝.因?yàn)?/span>O是BE的中點(diǎn)，所以＝（＋）＝＋＝a＋b.3、如圖，向量e1，e2，a的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則向量a可用基底e1，e2表示為　　　　　．【答案】 a＝－2e1＋e2【解析】 以e1的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，e1所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．由題圖可得e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1).設(shè)a＝xe1＋ye2＝x(1，0)＋y(－1，1)＝(x－y，y)，則解得故a＝－2e1＋e2.4、已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且＝2，則向量＝________(用，表示)．【答案】 ＋【解析】 如圖，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋． 考向一　平面向量基本定理的應(yīng)用例1、如圖，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值．【解析】 設(shè)＝e1，＝e2，則＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.因?yàn)?/span>A，P，M和B，P，N分別共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2，故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.又＝＋＝2e1＋3e2，所以由平面向量基本定理，得解得所以＝，＝，所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.變式1、在△OAB中，＝，＝，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b，以a，b為基底表示．【解析】：法1 取的中點(diǎn)，連接，則，，，，法2 設(shè)＝ma＋nb (m，n∈R)，則＝－＝(m－1)a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b．因?yàn)?/span>A，M，D三點(diǎn)共線，所以＝，即m＋2n＝1．而＝－＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b，因?yàn)?/span>C，M，B三點(diǎn)共線，所以＝，即4m＋n＝1．由　解得所以＝a＋b．變式2、（2022·山東泰安·高三期末）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則___________，的最小值為___________.【答案】2        【分析】先得出，設(shè)出得出，則，兩問分別代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樵?/span>中，，所以,即.因?yàn)辄c(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），所以設(shè).所以，對(duì)比可得.代入，得；代入可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)時(shí)，.故答案為：方法總結(jié)：1．應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算；2．用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決；3．既然能用a，b表示，那我們不妨設(shè)出＝ma＋nb；4．利用向量共線建立方程，用方程的思想求解．考向二  二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2、已知點(diǎn)A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)，＝＋t (t∈R)，若點(diǎn)P在第二象限，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是　　　　．【答案】 (－5，－3)【解析】 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則由 ＝＋t (t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1，4)＋t(1，1)＝(1＋t，4＋t)，所以解得由點(diǎn)P在第二象限，得解得－5＜t＜－3.變式1、　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).(1) 若＋＋＝0，求的坐標(biāo)；(2) 若＝m＋n (m，n∈R)，且點(diǎn)P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，求m－n的值．【解析】 (1) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y).因?yàn)?/span>＋＋＝0，所以(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)＝0，所以解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)，故＝(2，2).(2) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0).因?yàn)辄c(diǎn)A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，所以＝(1，2)，＝(2，1).因?yàn)?/span>＝m＋n，所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，所以兩式相減，得m－n＝y0－x0.又因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.變式2、已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，（1）求3a＋b－3c；（2）求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；（3）求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．【解析】：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)（1）3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．（2）∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，∴M(0，20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)．∴＝(9，－18)．方法總結(jié)：求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路(1)向量問題坐標(biāo)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．(2)巧借方程思想求坐標(biāo)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用．(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù)．考向三  用坐標(biāo)表示解決共線問題 例3、平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標(biāo)．【解析】(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(2)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，∴解得或∴d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5,3)．變式1、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量＝(3，－4)，＝(5，－3)，＝(4－m，m＋2).若點(diǎn)D（0，m），求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，都有∥.【解析】 由題意，得＝－＝(2，1)，＝－＝.因?yàn)?/span>2－(m－4)＝0，所以∥.變式2、（1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________.(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝________.【答案】(1)　(2)－【解析】(1)因?yàn)?/span>2a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝.(2)＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因?yàn)?/span>A，B，C三點(diǎn)共線，所以，共線，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.方法總結(jié)：1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解. 1、（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知向量，，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，即，當(dāng)，即時(shí)，滿足，而無意義，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2、（2022·廣東潮州·高三期末）在的等腰直角中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，則，，所以，所以.故選：A3、（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）（多選題）下列說法不正確的是（    ）A．若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是B．若，，不共線，且，則，，、四點(diǎn)共面C．對(duì)同一平面內(nèi)給定的三個(gè)向量，，，一定存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得.D．中，若，則一定是鈍角三角形.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，依題意，，且與不同向共線，求得，解得：且，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，即，于是得共面，且公共起點(diǎn)C，而，，不共線，，，，四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C，同一平面內(nèi)不共線的非零向量，，，才存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得，否則不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在中，，則，于是得是銳角，不能確定是鈍角三角形，D錯(cuò)誤.故選：ACD4、（2023春·廣東江門·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量，且，則m=______.【答案】2【解析】因?yàn)?/span>，，由，得.故答案為：2.5、（清遠(yuǎn)市高三期末試題）在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，若，則_________.【答案】【解析】四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，.故答案為：.

相關(guān)學(xué)案

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第35講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算（學(xué)生版）+教師版：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第35講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算（學(xué)生版）+教師版，共2頁。

第35講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案（新高考）（原卷版）：

這是一份第35講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案（新高考）（原卷版），共7頁。

第34講 平面向量的概念與線性運(yùn)算-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案（新高考）（解析版）：

這是一份第34講 平面向量的概念與線性運(yùn)算-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案（新高考）（解析版），共10頁。學(xué)案主要包含了2022年新高考1卷等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部