2022-2023學(xué)年陜西省西安市新城區(qū)愛知中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  年初“甲流”突發(fā)，下列關(guān)于防范“甲流”的標(biāo)志中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(    )A. 戴口罩 B. 勤洗手
C. 早就醫(yī) D. 少聚集2.  若，則下列各式中錯誤的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列各式由左邊到右邊的變形中，因式分解正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如圖，在中，，，，將沿射線的方向平移個單位后，得到，連接，若為等邊三角形，則的值為(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  如圖，在中，，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，且點在上，則的度數(shù)為(    )
A.  B.  C.  D. 7.  如果關(guān)于的不等式的解集為，則的值可以是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如圖，，是的角平分線上的一點，過作于點，交于點，若，則的長為(    )
A.  B.  C.  D. 9.  把一副三角尺按如圖所示位置放置，其中，，，斜邊，，把三角尺繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到如圖，此時與相交于點，則線段的長為(    )
A.  B.  C.  D. 10.  若關(guān)于的一元一次不等式組有個整數(shù)解，則的取值范圍為(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  因式分解：______．12.  在平面內(nèi)，把線段通過平移得到線段，已知點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，點的對應(yīng)點坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為______ ．13.  如圖，直線與相交于點，已知點的坐標(biāo)為，則關(guān)于的不等式的解集是______．

 14.  如圖，在中，，，斜邊的垂直平分線交邊于點，交邊于點，若，，則長是______ ．
15.  初二班部分同學(xué)去延安研學(xué)旅行，晚上需安排住宿，由于房間有限，女生已全部安排完畢，現(xiàn)將男生安排到剩余房間，如果每個房間住人則多人；如果每個房間住人，則有一個房間有人住，但沒住滿人，那么共有男生______ 人16.  如圖，在中，，，，是邊上的兩個動點，滿足，連接、，求的最小值______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
解不等式：
；
．18.  本小題分
解不等式組：
．
．19.  本小題分
分解因式：
．
．20.  本小題分
如圖，在中，請用尺規(guī)作圖在邊上找一點，使點到直線的距離等于要求：保留作圖痕跡，不寫作法．

 21.  本小題分
如圖，已知平分，于點，于點，求證：是等腰三角形．
22.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．
若點的坐標(biāo)為，畫出經(jīng)過平移后得到的，并寫出點的坐標(biāo)；
若繞著坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，畫出，并寫出的坐標(biāo)．
23.  本小題分
某學(xué)校開展課本劇展示活動，計劃購買、兩種獎品，已知購買件獎品和件獎品，共需費用元；件獎品比件獎品的費用多元．
求獎品和獎品每件各需多少元；
若學(xué)校計劃購買、兩種獎品共件，且獎品的數(shù)量不少于獎品的一半，兩種獎品購買總費用不超過元，該校怎校采購可使總費用最低？最低費用是多少元？24.  本小題分
已知是邊的垂直平分線，是的外角的角平分線，兩線交于點，，垂足為，，垂足為．
求證：；
若，，求的長．
25.  本小題分
綜合與實踐
【問題情境】
數(shù)學(xué)活動課上，張老師將同學(xué)們分為三個小組，讓同學(xué)們以“三角形平移與旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動，和是兩個等邊三角形紙片，其中，，．

【解決問題】
勤奮小組將和按圖所示的方式擺放點，，在同一條直線上，連接，發(fā)現(xiàn)，請你給予證明；
如圖，創(chuàng)新小組在勤奮小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點恰好落在邊上時，求的面積；
【拓展題伸】
如圖，縝密小組在創(chuàng)新小組的基礎(chǔ)上，提出一個問題：在題的位置處，將的邊放在線段上滑動，并帶動一起在線段上來回滑動，記作點在線段右側(cè)，連接，求線段的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、原圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、原圖既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、原圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D、原圖既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：、，
，
故A不符合題意；
B、，
，
故B不符合題意；
C、，
，
故C不符合題意；
D、，
，
，
故D符合題意；
故選：．
根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行計算，逐一判斷即可解答．
本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：，則不符合題意；
，則不符合題意；
，則符合題意；
，則不符合題意；
故選：．
將各項因式分解后進(jìn)行判斷即可．
本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：沿射線方向平移個單位后，得到，
，
為等邊三角形，
，
，
，
即，
故選：．
根據(jù)平移的性質(zhì)得，，由為等邊三角形，得，即可計算出的值．
本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等．
 5.【答案】 【解析】解：，
移項及合并同類項，得：，
系數(shù)化為，得：，
其解集在數(shù)軸上表示如下所示，
，
故選：．
根據(jù)解一元一次不等式的方法可以求得該不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示出其解集即可．
本題考查解一元一次不等式、在數(shù)軸上表示不等式的解集，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．
 6.【答案】 【解析】解：將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，
，，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：關(guān)于的不等式的解集為，
，
解得，
故選：．
由于關(guān)于的不等式的解集為，由此可以得到，解得即可．
本題考查了解簡單不等式的能力，利用不等式的解集得出關(guān)于的不等式是解題關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：過點作，垂足為，

平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
過點作，垂足為，利用角平分線的定義可得，再利用角平分線的性質(zhì)可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而利用含度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了角平分線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：，，，
，是等腰直角三角形，
把三角尺繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
即，
又是等腰直角三角形，
，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求，由勾股定理可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式組有個整數(shù)解，
這個整數(shù)解為、、、，
則，
解得，
故選：．
先求出每個不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集，根據(jù)已知得出答案即可．
本題主要考查的是不等式的解集，由不等式組有個整數(shù)解得出關(guān)于的不等式組是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
提取公因式即可．
本題主要考查提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：線段平移后，點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，
將線段向右平移個單位，向上平移個單位得到線段，
點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，即．
故答案為：．
根據(jù)點到確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律列式計算即可得到點的坐標(biāo)．
本題考查了坐標(biāo)與圖形變化平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減，先確定出平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：當(dāng)時，函數(shù)的圖象都在的圖象下方，所以不等式的解集為．
故答案為．
觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)時，函數(shù)的圖象都在的圖象下方，所以不等式的解集為；
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上或下方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
 14.【答案】 【解析】解：，，，，
，
連接，
垂直平分，
，
設(shè)，則，
，
，
即，
解得，
即的長為，
故答案為：．
先根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可以得到，然后再根據(jù)勾股定理即可求得的長．
本題考查勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出的長．
 15.【答案】 【解析】解：設(shè)剩余間房間，則共有男生人，
根據(jù)題意得：，
解得：，
又為正整數(shù)，
，
，
共有男生人．
故答案為：．
設(shè)剩余間房間，則共有男生人，根據(jù)“如果每個房間住人，則有一個房間有人住，但沒住滿人”，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，可確定的值，再將其代入中，即可得出結(jié)論．
本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，以，為鄰邊構(gòu)造矩形，連接，，交于點，

則，，，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
即的最小值為的長；
在中，
，，，
，
，
，
故答案為：．
先以，為鄰邊構(gòu)造矩形，連接，，證明，再根據(jù)兩點之間線段最短得到的最小值為的長，求出的長即可．
本題考查了最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，能用一條線段的長表示兩線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，
移項，得：，
合并同類項，得：，
系數(shù)化為，得：；
，
去括號，得：，
移項，得：，
合并同類項，得：，
系數(shù)化為，得：． 【解析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項、合并同類項、系數(shù)化為可得；
根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為可得．
本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變．
 18.【答案】解：由得：，
由得：，
則不等式組的解集為；
由得：，
由得：，
則不等式組的解集為． 【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集；
分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：

；



． 【解析】先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答；
先利用平方差公式，再利用提公因式法繼續(xù)分解即可解答．
本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．
 20.【答案】解：如圖，點即為所求．
 【解析】作的角平分線交于點，點即為所求．
本題考查尺規(guī)作圖作一個角的平分線，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
 21.【答案】證明：是的角平分線，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
即是等腰三角形． 【解析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得到，，利用判定≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到．
此題考查了角平分線的性質(zhì)，利用角平分線性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：如圖，即為所求．
點的坐標(biāo)為；
如圖，即為所求．
點的坐標(biāo)為．
 【解析】根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，可得出點的坐標(biāo)．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，可得出點的坐標(biāo)．
本題考查作圖平移變換，熟練掌握平移和中心對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：設(shè)獎品每件元，獎品每件元，
由題意得：，
解得：，
獎品每件元，獎品每件元；
設(shè)購買獎品件，則購買獎品件，
獎品的數(shù)量不少于獎品的一半，兩種獎品購買總費用不超過元，
，
解得：，
設(shè)購買的總費用為，
則，
，
隨的增大而增大，
，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為，
該校購買獎品件，獎品件總費用最低，最低費用為元． 【解析】設(shè)獎品每件元，獎品每件元，根據(jù)“購買件獎品和件獎品，共需費用元；件獎品比件獎品的費用多元”可得關(guān)于，二元一次方程組，求解即可；
設(shè)購買獎品件，則購買獎品件，根據(jù)“獎品的數(shù)量不少于獎品的一半，兩種獎品購買總費用不超過元”可得關(guān)于的一元一次不等式組，解得，設(shè)購買的總費用為，則，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)，理清題意，根據(jù)題中所蘊含的等量關(guān)系或不等關(guān)系列出方程組和不等式組是解題關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：垂直平分線段，
，
平分，，，
，，
≌，
；
解：，，，
≌，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明≌，可得；
證明≌，可得，然后利用線段的和差即可解決問題．
此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
 25.【答案】證明：和是等邊三角形，
，，，
，
，
≌，
；
解：如圖，

作于，作，交的延長線于，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
；
如圖，

到直線的距離是，
點在的右側(cè)且離距離得直線上運動，
當(dāng)時，，
當(dāng)點在時，圖中最大，
由上圖知：，
． 【解析】證明≌，從而得出；
作于，作，交的延長線于，可證得四邊形是矩形，從而求得，，進(jìn)而得出結(jié)果；
可推出點在的右側(cè)且離距離得直線上運動，當(dāng)時，最小，當(dāng)點在處時，最大，進(jìn)一步得出結(jié)果．
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵確定運動軌跡．
 

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