?2021-2022學(xué)年陜西省西安市新城區(qū)愛知中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共10小題，每題3分共30分）
1．（3分）下列實(shí)數(shù)中，屬于無(wú)理數(shù)的是（　　）
A． B．3.14
C．0.1010010001 D．
2．（3分）在下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25
C．4，5，6 D．1，，2
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（　　）
A．﹣＝ B．+＝ C．＝﹣2 D．?＝2
4．（3分）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1），則正比例函數(shù)的解析式為（　?。?br /> A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x
5．（3分）的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
6．（3分）已知P（a，2）和Q（1，b）關(guān)于y軸對(duì)稱，則（a+b）2021的值為（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．32021 D．﹣32021
7．（3分）已知一次函數(shù)y＝（m+1）x+2m，則m＜﹣2時(shí)它的圖象必過（　?。?br /> A．一，二，三象限 B．一，二，四象限
C．二，三，四象限 D．一，三，四象限
8．（3分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4cm，A是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，B是側(cè)面正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路徑是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．6
9．（3分）如圖，點(diǎn)M是直線y＝2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，點(diǎn)P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，MP⊥NP，且△PMN為等腰三角形時(shí)點(diǎn)MP的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．3或 B． C．或3 D．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（4，0），B（4，2），C（0，2），將△OAB沿直線OB折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，OD與BC交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為（　?。?br />
A． B． C． D．4
二、填空題（共6小題，每題3分共18分）
11．（3分）的倒數(shù)為 　 　．
12．（3分）比較大?。骸? 　5．
13．（3分）如圖，Rt△MBC中，∠MCB＝90°，BC＝1，點(diǎn)M在數(shù)軸﹣1處，點(diǎn)C在數(shù)軸上1處，MA＝MB，則數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是 　 　．

14．（3分）已知點(diǎn)（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函數(shù)y＝kx+5的圖象上，請(qǐng)用“＞”連接y1、y2、3 　 ?。?br /> 15．（3分）已知a，b，c為三角形的三邊，當(dāng)代數(shù)式+|b2﹣18|+（c2﹣8）2取最小值時(shí)﹣b＝　 ?。?br /> 16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB為等邊三角形，AB⊥x軸，AB＝2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．點(diǎn)P為OB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為　 ?。?br />
三、解答題：（共9小題，共72分）
17．（16分）計(jì)算：
（1）+；
（2）；
（3）|1﹣|+（2021﹣π）0+（）﹣1；
（4）（3﹣2）2﹣（2+）×（2﹣）．
18．（6分）求下列式子中的x：
（1）25（x﹣）2＝49；
（2）（x+1）2＝32．
19．（6分）已知正實(shí)數(shù)x的平方根是m和m+n．
（1）當(dāng)n＝6時(shí)，求m的值；
（2）若m2x+（m+n）2x＝32，求x的值．
20．（6分）已知，△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示．
（1）作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）將△A1B1C1向下平移2個(gè)單位后得到△A2B2C2，求點(diǎn)A2的坐標(biāo)；
（3）計(jì)算AA2的長(zhǎng)．

21．（7分）如圖，學(xué)校操場(chǎng)邊有一塊四邊形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計(jì)劃將這塊四邊形空地進(jìn)行綠化整理．
（1）求需要綠化的空地ABCD的面積；
（2）為方便師生出入，設(shè)計(jì)了過點(diǎn)A的小路AE，且AE⊥BC于點(diǎn)E，試求小路AE的長(zhǎng)．

22．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+2過點(diǎn)A（﹣3，m）且與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，過點(diǎn)C且與直線y＝x平行的直線交y軸于點(diǎn)D，連接AD．
（1）求m的值及直線CD的解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ODP的面積是△ABD面積的？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

23．（6分）有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿低端的距離或者∠1的大小來(lái)調(diào)整晾桿的高度，圖2是晾衣架的側(cè)面的平面示意圖，AB和CD分別是兩根長(zhǎng)度不等的支撐桿，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm．
（1）當(dāng)BD＝120cm，求交叉點(diǎn)O離地面的高度；
（2）當(dāng)∠1＝90°時(shí)，較高支撐桿的高AE多高？

24．（8分）像＝3、＝a（a≥0）、＝b﹣1（b≥0）……兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．
（1）請(qǐng)寫出以下代數(shù)式的一個(gè)有理化因式：
（a≥0，b≥0）　 　，　 ?。?br /> （2）化簡(jiǎn)：+…+；
（3）當(dāng)2≤a≤4時(shí)，直接寫出代數(shù)式的最大值：　 ?。?br /> 25．（10分）閱讀理解：親愛的同學(xué)們，在以后的學(xué)習(xí)中我們會(huì)學(xué)習(xí)一個(gè)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．即：如圖1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，則CD＝AB．
牛刀小試：
（1）在圖1中，若AC＝6，BC＝8，其他條件不變，則CD＝　 　；
活學(xué)活用：
（2）如圖2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，AC＝26，BD＝24．求EF的長(zhǎng)；
問題解決：
（3）為了提高全民健身環(huán)境，公園管理部門想要建一個(gè)形狀如圖3中的四邊形ABCD，其中，∠ABC＝90°，∠ADC＝60°，AD＝CD＝6千米，要在公園的B、D之間鋪設(shè)一條筆直的塑膠跑道，若跑道鋪設(shè)成本每米200元，當(dāng)BD最大時(shí)，請(qǐng)問管理部門預(yù)算160萬(wàn)元夠用嗎？



2021-2022學(xué)年陜西省西安市新城區(qū)愛知中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每題3分共30分）
1．（3分）下列實(shí)數(shù)中，屬于無(wú)理數(shù)的是（　　）
A． B．3.14
C．0.1010010001 D．
【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A、是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、0.1010010001是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001……，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
2．（3分）在下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25
C．4，5，6 D．1，，2
【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：有a、b、c三個(gè)正整數(shù)，滿足a2+b2＝c2，稱為勾股數(shù)．由此判定即可．
【解答】解：A、因?yàn)?.3、0.4、0.5都不是整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；
B、72+242＝252，是勾股數(shù)，故選項(xiàng)符合題意；
C、42+52≠62，不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；
D、因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義，并能夠熟練運(yùn)用．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．﹣＝ B．+＝ C．＝﹣2 D．?＝2
【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)D進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、與﹣不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、與不能合并，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、原式＝2，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、原式＝2，所以D選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
4．（3分）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1），則正比例函數(shù)的解析式為（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x
【分析】把點(diǎn)（﹣3，1）代入y＝kx（k≠0）可得k的值，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1）．
∴1＝﹣3k，
解得：k＝﹣，
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為y＝﹣x，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是把點(diǎn)（﹣3，1）代入y＝kx（k≠0）可得k的值解答．
5．（3分）的平方根是（　?。?br /> A．±4 B．4 C．±2 D．2
【分析】先計(jì)算，再求4的平方根．
【解答】解：∵，
∴的平方根是±．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查算術(shù)平方根以及平方根的定義，熟練掌握算術(shù)平方根以及平方根的定義是解決本題的關(guān)鍵．
6．（3分）已知P（a，2）和Q（1，b）關(guān)于y軸對(duì)稱，則（a+b）2021的值為（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．32021 D．﹣32021
【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求出a、b的值，然后代入計(jì)算即可得解．
【解答】解：∵點(diǎn)P（a，2）與點(diǎn)Q（1，b）關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴a+b＝﹣1+2＝1，
∴（a+b）2021＝12021＝1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
7．（3分）已知一次函數(shù)y＝（m+1）x+2m，則m＜﹣2時(shí)它的圖象必過（　?。?br /> A．一，二，三象限 B．一，二，四象限
C．二，三，四象限 D．一，三，四象限
【分析】先確定m+1和2m的符號(hào)，即可確定函數(shù)圖象經(jīng)過的象限．
【解答】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜﹣1，2m＜﹣4，
∴一次函數(shù)y＝（m+1）x+2m的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象，根據(jù)題意確定m+1和2m的符號(hào)是解決本題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4cm，A是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，B是側(cè)面正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路徑是（　?。?br />
A．2 B．4 C．2 D．6
【分析】過B作BC⊥EF于C，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，過B作BC⊥EF于C，
在Rt△ABC中，BC＝2cm，AC＝4+2＝6cm，
∴AB＝＝＝2（cm），
∴從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路徑是2cm，
故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，將平面展開，組成一個(gè)直角三角形是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，點(diǎn)M是直線y＝2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，點(diǎn)P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，MP⊥NP，且△PMN為等腰三角形時(shí)點(diǎn)MP的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．3或 B． C．或3 D．
【分析】先根據(jù)MP⊥NP，且△PMN為等腰三角形，可知△PMN為等腰直角三角形，得∠MNP＝45°，易得△NPO是等腰直角三角形，設(shè)OP＝m，表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線解析式，求出m的值，即可求出MP的長(zhǎng)．
【解答】解：如圖所示：

∵M(jìn)P⊥NP，且△PMN為等腰三角形，
∴△PMN為等腰直角三角形，
∴∠MNP＝45°，
∵M(jìn)N⊥x軸，
∴∠PNO＝45°，
∴△PNO為等腰直角三角形，
∴OP＝ON，
設(shè)OP＝ON＝m，
根據(jù)勾股定理，得NP＝，MN＝2m，
①M(fèi)（﹣m，2m），代入直線y＝2x+3，
得2m＝﹣2m+3，
解得m＝，
∴MP＝NP＝＝，
②M（m，2m），代入直線y＝2x+3，
得2m＝2m+3，
此方程無(wú)解．
綜上所述：MP＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與等腰直角三角形的綜合，靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（4，0），B（4，2），C（0，2），將△OAB沿直線OB折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，OD與BC交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為（　?。?br />
A． B． C． D．4
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出∠EOB＝∠EBO，進(jìn)而可得出OE＝BE，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，2），則OE＝BE＝4﹣m，CE＝m，利用勾股定理即可求出m值，再根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DF⊥CB軸于點(diǎn)F，利用S△DEB＝BD?DE＝BE?DF，可以求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】解：∵A（4，0），B（4，2），C（0，2），O（0，0），
∴四邊形OABC為矩形，
∴∠EBO＝∠AOB．
∵∠EOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，2），則OE＝BE＝4﹣m，CE＝m，
在Rt△OCE中，OC＝2，CE＝m，OE＝4﹣m，
∴（4﹣m）2＝22+m2，
∴m＝，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2）．
∴OE＝BE＝4﹣m＝，
∴DE＝OD﹣OE＝4﹣＝，
如圖，過點(diǎn)D作DF⊥CB軸于點(diǎn)F，

由翻折可知：BD＝AB＝2，∠BDE＝∠BAO＝90°，
∴S△DEB＝BD?DE＝BE?DF，
∴2×＝DF，
∴DF＝，
∴DF+OC＝+2＝，
則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、翻折變換、坐標(biāo)與圖形變化﹣對(duì)稱，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，利用勾股定理求出點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共6小題，每題3分共18分）
11．（3分）的倒數(shù)為 　　．
【分析】根據(jù)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，可得答案．
【解答】解：的倒數(shù)是，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．
12．（3分）比較大小：　＜　5．
【分析】通過估算進(jìn)行分析求解．
【解答】解：∵，
∴4＜＜5，
即3＜5，
故答案為：＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)，無(wú)理數(shù)的估算，理解二次根式的性質(zhì)，掌握無(wú)理數(shù)的估算的常用方法——夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，Rt△MBC中，∠MCB＝90°，BC＝1，點(diǎn)M在數(shù)軸﹣1處，點(diǎn)C在數(shù)軸上1處，MA＝MB，則數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是 　﹣1+?。?br />
【分析】通過勾股定理求出線段MB，而線段MA＝MB，進(jìn)而知道點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)，減去1即可得出答案．
【解答】解：在Rt△MBC中，∠MCB＝90°，
∴MB＝＝，
∴MA＝，
∵點(diǎn)M在數(shù)軸﹣1處，
∴數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣1+．
故答案為：﹣1+．
【點(diǎn)評(píng)】題目考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，通過勾股定理，在數(shù)軸尋找無(wú)理數(shù)．題目整體較為簡(jiǎn)單，與課本例題類似，適合隨堂訓(xùn)練．
14．（3分）已知點(diǎn)（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函數(shù)y＝kx+5的圖象上，請(qǐng)用“＞”連接y1、y2、3 　y1＞3＞y2?。?br /> 【分析】首先求出函數(shù)解析式，再把（﹣3，y1）、（2，y2）代入可得y1，y2的值，然后可得答案．
【解答】解：∵（1，3）在一次函數(shù)y＝kx+5的圖象上，
∴3＝k+5，
解得：k＝﹣2，
∴函數(shù)解析式為y＝﹣2x+5，
∵點(diǎn)（﹣3，y1）、（2，y2）在一次函數(shù)y＝﹣2x+5的圖象上，
∴y1＝6+5＝11，
y2＝﹣4+5＝1，
∵11＞3＞1，
∴y1＞3＞y2，
故答案為：y1＞3＞y2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)，必能滿足解析式．
15．（3分）已知a，b，c為三角形的三邊，當(dāng)代數(shù)式+|b2﹣18|+（c2﹣8）2取最小值時(shí)﹣b＝　﹣　．
【分析】根據(jù)題意得+|b2﹣18|+（c2﹣8）2＝0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a2＝2，b2﹣18＝0，c2﹣8＝0，求出a、b、c的值，代入﹣b計(jì)算即可．
【解答】解：∵代數(shù)式+|b2﹣18|+（c2﹣8）2取最小值，
∴代數(shù)式+|b2﹣18|+（c2﹣8）2＝0，
∴a2＝2，b2﹣18＝0，c2﹣8＝0，
解得：a＝±，b＝±3，c＝±2，
∵a，b，c為三角形的三邊，
∴a＝，b＝3，c＝2，
∴﹣b
＝﹣3
＝﹣3
＝﹣，
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用、三角形三邊關(guān)系、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)題意列出等式是解題關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB為等邊三角形，AB⊥x軸，AB＝2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．點(diǎn)P為OB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為　?。?br />
【分析】作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′交OB于P，連接OC′，則此時(shí)PA+PC的值最小，根據(jù)勾股定理求出AC′，即可得出答案．
【解答】解：作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′交OB于P，連接OC′，此時(shí)PA+PC＝AC′，PA+PC的值最小，
∵△OAB為等邊三角形，AB⊥x軸，
∴∠BOC＝∠AOC＝30°，
∴∠BOC′＝∠BOC＝30°，
∴∠AOC′＝90°，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．
∴OC′＝OC＝1，
∵OA＝AB＝2，
∴AC′＝＝＝，
即PA+PC的最小值是．
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的位置，題目比較好，難度適中．
三、解答題：（共9小題，共72分）
17．（16分）計(jì)算：
（1）+；
（2）；
（3）|1﹣|+（2021﹣π）0+（）﹣1；
（4）（3﹣2）2﹣（2+）×（2﹣）．
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義可解答；
（2）根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)絕對(duì)值，零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義可解答；
（4）根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）+
＝4+2
＝6；
（2）
＝
＝；
（3）|1﹣|+（2021﹣π）0+（）﹣1；
＝﹣1+1+2
＝+2；
（4）（3﹣2）2﹣（2+）×（2﹣）
＝9﹣12+20﹣（4﹣5）
＝29﹣12+1
＝30﹣12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)是熟練運(yùn)用零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義、完全平方公式、二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
18．（6分）求下列式子中的x：
（1）25（x﹣）2＝49；
（2）（x+1）2＝32．
【分析】（1）根據(jù)平方根的概念解方程；
（2）根據(jù)平方根的概念解方程．
【解答】解：（1）25（x﹣）2＝49，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
x﹣＝或x﹣＝﹣，
解得：x1＝2，x2＝﹣；
（2）（x+1）2＝32，
（x+1）2＝32÷，
（x+1）2＝32×2，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x+1＝8或x+1＝﹣8，
解得：x1＝7，x2＝﹣9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根，注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．
19．（6分）已知正實(shí)數(shù)x的平方根是m和m+n．
（1）當(dāng)n＝6時(shí)，求m的值；
（2）若m2x+（m+n）2x＝32，求x的值．
【分析】（1）利用正實(shí)數(shù)平方根互為相反數(shù)即可求出m的值；
（2）利用平方根的定義得到（m+n）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+n）2x＝32即可求出x值．
【解答】解：（1）∵正實(shí)數(shù)x的平方根是m和m+n，
∴m+m+n＝0，
∵n＝6，
∴2m+6＝0
∴m＝﹣3；
（2）∵正實(shí)數(shù)x的平方根是m和m+n，
∴（m+n）2＝x，m2＝x，
∵m2x+（m+n）2x＝32，
∴x2+x2＝32，
∴x2＝16，
∵x＞0，
∴x＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根的定義及平方根的性質(zhì)，熟練掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）已知，△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示．
（1）作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）將△A1B1C1向下平移2個(gè)單位后得到△A2B2C2，求點(diǎn)A2的坐標(biāo)；
（3）計(jì)算AA2的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可將△A1B1C1向下平移2個(gè)單位后得到△A2B2C2，進(jìn)而可得點(diǎn)A2的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)勾股定理即可計(jì)算AA2的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；

（2）如圖，△A2B2C2即為所求；點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2，1）；
（3）AA2＝＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（7分）如圖，學(xué)校操場(chǎng)邊有一塊四邊形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計(jì)劃將這塊四邊形空地進(jìn)行綠化整理．
（1）求需要綠化的空地ABCD的面積；
（2）為方便師生出入，設(shè)計(jì)了過點(diǎn)A的小路AE，且AE⊥BC于點(diǎn)E，試求小路AE的長(zhǎng)．

【分析】（1）先根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△ACD是直角三角形，根據(jù)面積和可得結(jié)論；
（2）利用三角形的面積公式求解即可．
【解答】解：（1）如圖，

∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝9，AB＝4，
∴AC＝，
∵AD＝7，CD＝4，
∴AD2+CD2＝72+42＝65，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴這塊空地ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD＝，
答：這塊空地ABCD的面積是（2+14）m2；
（2）S△ABC＝，
∴4×＝9×AE，
∴AE＝m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用和三角形的面積，能根據(jù)勾股定理計(jì)算邊的長(zhǎng)，并利用面積法解決問題．
22．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+2過點(diǎn)A（﹣3，m）且與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，過點(diǎn)C且與直線y＝x平行的直線交y軸于點(diǎn)D，連接AD．
（1）求m的值及直線CD的解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ODP的面積是△ABD面積的？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）先求得A的坐標(biāo)，即可求得C的坐標(biāo)，根據(jù)題意設(shè)直線CD的解析式為y＝x+b，代入C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）根據(jù)圖象坐標(biāo)特征求得B、D的坐標(biāo)，設(shè)P（x，0），然后根據(jù)三角形面積公式列出關(guān)于x的方程，解方程即可求得P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+2過點(diǎn)A（﹣3，m），
∴m＝﹣×（﹣3）+2＝3，
∴A（﹣3，3），
∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C．
∴C（3，3），
∵直線CD與直線y＝x平行，
∴設(shè)直線CD的解析式為y＝x+b，
代入C（3，3）得，3＝×3+b，
解得b＝﹣2，
∴直線CD的解析式為y＝x﹣2；
（2）在直線y＝﹣x+2中，令x＝0，則y＝2，
∴B（0，2），
在直線y＝x﹣2中，令x＝0，則y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴OD＝2，BD＝4，
∴S△ABD＝4×3＝6，
設(shè)P（x，0），
∵△ODP的面積是△ABD面積的，
∴S△ODP＝×2×|x|＝6，
∴|x|＝2，
∴x＝±2，
∴P（2，0）或（﹣2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線相交或平行問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形面積等，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
23．（6分）有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿低端的距離或者∠1的大小來(lái)調(diào)整晾桿的高度，圖2是晾衣架的側(cè)面的平面示意圖，AB和CD分別是兩根長(zhǎng)度不等的支撐桿，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm．
（1）當(dāng)BD＝120cm，求交叉點(diǎn)O離地面的高度；
（2）當(dāng)∠1＝90°時(shí)，較高支撐桿的高AE多高？

【分析】（1）根據(jù)勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)交叉點(diǎn)O離地面的高度為hcm，
∵BO＝DO＝80cm，BD＝120cm，
∴h＝＝20（cm），
答：交叉點(diǎn)O離地面的高度為20cm；
（2）∵∠1＝90°，OB＝OD，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵AE⊥BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝AO+BO＝150（cm），
∴AE＝AB＝75（cm），
答：較高支撐桿的高AE為75cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用等邊三角形的性質(zhì)，找出∠OBD＝60°是解題的關(guān)鍵．
24．（8分）像＝3、＝a（a≥0）、＝b﹣1（b≥0）……兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．
（1）請(qǐng)寫出以下代數(shù)式的一個(gè)有理化因式：
（a≥0，b≥0）　﹣　，　2+2?。?br /> （2）化簡(jiǎn)：+…+；
（3）當(dāng)2≤a≤4時(shí)，直接寫出代數(shù)式的最大值：　2﹣?。?br /> 【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義和平方差公式求解；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）利用有理化因式得到﹣＝，由于當(dāng)a＝2時(shí)，+有最小值2+，所以有最大值2﹣．
【解答】解：（1）+的有理化因式為﹣；
2﹣2的的有理化因式為2+2；
故答案為﹣；2+2；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+???+﹣
＝﹣1；
（3）﹣＝，
∵2≤a≤4，
∴當(dāng)a＝2時(shí)，+有最小值，最小值為+＝2+，
此時(shí)的值最大，最大值為＝2﹣，
即代數(shù)式的最大值為2﹣；
故答案為2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的除法法則和乘法公式是解決問題的關(guān)鍵．
25．（10分）閱讀理解：親愛的同學(xué)們，在以后的學(xué)習(xí)中我們會(huì)學(xué)習(xí)一個(gè)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．即：如圖1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，則CD＝AB．
牛刀小試：
（1）在圖1中，若AC＝6，BC＝8，其他條件不變，則CD＝　5?。?br /> 活學(xué)活用：
（2）如圖2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，AC＝26，BD＝24．求EF的長(zhǎng)；
問題解決：
（3）為了提高全民健身環(huán)境，公園管理部門想要建一個(gè)形狀如圖3中的四邊形ABCD，其中，∠ABC＝90°，∠ADC＝60°，AD＝CD＝6千米，要在公園的B、D之間鋪設(shè)一條筆直的塑膠跑道，若跑道鋪設(shè)成本每米200元，當(dāng)BD最大時(shí)，請(qǐng)問管理部門預(yù)算160萬(wàn)元夠用嗎？


【分析】（1）由∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)為10，再根據(jù)“直角三角形上的中線等于斜邊的一半”求出CD的長(zhǎng)即可；
（2）連接BE、DE，因?yàn)椤螦BC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AC＝26，所以BE＝DE＝AC＝13，而點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)得EF⊥BD，則∠BFE＝90°，在Rt△BEF中即可根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)；
（3）連接AC，取AC的中點(diǎn)E，連接BE、DE，先證明△ADC是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求得DE＝3千米，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出BE的長(zhǎng)為3千米，則根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得到不等式BD≤DE+BE，所以當(dāng)B、E、D在同一直線上時(shí)，BD的值最大，此時(shí)BD＝（3+3）千米，再根據(jù)跑道鋪設(shè)成本每米200元計(jì)算出跑道鋪設(shè)的總成本，即可判斷出管理部門預(yù)算160萬(wàn)元是否夠用．
【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CD＝AB＝×10＝5，
故答案為：5．
（2）如圖2，連接BE、DE，
∵∠ABC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC＝26，
∴BE＝AC＝13，
∵∠ADC＝90°，
∴DE＝AC＝13，
∴BE＝DE＝13，
∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，BD＝24，
∴BF＝DF＝BD＝×24＝12，EF⊥BD，
∴∠BFE＝90°，
∴EF＝＝＝5，
∴EF的長(zhǎng)是5．
（3）如圖3，連接AC，取AC的中點(diǎn)E，連接BE、DE，
∵AD＝CD＝6千米，∠ADC＝60°，
∴△ADC是等邊三角形，
∴AC＝AD＝6千米，
∴AE＝CE＝AC＝×6＝3（千米），
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴DE＝＝＝3（千米），
∵∠ABC＝90°，
∴BE＝AC＝3千米，
∵BD≤DE+BE，
∴BD≤（3+3）千米，
如圖4，當(dāng)B、E、D在同一直線上時(shí)，BD的值最大，此時(shí)BD＝（3+3）千米，
∵跑道鋪設(shè)成本每米200元，
∴（3+3）×1000×200＝（600000+600000）元，
∴跑道鋪設(shè)的總成本為（600000+600000）元，
∵600000+600000＞1600000，
∴管理部門預(yù)算160萬(wàn)元不夠用．




【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的應(yīng)用、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等邊三角形的判定與性質(zhì)、“兩點(diǎn)之間，線段最短”等知識(shí)與方法，正確地作出輔助線構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/19 9:55:44；用戶：山東省北鎮(zhèn)中學(xué)；郵箱：bzzx001@xyh.com；學(xué)號(hào)：44838527

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