?2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高一（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、填空題（共18題，每小題3分，共54分．請(qǐng)將答案直接填在答題卡的相應(yīng)位置）
1．（3分）一組數(shù)據(jù)如下：7，10，9，6，11，9，8，4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 　 　．
2．（3分）計(jì)算：　 ?。?br /> 3．（3分）化簡(jiǎn)：　 ?。?br /> 4．（3分）計(jì)算：　 ?。?br /> 5．（3分）已知a+b＝4，ab＝2，則a2+b2＝　 ?。?br /> 6．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，BP＝CE，BD＝CP，則∠DPE＝　 ?。?br />
7．（3分）已知x2﹣3x+1＝0，求的值 　 ?。?br /> 8．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為20的正方形ABCD中，以BC為直徑畫一個(gè)半圓，直線DE與半圓相切，交AB于E點(diǎn)，則DE＝　 ?。?br />
9．（3分）不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 　 　．
10．（3分）若關(guān)于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則m的取值范圍是　 　．
11．（3分）如圖，△ABC是直角邊長(zhǎng)為a的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過C點(diǎn)且與半圓O1相切，則圖中陰影部分的面積是 　 ?。?br />
12．（3分）如圖，P已知的半徑是1，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為 　 　．

13．（3分）如圖，直線y＝x+1與拋物線y＝x2﹣4x+5交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，S△PAB＝　 ?。?br />
14．（3分）因式分解：6x3﹣11x2+x+4＝　 　．
15．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為﹣8，其中正確的結(jié)論有 　 　個(gè)．

16．（3分）若二次函數(shù)y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1時(shí)的最大值為3，那么m的值是 　 ?。?br /> 17．（3分）如圖，在菱形ABCD中，邊AB＝5，E，F(xiàn)分別在BC和AD上，若DF＝1，BE＝3，且此時(shí)BF＝DE，則BF的長(zhǎng)為 　 　．

18．（3分）已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則的值為 　 ?。?br /> 二、解答題（共5小題，請(qǐng)將答案及必要的解題過程直接寫在答題卡的相應(yīng)位置）
19．（6分）隨著選修課的全面開展，我校決定圍繞在“科技、閱讀、書法、演講和英語”活動(dòng)項(xiàng)目中，你最喜歡哪一項(xiàng)（每人只限一項(xiàng)）活動(dòng)的問題，采用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查情況繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．由圖中所給出的信息解答下列問題：

（1）求在此次調(diào)查活動(dòng)中一共抽查了多少名學(xué)生，并將不完整的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（2）在此次調(diào)查活動(dòng)中，初三（1）班的兩個(gè)學(xué)習(xí)小組內(nèi)各有2人都最喜歡演講活動(dòng)，其中，只有1人是女同學(xué)，現(xiàn)從中任選2人去參加學(xué)校的演講比賽．用列表或畫樹狀圖的方法求出所選2人來自同一個(gè)小組且恰有1人是女同學(xué)的概率．

20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
21．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且∠A＝∠EBC．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）已知CG∥EB，且CG與BD，BA分別相交于點(diǎn)F，G，若BG?BA＝48，F(xiàn)G，DF＝2BF，求AH的值．

22．（10分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4ax+4a+c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），OB＝OC，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足∠APB＝∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A'，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)△QAA'的面積．

23．（12分）在矩形ABCD中，BD為矩形ABCD的對(duì)角線，∠CBD＝60°，BD＝12．
（1）如圖①，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△BC0D0，其中，點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C0、D0，延長(zhǎng)D0C0交AB于點(diǎn)E．求BE的長(zhǎng)；
（2）如圖②，將（1）中的△BC0D0以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC向右平行移動(dòng)，得到△B1C1D1，其中，點(diǎn)B、C0、D0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B1、C1、D1，當(dāng)點(diǎn)C1移動(dòng)到邊CD上時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，△B1C1D1與矩形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）如圖③，在△B1C1D1移動(dòng)過程中，直線D1C1與線段AB交于點(diǎn)N，直線B1C1與線段BD交于點(diǎn)M．是否存在某一時(shí)刻t，使△MNC為等腰三角形，若存在，求出時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說明理由．


2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高一（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、填空題（共18題，每小題3分，共54分．請(qǐng)將答案直接填在答題卡的相應(yīng)位置）
1．（3分）一組數(shù)據(jù)如下：7，10，9，6，11，9，8，4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 　8.5?。?br /> 【分析】把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，再求它們的中位數(shù)．
【解答】解：該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：4，6，7，8，9，9，10，11；
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（8+9）＝8.5．
故答案為：8.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
2．（3分）計(jì)算：　　．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，指數(shù)冪、根式的性質(zhì)，運(yùn)算即可．
【解答】解：原式＝|2|22．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)冪、根式與三角函數(shù)的混合運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（3分）化簡(jiǎn)：　3?。?br /> 【分析】根據(jù)平方差公式，對(duì)分式進(jìn)行通分，化簡(jiǎn)求解即可．
【解答】解：原式
3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的通分，平方差公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．（3分）計(jì)算：　1?。?br /> 【分析】利用平方差公式，將每個(gè)分式的分母有理化，再相消，即可得解．
【解答】解：原式
＝（1）+（）+…+（）
＝﹣1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根式的運(yùn)算，理解分母有理化是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．（3分）已知a+b＝4，ab＝2，則a2+b2＝　12?。?br /> 【分析】利用完全平方和公式，即可得解．
【解答】解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12．
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算，熟練掌握完全平方和公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，BP＝CE，BD＝CP，則∠DPE＝　70°　．

【分析】根據(jù)已知條件求得△BDP≌△EPC，再把所求角轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∵BP＝CE，BD＝CP，
∴△BDP≌△EPC，
∴∠BDP＝∠EPC，
∵∠BDP+∠BPD＝180°﹣70°＝110°，
∴∠DPE＝180°﹣∠DPB﹣∠EPC＝180°﹣（∠BDP+∠BPD）＝180°﹣110°＝70°，
故答案為：70°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查三角形全等等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
7．（3分）已知x2﹣3x+1＝0，求的值 　21?。?br /> 【分析】利用立方和公式化簡(jiǎn)可得，原式＝（）3﹣3?3，再代入已知條件，運(yùn)算即可．
【解答】解：由x2﹣3x+1＝0，知x2+1＝3x，
所以3（x）+3
＝（）3﹣3?3
＝（）3﹣3?3
＝27﹣9+3＝21．
故答案為：21．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算，熟練掌握立方和公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為20的正方形ABCD中，以BC為直徑畫一個(gè)半圓，直線DE與半圓相切，交AB于E點(diǎn)，則DE＝　25?。?br />
【分析】取BC中點(diǎn)O，則O為半圓的圓心，連接OD，OE，OF，根據(jù)直線與圓相切，有OF⊥DE，OE、OD分別平分∠BOF，∠COF，得到△DOE為直角三角形，再利用射影定理求解．
【解答】解：如圖所示：
取BC中點(diǎn)O，則O為半圓的圓心，連接OD，OE，OF，則OF⊥DE，，OE、OD分別平分∠BOF、∠COF，則△DOE為直角三角形，
∵△EFO∽△OFD，∴OF2＝DF?EF＝AB?BE
∴，
又DE＝BE+DC
則DE＝25．
故答案為：25．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系和射影定理，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．
9．（3分）不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 　　．
【分析】若不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是全體實(shí)數(shù)，我們分a2﹣1＝0，和a2﹣1≠0兩種情況進(jìn)行討論，分別求出滿足條件的a后，綜合討論結(jié)果即可得到答案．
【解答】解：當(dāng)a2﹣1＝0時(shí)，a＝±1，
若a＝1，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0可化為﹣1＜0恒成立，滿足條件；
若a＝﹣1，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0可化為2x﹣1＜0不恒成立，不滿足條件；
當(dāng)a2﹣1≠0時(shí)，若不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集是全體實(shí)數(shù)，
則
解得
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類一元二次不等式恒成立問題，不等式ax2+bx+c＜0恒成立包括兩種情況，一是，一是
10．（3分）若關(guān)于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則m的取值范圍是?。?，4]?。?br /> 【分析】根據(jù)一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)正根可得m＞0且Δ＝16﹣4m≥0，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定m的范圍．
【解答】解：∵（x﹣2）?（x2﹣4x+m）＝0有三個(gè)根（允許相等），
∴設(shè)這三根為：x1＝2，x2，x3，不妨設(shè)x2≤x3，
即x2，x3為方程x2﹣4x+m＝0的兩正根，
所以，m＞0且Δ＝16﹣4m≥0，解得0＜m≤4，
∵這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，
∴兩邊之和：x2+x3＝4＝2x1，則x2≤2≤x3，
兩邊之差：|x2﹣x3|＜2，
即（x2+x3）2﹣4x2x3＜4，
所以，16﹣4m＜4，解得m＞3，
因此，3＜m≤4，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（3，4]．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的分布，以及三角形三邊大小關(guān)系的確定，屬于中檔題．
11．（3分）如圖，△ABC是直角邊長(zhǎng)為a的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過C點(diǎn)且與半圓O1相切，則圖中陰影部分的面積是 　?。?br />
【分析】利用等弦所對(duì)的弧相等，先把陰影部分變化成一個(gè)直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圓的半徑，從而求陰影部分的面積．
【解答】解：連接O1O2，設(shè)圓O2的半徑為x，如圖所示，
∵，∴，解得x，
設(shè)⊙O1交BC于點(diǎn)D，⊙O2交BC于點(diǎn)E，
∴CE＝PE，BCAB，CD，
∴S陰影＝S△ADC﹣S△CEP
，
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是理解經(jīng)過一定的平移后，陰影部分的面積為直角梯形PEDA的面積，也用了割補(bǔ)法求面積，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．
12．（3分）如圖，P已知的半徑是1，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為 ?。?，﹣1）或（﹣1，1）或（3，1）　．

【分析】由題意可得圓心P的縱坐標(biāo)為±1，代入拋物線方程，分別求出圓心的橫坐標(biāo)，則答案可求．
【解答】解：拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1．
圓P的半徑為1，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P的縱坐標(biāo)為±1，
而圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)P的縱坐標(biāo)為﹣1時(shí)，圓心橫坐標(biāo)為1；
當(dāng)P的縱坐標(biāo)為1時(shí)，由，解得x＝﹣1或x＝3．
∴當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為（1，﹣1）或（﹣1，1）或（3，1）．
故答案為：（1，﹣1）或（﹣1，1）或（3，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與拋物線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
13．（3分）如圖，直線y＝x+1與拋物線y＝x2﹣4x+5交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，S△PAB＝　　．

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱，可以求得△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)P到直線AB的距離和AB的長(zhǎng)度，即可求得S△PAB．
【解答】解：由，解得或，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，5），
∴|AB|3，
作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與y軸交于點(diǎn)P，則此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，
點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，5），
設(shè)直線A′B的方程為y＝kx+b，
∴，解得，
∴直線A′B的方程為yx，
當(dāng)x＝0時(shí)，y，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），
將x＝0代入直線y＝x+1中，得y＝1，∵地線y＝x+1與y軸的夾角為45°，
∴點(diǎn)P到直線AB的距離是（1）×sin45°，
∴S△PAB．
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，軸結(jié)稱，最短距離問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬中檔題．
14．（3分）因式分解：6x3﹣11x2+x+4＝?。▁﹣1）（2x+1）（3x﹣4）?。?br /> 【分析】利用已知條件，提取公因式，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：6x3﹣11x2+x+4＝6x3﹣6x2﹣5x2+5x﹣4x+4＝（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4）＝（x﹣1）（2x+1）（3x﹣4）．
故答案為：（x﹣1）（2x+1）（3x﹣4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
15．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為﹣8，其中正確的結(jié)論有 　4　個(gè)．

【分析】根據(jù)拋物線圖象判斷參數(shù)符號(hào)判斷①，由頂點(diǎn)坐標(biāo)可得b＝4a、c＝﹣5a，進(jìn)而判斷②③；由a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，即可判斷④；討論ax2+bx+c＝±1，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求四個(gè)根的和判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線的開口向上，則a＞0，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，則b＞0，交y軸的負(fù)半軸，則c＜0，
∴abc＜0，①錯(cuò)誤；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，﹣9a），
∴2，9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴拋物線的解析式為y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，②正確；
9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，③正確；
∵拋物線y＝ax2+4ax﹣5a交x軸于（﹣5，0），（1.0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1，④正確；
若方程|ax+bx+c|＝1有四個(gè)根，設(shè)方程ax2+bx+c＝1的兩根分別為x1，x2，
則2，可得x1+x2＝﹣4，
設(shè)方程ax2+bx+c＝﹣1的兩根分別為x3，x4，則2，可得x3+x4＝﹣4，
所以這四個(gè)根的和為﹣8，⑤正確．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．
16．（3分）若二次函數(shù)y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1時(shí)的最大值為3，那么m的值是 　m＝4或m＝﹣2?。?br /> 【分析】由已知，討論對(duì)稱軸與已知區(qū)間的關(guān)系，進(jìn)而確定函數(shù)在區(qū)間[﹣2，1]上的單調(diào)性，可求．
【解答】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向下，對(duì)稱軸x，
若1，即m≥2時(shí)，函數(shù)在[﹣2，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值m﹣1＝3，
所以m＝4，
若2，即m≤﹣4時(shí)，函數(shù)在[﹣2，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)取得最大值﹣2m﹣4＝3，
所以m（舍）；
若﹣21，即﹣4≤m≤2時(shí)，函數(shù)在[﹣2，1]上先增后減，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得最大值3，
所以m＝﹣2或m＝2（舍）．
綜上，m＝4或m＝﹣2．
故答案為：m＝4或m＝﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上最值的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
17．（3分）如圖，在菱形ABCD中，邊AB＝5，E，F(xiàn)分別在BC和AD上，若DF＝1，BE＝3，且此時(shí)BF＝DE，則BF的長(zhǎng)為 　　．

【分析】先由已知條件求得CE和AF的長(zhǎng)，再在AF上截取AG＝CE＝2，然后判定△BAG≌△DCE（SAS），則可推得BG＝BF，由等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)可得FH、HG，從而由勾股定理可求得BH和BF．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，邊AB＝5，DF＝1，BE＝3，
∴CE＝2，AF＝4，
如圖，在AF上截取AG＝CE＝2，過點(diǎn)B作BH⊥FG于點(diǎn)H，

則FG＝AF﹣AG＝2，
∵菱形ABCD中，∠A＝∠C，AB＝DC，
∴在△BAG和△DCE中，，
∴△BAG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
∵BF＝DE，
∴BG＝BF，
過點(diǎn)B作BH⊥FG于點(diǎn)H，則FH＝HGFG＝1，
∴AH＝AG+GH＝2+1＝3，
∵AB＝5，
∴在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH＝4，
∴在Rt△BHF中，由勾股定理得：BF．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
18．（3分）已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則的值為 　3?。?br /> 【分析】設(shè)三個(gè)方程的公共根為t，代入三個(gè)方程整理得到（a+b+c）（t2+t+1）＝0，進(jìn)而得到a+b+c＝0，進(jìn)而求解結(jié)論．
【解答】解：設(shè)三個(gè)方程的公共根為t，則at2+bt+c＝0，bt2+cxta＝0，ct2+at+b＝0，
三個(gè)方程相加整理可得：（a+b+c）t2+（a+b+c）t+（a+b+c）＝0，
即（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t）20，
∴a+b+c＝0，
∴3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程的根，整體思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
二、解答題（共5小題，請(qǐng)將答案及必要的解題過程直接寫在答題卡的相應(yīng)位置）
19．（6分）隨著選修課的全面開展，我校決定圍繞在“科技、閱讀、書法、演講和英語”活動(dòng)項(xiàng)目中，你最喜歡哪一項(xiàng)（每人只限一項(xiàng)）活動(dòng)的問題，采用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查情況繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．由圖中所給出的信息解答下列問題：

（1）求在此次調(diào)查活動(dòng)中一共抽查了多少名學(xué)生，并將不完整的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（2）在此次調(diào)查活動(dòng)中，初三（1）班的兩個(gè)學(xué)習(xí)小組內(nèi)各有2人都最喜歡演講活動(dòng)，其中，只有1人是女同學(xué)，現(xiàn)從中任選2人去參加學(xué)校的演講比賽．用列表或畫樹狀圖的方法求出所選2人來自同一個(gè)小組且恰有1人是女同學(xué)的概率．

【分析】（1）根據(jù)題干所給的數(shù)據(jù)直接計(jì)算并補(bǔ)充圖形即可；
（2）利用莖葉圖列出所有結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）調(diào)查總數(shù)為120÷30%＝400（人），
最喜歡書法活動(dòng)的人數(shù)為400×20%＝80（人），
最喜歡英語活動(dòng)的人數(shù)占總數(shù)的百分比100%＝15%，
最喜歡演講活動(dòng)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為100%＝25%，


（2）用分別用A1、A2；B1、B表示兩個(gè)小組的4位同學(xué)，其中，用B表示女同學(xué)，
畫樹狀圖（或列表）如下：


共有12種情況，選出的2人來自同一個(gè)小組且恰有1人是女同學(xué)的情況有2種，
所以選出的2人來自同一個(gè)小組且恰有1人是女同學(xué)的概率為．

A1
A2
B1
B
A1

A1，A2
A1，B1
A1，B
A2
A2，A1

A2，B1
A2，B
B1
B1，A1
B1，A2

B1，B
B
B，A1
B，A2
B，B1

共有12種情況，選出的2人來自同一個(gè)小組且恰有1人是女同學(xué)的情況有2種，
所以選出的2人來自同一個(gè)小組且恰有1人是女同學(xué)的概率為．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及古典概型概率的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
【分析】（1）利用判別式大于等于零得到關(guān)于m的不等式，求解不等式即可確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）由題意結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于m的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)m的值．
【解答】解：（1）由題意可得Δ＝36﹣4（4m+1）≥0，
解得m≤2，
即m的取值范圍為（﹣∞，2]．
（2）∵x1，x2為該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∵（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4（4m+1）＝16，解得m＝1．
∵m≤2，
∴m＝1符合題意．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，韋達(dá)定理及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
21．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且∠A＝∠EBC．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）已知CG∥EB，且CG與BD，BA分別相交于點(diǎn)F，G，若BG?BA＝48，F(xiàn)G，DF＝2BF，求AH的值．

【分析】（1）欲證明BE是⊙O的切線，只需證明∠EBD＝90°．
（2）由△ABC∽△CBG，得，根據(jù)條件即可求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2＝BF?BD，根據(jù)條件即可求出BF，CF，CG，GB，再通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG＝AG，進(jìn)而可以證明CH＝CB，求出AC即可得出答案．
【解答】解：（1）證明：連接CD，如圖所示：
∵BD是直徑，
∴∠BCD＝90°，即∠D+∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠A，∠EBC＝∠A，
∴∠EBC+∠CBD＝90°，
∴BE⊥BD，
∴BE是⊙O的切線．
（2）∵CG∥EB，
∴∠EBC＝∠BCG，
∴∠BCG＝∠A，
∵∠ABC＝∠CBG，
∴△ABC∽△CBG，
∴，即BC2＝BG?BA，
又BG?BA＝48，
∴BC＝4，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，
∴△BFC∽△BCD，
∴BC2＝BF?BD，
∵DF＝2BF，
∴BF＝4，
在Rt△BFC中，CF，
∴CG＝CF+FG＝5，
在Rt△BFG中，BG，
∵BG?BA＝48，
∴BA＝8，即AG＝5，
∴CG＝AG，
∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，
∴∠CHF＝∠CBF，
∴CH＝CB＝4，
∵△ABC∽△CBG，
∴，即，
∴AH＝AC﹣CH．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定、圓的有關(guān)知識(shí)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是巧妙利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于難題．
22．（10分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣4ax+4a+c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），OB＝OC，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足∠APB＝∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A'，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)△QAA'的面積．

【分析】（1）由拋物線所過的點(diǎn)、對(duì)稱軸得到與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，寫出二次函數(shù)的兩根式，結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)求出參數(shù)a，由此能求出此拋物線的解析式；
（2）作△ABC的外接圓E，利用對(duì)稱性、圓周角相等確定要求的P點(diǎn)位置，結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由題設(shè)BD的解析式為y＝x﹣3，找到A關(guān)于∠AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)A′，使Q，B，A′在一條直線上，則QA﹣QB＝QA′﹣QB＝A′B，結(jié)合已知條件能求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再由S△QAA'＝S△A'AB+S△QAB能求出△QAA'的面積．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a+c＝a（x﹣2）2+c，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，
∵拋物線y＝ax2﹣4ax+4a+c與x軸交于A，B，且A為（1，0），
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），OB＝3，得該拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵OB＝OC，拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，
∴OC＝3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
將C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），解得a＝1，
∴此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3．
（2）作△ABC的外接圓E，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，
設(shè)圓E與拋物線的對(duì)稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn)P1，
點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P2，則P1，P2均為所求點(diǎn)，

圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對(duì)稱軸直線x＝2上，
∵∠AP1B，∠ACB都是弧AB所對(duì)的圓周角，
∴∠AP1B＝∠ACB，且射線FE上的其它點(diǎn)P都不滿足∠APB＝∠ACB，
由（1）知∠OBC＝45°，AB＝2，GF＝2，
則圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線y＝x上，
∴E（2，2），由勾股定理得EA，
∴EP1＝EA，
∴P1（2，2），由對(duì)稱性得P2（2，﹣2），
∴符合題意P的坐標(biāo)分別為P1（2，2），P2（2，2），
（3）∵點(diǎn)B，D的坐標(biāo)分別為B（3，0），D（2，﹣1），
∴直線BD的解析式為y＝x﹣3，直線BD與x軸所夾的銳角為45°，
∵點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A′，

若AA′與∠AQB的平分線的交點(diǎn)為M，
則QA＝QA′，AM＝A′M，AA′⊥QM，Q，B，A′三點(diǎn)都在一條直線上，
∵QA﹣QB，
∴BA′＝QA′﹣QB＝QA﹣QB，
作A′N⊥x軸于點(diǎn)N，
∵點(diǎn)Q在線段BD上，Q，B，A′三瞇在一條直線上，
∴A′N＝BA′?sin45°＝1，BN＝BA′?cos45°＝1，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為A′（4，1），
∵點(diǎn)Q在線段BD上，∴設(shè)Q（x，x﹣3），其中2＜x＜3，
∵QA＝QA′，∴由兩點(diǎn)間距離公式得：
（x﹣1）2+（x﹣3）2＝（x﹣4）2+（x﹣3﹣1）2，解得x，
經(jīng)檢驗(yàn)，x在2＜x＜3的范圍內(nèi)，則Q（），
此時(shí)，△QAA'的面積為：
S△QAA’＝S△A'AB+S△QAB．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線的對(duì)稱軸、勾股定理、兩點(diǎn)間距離公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
23．（12分）在矩形ABCD中，BD為矩形ABCD的對(duì)角線，∠CBD＝60°，BD＝12．
（1）如圖①，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△BC0D0，其中，點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C0、D0，延長(zhǎng)D0C0交AB于點(diǎn)E．求BE的長(zhǎng)；
（2）如圖②，將（1）中的△BC0D0以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC向右平行移動(dòng)，得到△B1C1D1，其中，點(diǎn)B、C0、D0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B1、C1、D1，當(dāng)點(diǎn)C1移動(dòng)到邊CD上時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，△B1C1D1與矩形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）如圖③，在△B1C1D1移動(dòng)過程中，直線D1C1與線段AB交于點(diǎn)N，直線B1C1與線段BD交于點(diǎn)M．是否存在某一時(shí)刻t，使△MNC為等腰三角形，若存在，求出時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）根據(jù)題意得△BCD≌△BC0D0，即可得出∠ED0B，D0B，在Rt△ED0B中，利用tan∠ED0B即可得出答案；
（2）分情況討論，①當(dāng)C0在矩形ABCB外時(shí)，即0≤t≤3，陰影部分時(shí)三角形，可利用相似三角形求出面積，②當(dāng)C0在矩形ABCB內(nèi)部時(shí)，陰影部分時(shí)四邊形，3＜t≤6和6＜t≤9；
（3）根據(jù)已知用t表示相關(guān)線段，根據(jù)等腰列出一元二次方程，判斷方程的根即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，
∵∠CBD＝60°，∴∠D0BD＝120°，∴∠D0BD+∠CBD＝180°，
∴D0，B，C三點(diǎn)在一條直線上，∴∠ABD0＝90°，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△BCD≌△BC0D0，∴∠D0BC0＝∠CBD＝60°，D0B＝BD＝12，
∴∠ED0B＝30°
在Rt△ED0B中，tan∠ED0B，解得BE＝4；
（2）①當(dāng)C0在矩形ABCB外時(shí)，即當(dāng)0≤t≤3時(shí)，，
②當(dāng)C0在矩形ABCB內(nèi)部時(shí)，當(dāng)3＜t≤6時(shí)，，
當(dāng)6＜t≤9時(shí)，；
（3）存在，理由如下：
在Rt△BCD中，CD＝BDsin∠CBD＝126，BC＝BDcos∠CBD＝126，
過點(diǎn)M作MF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示，
∵△BMB1是等邊三角形，∴BB1＝MB1＝BM＝t，
∴C1M＝|6﹣t|，D1B＝12﹣t，CF＝6，MF，
∴BN，D1N（12﹣t），C1N，
在Rt△MNC1中，MN2＝C1N2+C1M2＝||2+|6﹣t|2t2﹣20t+48，
在Rt△MCF中，MC2＝CF2+MF2＝（6）2+（）2＝t2﹣6t+36，
在Rt△NCB中，NC2＝CB2+BN2＝62+[]2t2﹣8t+84，
①當(dāng)MN＝MC時(shí)，即t2﹣20t+48＝t2﹣6t+36，解得（舍去），；
②當(dāng)CN＝MC時(shí)，即t2﹣8t+84＝t2﹣6t+36，解得（舍去），；
③當(dāng)MN＝NC時(shí)，即t2﹣20t+48t2﹣8t+84，解得（舍去），．
綜上所述，當(dāng)t的值為或或時(shí)，△MNC為等腰三角形．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查幾何變換中的旋轉(zhuǎn)，熟悉旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，會(huì)用勾股定理解決問題，，會(huì)根據(jù)等腰三角形討論點(diǎn)的存在性是解題的關(guān)鍵，屬于壓軸題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/8/17 20:59:23；用戶：高中數(shù)學(xué)朱老師；郵箱：orFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0ofc@weixin.jyeoo.com；學(xué)號(hào)：37103942

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