?2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|lg（x﹣1）≤0}，N＝{x||x|＜2}．則M∪N＝（　?。?br /> A．? B．（1，2） C．（﹣2，2] D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）＝（2+i）i，則|z|＝（　?。?br /> A．1 B．2 C． D．
3．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（5分）把函數(shù)y＝f（x）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin（x﹣）的圖像，則f（x）＝（　　）
A．sin（﹣） B．sin（+）
C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）
5．（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
6．（5分）若，則sin2α＝（　?。?br /> A． B． C． D．
7．（5分）數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求．現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（　?。?br /> A．60種 B．78種 C．84種 D．144種
8．（5分）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（2﹣x）＝f（x），數(shù)列{an}滿足a1＝﹣1，且an+1＝（1+）an+（n∈N*）．則f（a22）＝（　?。?br /> A．0 B．﹣1 C．21 D．22
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）設(shè)向量，滿足||＝||＝1，且|﹣2|＝，則以下結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．⊥ B．|+|＝2 C．|﹣|＝ D．＜，＞＝60°
10．（5分）下列命題為真命題的是（　?。?br /> A．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x、y，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，?，10）其線性回歸方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+?+x10＝3（y1+y2+y3+?+y10）＝9，則系數(shù)的值是
B．從數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2個(gè)數(shù)，則這2個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)的概率為
C．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1+30，2x2+30，?2xn+30的標(biāo)準(zhǔn)差是4
D．已知隨機(jī)變量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝0.3，則P（X＜2）＝0.7
11．（5分）以下四個(gè)命題表述正確的是（　　）
A．直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過定點(diǎn)（﹣3，﹣3）
B．圓x2+y2＝4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l：x﹣y+＝0的距離都等于1
C．曲線C1：x2+y2+2x＝0與曲線C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三條公切線，則m＝4
D．已知圓C：x2+y2＝4，點(diǎn)P為直線+＝1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（1，2）
12．（5分）在正方體AC1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F與平面D1AE的垂線垂直，如圖所示，下列說法正確的是（　?。?br />
A．點(diǎn)F的軌跡是一條線段
B．A1F與BE是異面直線
C．A1F與D1E不可能平行
D．三棱錐F﹣ABD1的體積為定值
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，若f（x0）＝﹣2，則x0＝　 ?。?br /> 14．（5分）若點(diǎn)P是曲線y＝x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x﹣2的最小距離為　 ?。?br /> 15．（5分）已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N．若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝　 ?。?br /> 16．（5分）某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：
第k棵樹種植在點(diǎn)Pk（xk，yk）處，其中x1＝1，y1＝1，當(dāng)k≥2時(shí)，，T（a）表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如T（2.6）＝2，T（0.2）＝0．按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為　 　；第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為　 　．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足：．
（Ⅰ）問數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說明理由；
（Ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
18．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a+c＝2bcosA．
（1）證明：B＝2A；
（2）設(shè)D為BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，滿足＝，且b＝a，四邊形ACDE的面積為，求線段CE的長(zhǎng)．
19．（12分）如圖，在四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，AA1＝A1B1＝AB，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，求證：C1M⊥A1C；
（Ⅱ）棱BC上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值為？若存在，求線段CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

20．（12分）某新型雙軸承電動(dòng)機(jī)需要裝配兩個(gè)軸承才能正常工作，且兩個(gè)軸承互不影響．現(xiàn)計(jì)劃購置甲，乙兩個(gè)品牌的軸承，兩個(gè)品牌軸承的使用壽命及價(jià)格情況如表：
品牌
價(jià)格（元、件））
使用壽命（月）
甲
1000
7或8
乙
400
3或4
已知甲品牌使用7個(gè)月或8個(gè)月的概率均為，乙品牌使用3個(gè)月或4個(gè)月的概率均為．
（1）若從4件甲品牌和2件乙品牌共6件軸承中，任選2件裝入電動(dòng)機(jī)內(nèi)，求電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間不少于4個(gè)月的概率；
（2）現(xiàn)有兩種購置方案，方案一：購置2件甲品牌；方案二：購置1件甲品牌和2件乙品牌（甲，乙兩品牌軸承搭配使用）．試從性價(jià)比（即電動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)間與購置軸承的成本之比）的角度考慮，選擇哪一種方案更實(shí)惠？
21．（12分）已知橢圓C：的焦距與橢圓的焦距相等，且C經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）若直線y＝kx+m與C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線l：x+ty+1＝0對(duì)稱，O為C的對(duì)稱中心，且△AOB的面積為，求k的值．
22．（12分）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在（，1）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|lg（x﹣1）≤0}，N＝{x||x|＜2}．則M∪N＝（　?。?br /> A．? B．（1，2） C．（﹣2，2] D．{﹣1，0，1，2}
【分析】求出集合M、N，由并集的定義計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，lg（x﹣1）≤0?0＜x﹣1≤1?1＜x≤2，
則集合M＝{x|lg（x﹣1）≤0}＝{x|1＜x≤2}，
|x|＜2?﹣2＜x＜2，則N＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，
則M∪N＝{x|﹣2＜x≤2}＝（﹣2，2]；
故選：C．
2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）＝（2+i）i，則|z|＝（　?。?br /> A．1 B．2 C． D．
【分析】先由等式表示出復(fù)數(shù)z，然后利用模的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．
【解答】解：因?yàn)閦（1﹣i）＝（2+i）i，
所以，
故．
故選：D．
3．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】由AD1∥BC1，得∠PBC1是直線PB與AD1所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理，求出直線PB與AD1所成的角．
【解答】解∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直線PB與AD1所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，
則PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝，
∴cos∠PBC1＝＝＝，
∴∠PBC1＝，
∴直線PB與AD1所成的角為．
故選：D．

4．（5分）把函數(shù)y＝f（x）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin（x﹣）的圖像，則f（x）＝（　?。?br /> A．sin（﹣） B．sin（+）
C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）
【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖像變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【解答】解：∵把函數(shù)y＝f（x）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，
再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin（x﹣）的圖像，
∴把函數(shù)y＝sin（x﹣）的圖像，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到y(tǒng)＝sin（x+﹣）＝sin（x+）的圖像；
再把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，
可得f（x）＝sin（x+）的圖像．
故選：B．
5．（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【分析】設(shè)出|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由雙曲線的定義可得m＝a，再通過∠F1PF2＝60°，由余弦定理列出方程，即可求解雙曲線的離心率．
【解答】解：F1，F(xiàn)2為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，|PF1|＝3|PF2|，
設(shè)|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因?yàn)椤螰1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，
所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2，
所以e＝＝．
故選：A．
6．（5分）若，則sin2α＝（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及二倍角公式，即可求解．
【解答】解：∵＝，
．
故選：B．
7．（5分）數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求．現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（　?。?br /> A．60種 B．78種 C．84種 D．144種
【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將4四門選修課程為3組，②將分好的三組安排在三年內(nèi)選修，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①將4四門選修課程分為3組，
若分為2、1、1的三組，有C42＝6種分組方法，
若分為2、2、0的三組，有＝3種分組方法，
若分為3、1、0的三組，有C43＝4種分組方法
則一共有6+3+4＝13種分組方法，
②將分好的三組安排在三年內(nèi)選修，有A33＝6種情況，
則有13×6＝78種選修方式，
故選：B．
8．（5分）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（2﹣x）＝f（x），數(shù)列{an}滿足a1＝﹣1，且an+1＝（1+）an+（n∈N*）．則f（a22）＝（　?。?br /> A．0 B．﹣1 C．21 D．22
【分析】首先求出數(shù)列的周期，進(jìn)一步利用關(guān)系式的變換和疊加法的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（2﹣x）＝f（x），
整理得f[2﹣（x+2）]＝f（x+2）＝﹣f（x），
即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）
故函數(shù)的最小正周期為4．
由于數(shù)列{an}滿足a1＝﹣1，且an+1＝（1﹣）an+，
轉(zhuǎn)換為，
故，
設(shè)，
故b22＝（b22﹣b21）+（b21﹣b20）+…+（b2﹣b1）+b1＝＝，
故a22＝20，
所以f（20）＝f（5×4）＝f（0）＝0．
故選：A．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）設(shè)向量，滿足||＝||＝1，且|﹣2|＝，則以下結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．⊥ B．|+|＝2 C．|﹣|＝ D．＜，＞＝60°
【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【解答】解：因?yàn)閨|＝||＝1，且|﹣2|＝，
所以＝5，
所以＝0，故，選項(xiàng)A正確；
因?yàn)椋剑?，
所以||＝，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋ǎ?＝＝2，
所以||＝，C正確；
因?yàn)椋?br /> 所以＝，D錯(cuò)誤；
故選：AC．
10．（5分）下列命題為真命題的是（　　）
A．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x、y，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，?，10）其線性回歸方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+?+x10＝3（y1+y2+y3+?+y10）＝9，則系數(shù)的值是
B．從數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2個(gè)數(shù)，則這2個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)的概率為
C．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1+30，2x2+30，?2xn+30的標(biāo)準(zhǔn)差是4
D．已知隨機(jī)變量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝0.3，則P（X＜2）＝0.7
【分析】直接利用回歸直線的方程的應(yīng)用，排列數(shù)的應(yīng)用和組合數(shù)的關(guān)系式，平均數(shù)和方差的關(guān)系，隨機(jī)變量的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．
【解答】解：對(duì)于A：具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x、y，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，?，10）其線性回歸方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+?+x10＝3（y1+y2+y3+?+y10）＝9，解得，，則系數(shù)的值是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1+30，2x2+30，?2xn+30的方差為22×4＝16，故標(biāo)準(zhǔn)差為4，故C正確；
對(duì)于D：隨機(jī)變量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝P（x＞3）＝0.3，則P（X≤3）＝0.7，所以P（x＜2）＜0.7，故D錯(cuò)誤；
故選：BC．
11．（5分）以下四個(gè)命題表述正確的是（　?。?br /> A．直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過定點(diǎn)（﹣3，﹣3）
B．圓x2+y2＝4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l：x﹣y+＝0的距離都等于1
C．曲線C1：x2+y2+2x＝0與曲線C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三條公切線，則m＝4
D．已知圓C：x2+y2＝4，點(diǎn)P為直線+＝1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（1，2）
【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可解出．
【解答】解：對(duì)于A，直線方程可化為m（x+3）+3x+4y﹣3＝0，令x+3＝0，則3x+4y﹣3＝0，x＝﹣3，y＝3，所以直線恒過定點(diǎn)（﹣3，3），A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)閳A心（0，0）到直線l：x﹣y+＝0的距離等于1，所以直線與圓相交，而圓的半徑為2，
故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，
因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線l：x﹣y+＝0的距離等于1，B正確；
對(duì)于C，根據(jù)兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，曲線C1：x2+y2+2x＝0化為標(biāo)準(zhǔn)式得，（x+1）2+y2＝1
曲線C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0化為標(biāo)準(zhǔn)式得，（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0
所以，圓心距為5，即1+＝5，解得m＝4，C正確；
對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），所以，，以O(shè)P為直徑的圓的方程為x2+y2﹣mx﹣ny＝0，
兩圓的方程作差得直線AB的方程為：mx+ny＝4，消去n得，m（x﹣）+2y﹣4＝0，
令x﹣＝0，2y﹣4＝0，解得x＝1，y＝2，故直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（1，2），D正確．
故選：BCD．
12．（5分）在正方體AC1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F與平面D1AE的垂線垂直，如圖所示，下列說法正確的是（　?。?br />
A．點(diǎn)F的軌跡是一條線段
B．A1F與BE是異面直線
C．A1F與D1E不可能平行
D．三棱錐F﹣ABD1的體積為定值
【分析】由A1F與平面D1AE的垂線垂直，可得只需過A1作平面A1MN∥平面D1AE，根據(jù)面面平行的性質(zhì)、正方體的性質(zhì)，逐一判判即可．
【解答】解：如圖，分別取線段BB1，B1C1的中點(diǎn)為M，N，連接A1M，MN，A1N，
因?yàn)檎襟wAC1，易得MN∥AD1，MN?面D1AE，AD1?面D1AE，所以MN∥面D1AE，
又A1M∥DE，A1M?面D1AE，D1E?面D1AE，
所以A1M∥D1AE，又MN∩A1M＝M，所以平面A1MN∥平面D1AE，
因?yàn)锳1F與平面D1AE的垂線垂直，又A1F? D1AE，
所以直線A1F與平面D1AE平行，所以A1F?面A1MN，
點(diǎn)F是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且面A1MN∩面BCC1B1＝MN，
所以點(diǎn)F的軌跡為線段MN，故A正確；
對(duì)于B，由異面直線判定可知，A1F與BE是異面直線，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M重合時(shí)，直線A1F與直線D1E平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)镸N∥AD1，MN?面ABD1，AD1?面ABD1，所以MN∥面ABD1，
則點(diǎn)F到平面ABD1的距離是定值，又三角形ABD1的面積是定值，
所以三棱錐F﹣ABD1的體積為定值，故選項(xiàng)D正確；
故選：ABD．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，若f（x0）＝﹣2，則x0＝　4　．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分x0≤1與x0＞1兩種情況討論，求出x0的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝，
當(dāng)x0≤1時(shí)，f（x0）＝（x0﹣1）2＝﹣2，無解；
當(dāng)x0＞1時(shí)，f（x0）＝x0＝﹣2，解可得x0＝4，符合題意，
故x0＝4，
故答案為：4．
14．（5分）若點(diǎn)P是曲線y＝x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x﹣2的最小距離為　?。?br /> 【分析】由題意知，當(dāng)曲線上過點(diǎn)P的切線和直線y＝x﹣2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x﹣2的距離最?。?br /> 求出曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得且點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線y＝x﹣2的距離即為所求．
【解答】解：點(diǎn)P是曲線y＝x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，
當(dāng)過點(diǎn)P的切線和直線y＝x﹣2平行時(shí)，
點(diǎn)P到直線y＝x﹣2的距離最?。?br /> 直線y＝x﹣2的斜率等于1，
令y＝x2﹣lnx的導(dǎo)數(shù) y′＝2x﹣＝1，x＝1，或 x＝﹣（舍去），
故曲線y＝x2﹣lnx上和直線y＝x﹣2平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線y＝x﹣2的距離等于，
故點(diǎn)P到直線y＝x﹣2的最小距離為，
故答案為．
15．（5分）已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N．若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝　6?。?br /> 【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出M坐標(biāo)，然后求解即可．
【解答】解：拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F（2，0），M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N．若M為FN的中點(diǎn)，
可知M的橫坐標(biāo)為：1，則M的縱坐標(biāo)為：，
|FN|＝2|FM|＝2＝6．
故答案為：6．
16．（5分）某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：
第k棵樹種植在點(diǎn)Pk（xk，yk）處，其中x1＝1，y1＝1，當(dāng)k≥2時(shí)，，T（a）表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如T（2.6）＝2，T（0.2）＝0．按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為?。?，2）?。坏?008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為?。?，402）　．
【分析】根據(jù)規(guī)律找出種植點(diǎn)橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)的通式，分別代入6和208即可求得種植點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：∵T[]﹣T[]組成的數(shù)列為
0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
將k＝2，3，4，5，…，
一一代入計(jì)算得數(shù)列xn為
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即xn的重復(fù)規(guī)律是x5n+1＝1，x5n+2＝2，x5n+3＝3，x5n+4＝4，x5n＝5．n∈N*．
數(shù)列{yn}為1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即yn的重復(fù)規(guī)律是y5n+k＝k，0≤k＜5．
∴由題意可知第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為（1，2），
第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)（3，402）．
故答案為（1，2）；（3，402）．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足：．
（Ⅰ）問數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說明理由；
（Ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【分析】（Ⅰ）由已知，求出a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝8后容易判斷出{an}既不為等差數(shù)列也不為等比數(shù)列．
（Ⅱ）（解法一）對(duì)任意正整數(shù)n，2n+1是偶數(shù)，得出，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（解法二）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，，得，
所以數(shù)列是每項(xiàng)均為0的常數(shù)列，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式
（Ⅲ） （解法一）設(shè)數(shù)列{（n+1）qn}的前n項(xiàng)和為Tn，則當(dāng)n∈N*，q≠1，q≠0時(shí)，Tn（q）＝2q+3q2+4q3+…+nqn﹣1+（n+1）qn，利用錯(cuò)位相消法求和．（Ⅱ）利用待定系數(shù)法得．
【解答】解：（Ⅰ），，，．…（3分）
因?yàn)閍3﹣a2＝2，a4﹣a3＝3，a3﹣a2≠a4﹣a3，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．
又因?yàn)?，所以?shù)列{an}也不是等比數(shù)列．…（5分）
（Ⅱ）（解法一）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，…（7分）
從而對(duì)．
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．…（9分）
（解法二）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n，，
得，
所以數(shù)列是每項(xiàng)均為0的常數(shù)列，
從而對(duì)，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．…（7分），，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．…（9分）
（Ⅲ）?n∈N*，n≥2，，也適合上式．
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為．…（11分）
（解法一）設(shè)數(shù)列{（n+1）qn}的前n項(xiàng)和為Tn，則當(dāng)n∈N*，q≠1，q≠0時(shí)，Tn（q）＝2q+3q2+4q3+…+nqn﹣1+（n+1）qn，qTn（q）＝2q2+3q3+4q4+…+nqn+（n+1）qn+1，．…（12分）
∵，∴
∴．…（14分）
（解法二）利用待定系數(shù)法可得：對(duì)?n∈N*，有，
（n+1）2n﹣3＝2n×2n﹣3﹣2（n﹣1）2n﹣4，…（12分）
從而，，…（13分）
所以．…（14分）
18．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a+c＝2bcosA．
（1）證明：B＝2A；
（2）設(shè)D為BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，滿足＝，且b＝a，四邊形ACDE的面積為，求線段CE的長(zhǎng)．
【分析】（1）由a+c＝2bcosA，利用正弦定理可得：sinA+sinC＝2sinBcosA，又sinC＝sin（B+A），結(jié)合和差公式及其A，B∈（0，π），即可證明結(jié)論．
（2）由?＝?，可得?＝0，DE⊥AB．△ABC中，由正弦定理可得：＝＝＝，可得化簡(jiǎn)可得A，B，C，利用面積計(jì)算公式、余弦定理即可得出．
【解答】解：（1）證明：∵a+c＝2bcosA，∴sinA+sinC＝2sinBcosA，又sinC＝sin（B+A），
∴sinA+sinBcosA+cosBsinA＝2sinBcosA，化為sinA＝sin（B﹣A），
∵A，B∈（0，π），∴A＝B﹣A，∴B＝2A．
（2）∵?＝?，∴?（﹣）＝0，∴?＝0，∴DE⊥AB．
△ABC中，由正弦定理可得：＝＝＝，可得cosA＝，
A∈（0，π），∴A＝，B＝，C＝．
∴BE＝DB＝．
∴S△ABC＝S四邊形ACDE+S△BDE＝+×+a×sin＝a×2a×sin，
化為a2＝4，
解得a＝2．
在△CBE中，CE＝＝．
19．（12分）如圖，在四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，AA1＝A1B1＝AB，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，求證：C1M⊥A1C；
（Ⅱ）棱BC上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值為？若存在，求線段CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（Ⅰ）取BC中點(diǎn)Q，連接AQ，推導(dǎo)出AQ⊥BC，AQ⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AQ，AD，AA1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量數(shù)量積為0證明C1M⊥A1C；
（Ⅱ）假設(shè)點(diǎn)E存在，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值為，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，λ，0），﹣1≤λ≤1，分別求出平面AD1E的法向量與平面ADD1的法向量，由兩法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值為求解λ值，可得結(jié)論．
【解答】證明：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)Q，連接AQ，∵ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，
∴△ABC是正三角形，則AQ⊥BC，即AQ⊥AD，
∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AQ，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AQ，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AA1＝A1B1＝AB＝1，
則A1（0，0，1），C（，1，0），C1（），M（0，1，0），
，，
∵＝，
∴，則A1C⊥C1M；
（Ⅱ）A（0，0，0），A1（0，0，1），D1（0，1，1），Q（，0，0），
假設(shè)點(diǎn)E存在，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值為，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，λ，0），﹣1≤λ≤1，＝（，λ，0），
＝（0，1，1），
設(shè)平面AD1E的法向量＝（x，y，z），
則，取x＝λ，得＝（λ，﹣，），
平面ADD1的法向量為＝（，0，0），
∴|cos＜，＞|＝＝，解得：λ＝±，
又二面角E﹣AD1﹣D大小為銳角，由圖可知，點(diǎn)E在線段QC上，
λ＝，即CE＝1﹣．

20．（12分）某新型雙軸承電動(dòng)機(jī)需要裝配兩個(gè)軸承才能正常工作，且兩個(gè)軸承互不影響．現(xiàn)計(jì)劃購置甲，乙兩個(gè)品牌的軸承，兩個(gè)品牌軸承的使用壽命及價(jià)格情況如表：
品牌
價(jià)格（元、件））
使用壽命（月）
甲
1000
7或8
乙
400
3或4
已知甲品牌使用7個(gè)月或8個(gè)月的概率均為，乙品牌使用3個(gè)月或4個(gè)月的概率均為．
（1）若從4件甲品牌和2件乙品牌共6件軸承中，任選2件裝入電動(dòng)機(jī)內(nèi)，求電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間不少于4個(gè)月的概率；
（2）現(xiàn)有兩種購置方案，方案一：購置2件甲品牌；方案二：購置1件甲品牌和2件乙品牌（甲，乙兩品牌軸承搭配使用）．試從性價(jià)比（即電動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)間與購置軸承的成本之比）的角度考慮，選擇哪一種方案更實(shí)惠？
【分析】（1）利用題中的條件對(duì)取件進(jìn)行分類，即可解出；
（2）分別計(jì)算出方案一，方案二的性價(jià)比，即可判斷．
【解答】解：（1）若取2個(gè)甲品牌，必滿足題意，對(duì)應(yīng)的概率為：＝，
若取一甲一乙，要能連續(xù)使用4個(gè)月的概率：＝，
若取2個(gè)乙，能連續(xù)使用4個(gè)月的概率為：＝，
∴所求概率為：＝；
（2）設(shè)電機(jī)正常工作時(shí)間為X個(gè)月，
①方案一中，X的取值為7，8，
P（X＝8）＝；
P（X＝7）＝1﹣，
∴E（X）＝7×＝，
由于甲為1000元每件，故性價(jià)比為；
②方案二中，Y的所有可能取值為：6，7，8，
P（Y＝6）＝；
P（Y＝8）＝；
P（Y＝7）＝1﹣；
∴E（Y）＝＝，
又因甲為1000元每件，乙為400元每件，兩件共800元，故性價(jià)比為；
∵；
∴從性價(jià)比看方案二更實(shí)惠．
21．（12分）已知橢圓C：的焦距與橢圓的焦距相等，且C經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）若直線y＝kx+m與C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線l：x+ty+1＝0對(duì)稱，O為C的對(duì)稱中心，且△AOB的面積為，求k的值．
【分析】（1）由已知建立方程組聯(lián)立即可求解；
（2）由已知可得k＝t，然后聯(lián)立直線y＝kx+m與橢圓方程，設(shè)出點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并代入直線l方程，得出m與k的關(guān)系式，進(jìn)而求出|AB|，再求出原點(diǎn)到直線AB的距離，由此求出三角形AOB的面積的關(guān)系式，即可求出k．
【解答】解：（1）由題意：，解得：a2＝4，b2＝2，
所以C的方程為：；
（2）因?yàn)橹本€y＝kx+m與C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線l：x+ty+1＝0對(duì)稱，所以k＝t，
聯(lián)立可得（k2+2）x2+2kmx+m2﹣4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
AB的中點(diǎn)為P（x0，y0），則△＝8（2k2+4﹣m2）＞0，
，，
因?yàn)镻（x0，y0）在直線l：x+ky+1＝0上，所以，
即，所以，即：k2＞2，
所以，
O到直線AB的距離，
所以S△AOB＝|AB|?d＝＝，解得k＝±．
22．（12分）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在（，1）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系，以及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可求出a的取值范圍，
（2）將參數(shù)進(jìn)行分類，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)問題求最值恒成立問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求構(gòu)造函數(shù)的最值．
【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1﹣x2，
設(shè)φ（x）＝lnx+1﹣x2，
則φ′（x）＝﹣3x＝，
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
∴φ（x）max＝φ（）＝＜0，
∴f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞減，即在（，1）上遞減，
若函數(shù)f（x）在（，1）上有零點(diǎn)，
則f（）f（1）＜0，
即（ln﹣+a）（﹣+a）＜0，
解得+＜a＜，
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≤g（x）恒成立，
即xlnx﹣x3+a≤xe1﹣x+x3﹣x，
化簡(jiǎn)e1﹣x﹣lnx+ax2﹣﹣1≥0，
設(shè)F（x）＝e1﹣x﹣lnx+ax2﹣﹣1，x≥1，
由F（1）＝0，F(xiàn)′（x）＝﹣e1﹣x﹣+2ax+，則F′（1）＝3a﹣2，
（i）當(dāng)3a﹣2≥0時(shí)，即a≥時(shí)，令h（x）＝F′（x）＝﹣e1﹣x﹣+2ax+，
∴h′（x）＝e1﹣x++2a（1﹣）＞0，
∴h（x）＝F′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F′（x）≥F′（1）＝3a﹣2≥0，
∴F（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）≥F（1）＝0恒成立，
即不等式f（x）≤g（x）恒成立，
（ii）當(dāng)3a﹣2＜0時(shí)，即a＜時(shí)，若F′（x）在（1，+∞）上無零點(diǎn)，
則F′（x）＜0恒成立，
∴F（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴F（x）＜F（1）＝0恒成立，即f（x）≤g（x）不成立，
若F′（x）在（1，+∞）上有零點(diǎn)，設(shè)第一個(gè)零點(diǎn)為x0，當(dāng)x0∈（1，x0）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）在區(qū)間（1，x0）上單調(diào)遞增，
∴F（x）＜F（1），即f（x）≤g（x）在區(qū)間（1，x0）上不成立，
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為[，+∞）．

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湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2022屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

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