2021屆江蘇省揚州市寶應縣高三上學期初調研測試數(shù)學試題（解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?2021屆江蘇省揚州市寶應縣高三上學期初調研測試數(shù)學試題

一、單選題
1．已知集合，，則集合中元素的個數(shù)為（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】集合A表示圓上的點，集合B表示直線上的點，聯(lián)立方程判斷根的個數(shù)即得交集元素的個數(shù).
【詳解】
依題意，集合A表示圓上的點，集合B表示直線上的點，故集合中元素表示直線與圓的交點，聯(lián)立得，方程有兩根，故直線與圓有兩個交點，故集合中有2個元素.
故選：B.
【點睛】
本題考查了直線與圓的交點個數(shù)和集合的交集運算，屬于基礎題.
2．有四個關于三角函數(shù)的命題：
；
；
；
；
其中真命題是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先判斷出的正誤，從而可得正確的選項.
【詳解】
因為，所以的最大值為，
可得不存在，使成立，得命題是假命題.
因為存在，使成立，故命題是真命題.
因為，所以，結合得
由此可得，得命題是真命題.
因為當時，，不滿足，
所以存在，使不成立，故命題是假命題．
故選：B.
【點睛】
本題考查全稱命題和特稱命題的真假，全稱命題為真需給出證明，特稱命題為真需給出實例，本題屬于中檔題.
3．日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯43°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）

A．137° B．47° C．43° D．21.5°
【答案】C
【解析】畫出過球心和晷針所確定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質定理和線面垂直的定義判定有關截線的關系，根據(jù)點處的緯度，計算出晷針與點處的水平面所成角.
【詳解】
畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點處的水平面的截線，依題意可知；
是晷針所在直線.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，
根據(jù)平面平行的性質定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得.
由于，所以，
由于，
所以，也即晷針與點處的水平面所成角為.
故選：C.

【點睛】
本題主要考查中國古代數(shù)學文化，考查球體有關計算，涉及平面平行，線面垂直的性質，屬于中檔題.
4．函數(shù)的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先驗證函數(shù)是否滿足奇偶性，由f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，，排除B,D ，再由函數(shù)的特殊值確定答案．
【詳解】
令f(x)＝y(tǒng)＝ln|x|－x2，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函數(shù)y＝ln|x|－x2為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，排除B，D；當x>0時，y＝ln x－x2，則y′＝－2x，當x∈時，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2單調遞增，排除C，A項滿足.
【點睛】
本題主要考查函數(shù)的性質，結合函數(shù)的奇偶性得出函數(shù)圖象的對稱性，是解決函數(shù)圖象選擇題常用的方法．
5．王昌齡《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由詩句可分析,“返回家鄉(xiāng)”之前一定是“攻破樓蘭”的,但“攻破樓蘭”后還是否有其他任務需要完成詩句中并未提及,進而得到結論.
【詳解】
由題,“不破樓蘭終不還”意味著如果“返回家鄉(xiāng)”,則一定“攻破樓蘭”；
但“攻破樓蘭”后,是否還有其他任務,詩句中并未提及,無法判斷此時可否“返回家鄉(xiāng)”；
故選:B
【點睛】
本題考查充分條件和必要條件的判定,屬于基礎題.
6．從編號分別為的八個大小完全相同的小球中，隨機取出三個小球，則恰有兩個小球編號相鄰的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)古典概型計算公式，結合組合數(shù)定義、列舉法進行求解即可.
【詳解】
從編號分別為的八個大小完全相同的小球中，隨機取出三個小球共有
種方法，
從編號分別為的八個大小完全相同的小球中，隨機取出三個小球恰有兩個小球編號相鄰的情況如下：

共有30種情況，
所以恰有兩個小球編號相鄰的概率為：，
故選：D
【點睛】
本題考查了古典概型計算公式的應用，考查了列舉法和組合數(shù)的應用，考查了數(shù)學運算能力.
7．已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則函數(shù)在區(qū)間上一定（）
A．是減函數(shù) B．是增函數(shù) C．有最小值 D．有最大值
【答案】B
【解析】由函數(shù)在區(qū)間上有最小值求出的取值范圍，表示出，進一步應用的范圍對的單調性、最值作出判斷．
【詳解】
函數(shù)在區(qū)間上有最小值，
函數(shù)的對稱軸應當位于區(qū)間內，
有，則，
當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，此時，（1）；
當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，此時，（1）；
當時，，，在上單調遞增，此時（1）；
綜上，在區(qū)間上單調遞增．
故選：
【點睛】
本題考查函數(shù)的單調性及函數(shù)最值的求解，考查分類討論思想，考查學生解決問題的能力屬于中檔題．
8．已知函數(shù)（，且）在上單調遞增，且關于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意首先求得a的取值范圍，然后結合函數(shù)的解析式將原問題轉化為兩函數(shù)圖像存在兩個交點的問題，數(shù)形結合即可確定a的取值范圍.
【詳解】
由函數(shù)的解析式可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，
當時，函數(shù)單調遞減，由復合函數(shù)的單調性法則可知：，
且函數(shù)在處滿足：，解得：，故，
方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則函數(shù)與函數(shù)的圖像有且僅有兩個不同的交點，
繪制函數(shù)的圖像如圖中虛線所示，

令可得：，
由可知，，
則直線與函數(shù)的圖像在區(qū)間上存在唯一的交點，
原問題轉化為函數(shù)與二次函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的交點，
很明顯當，即時滿足題意，
當直線與二次函數(shù)相切時，設切點坐標為，亦即，
由函數(shù)的解析式可得：，故：，則，
切點坐標為，從而：，即.
據(jù)此可得：的取值范圍是.
故選D.
【點睛】
本題主要考查分段函數(shù)的單調性，數(shù)形結合的數(shù)學思想，導函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，分類討論的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

二、多選題
9．設集合，，則下列關系正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】求出集合和，即可
【詳解】
，
所以，，或，所以，
，
故選：AB
【點睛】
本題主要考查了集合的交并補運算，涉及求函數(shù)值域和對數(shù)復合型函數(shù)的定義域，屬于中檔題.
10．已知兩個命題：對任意，總有；：“”是“”的充分不必要條件.則下列說法正確的是（）
A．為真命題 B．為假命題
C．為真命題 D．為假命題
【答案】BC
【解析】利用特列判斷為假命題，利用不等式的性質以及充分條件與必要條件的定義判斷為假命題，從而可得答案.
【詳解】
時，不成立，故命題為假命題；A錯B對，
“”不能推出“”， “”能推出“”，
“”是“”的必要不充分條件，故為假命題，為真命題，C對D錯，
故選：BC.
【點睛】
本題主要考查全稱命題、不等式的性質以及充分條件與必要條件的定義，考查了復合命題的真假判斷，屬于基礎題.
11．如圖，在三棱錐C-ABD中，△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，AB=4，二面角A-BD-C的大小為60°，以下結論正確的是（）

A．AC⊥BD
B．△AOC為正三角形
C．四面體A-BCD外接球的表面積為32π
D．
【答案】ABC
【解析】先根據(jù)等腰三角形性質得,再根據(jù)線面垂直判定與性質定理證明A成立；結合二面角定義判斷B成立；確定O為四面體A-BCD外接球球心，再根據(jù)求表面積公式計算判斷C成立；根據(jù)余弦定理計算判斷D錯誤.
【詳解】
因為△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，
所以，又為平面內兩相交直線，
因此平面，因為平面，所以,即A正確；
因為，所以為二面角A-BD-C的平面角，即
因為，所以△AOC為正三角形，，即B正確；
因為,所以O為四面體A-BCD外接球球心，半徑為，
因此四面體A-BCD外接球的表面積為，即C正確；
因為,所以，即D錯誤
故選：ABC
【點睛】
本題考查線面垂直判定與性質定理、二面角平面角、外接球表面積，考查綜合分析判斷能力，屬中檔題.
12．在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石.布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾（L.E. J. Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】根據(jù)已知定義，將問題轉化為方程有解，然后逐項進行求解并判斷即可.
【詳解】
根據(jù)定義可知：若有不動點，則有解.
A．令，所以，此時無解，故不是“不動點”函數(shù)；
B．令，所以或，所以是“不動點”函數(shù)；
C．當時，令，所以或，所以是“不動點”函數(shù)；
D．令，所以，所以是“不動點”函數(shù).
故選：BCD.
【點睛】
本題考查新定義的函數(shù)問題，難度較難.解答本題的關鍵是能通過定義將問題轉化為方程是否有解的問題，對于轉化能力要求較高.

三、填空題
13．已知函數(shù)，則的值域是________.
【答案】[0，+∞)
【解析】求出時二次函數(shù)的值域，再由基本不等式求出時函數(shù)的值域，取并集得答案．
【詳解】
解：由，知當時，；
當時，，當且僅當，即時取“”，
取并集得：的值域是．
故答案為：．
【點睛】
本題考查分段函數(shù)值域的求法，分段函數(shù)的值域分段求，然后取并集即可，屬于中檔題．
14．若函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，轉化為導數(shù)不小于0在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)，利用函數(shù)最值求解.
【詳解】
，
函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，
所以在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
由(),
所以，
即，
故答案為：
【點睛】
本題主要考查了利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，二次函數(shù)最值，轉化思想，屬于中檔題.
15．四棱錐P-ABCD的底面是一個正方形，PA⊥平面ABCD，，E是棱PA的中點，則異面直線BE與AC所成角的余弦值是_________

【答案】
【解析】建立空間直角坐標系，利用向量數(shù)量積求線線角.
【詳解】

以A為坐標原點，AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，
則

因此異面直線BE與AC所成角的余弦值是
故答案為：
【點睛】
本題考查利用空間向量求線線角，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
16．設，則的最小值為_______.
【答案】
【解析】先展開，利用條件化簡，再根據(jù)基本不等式求取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)單調性求最值.
【詳解】

令，即在上單調遞減
因此當時，取最小值為
故答案為：
【點睛】
本題考查基本不等式求取值范圍、利用單調性求函數(shù)最值、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

四、解答題
17．已知集合，.
（1）當時，求AB；
（2）設，，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，解得范圍，可得，由可得：，解得．即可得出．
（2）由，解得．根據(jù)是成立的必要條件，利用包含關系列不等式即可得出實數(shù)的取值范圍．
【詳解】
（1）由，解得，可得：．
，可得：，化為：，解得，．
所以=.
（2）q是p成立的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集.
由，解得．
，又集合A=，
所以或
解得0≤a≤2，即實數(shù)a的取值范圍是.
【點睛】
本題考查了簡易邏輯的判定方法、集合之間的關系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
18．已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的值域；
(2)如果對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；(2) .
【解析】（1）利用配方法化簡函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域，換元得到t＝∈[0,2]，由二次函數(shù)的性質，即可求出函數(shù)的值域；（2）先利用對數(shù)運算化簡不等式，換元，再通過分離參數(shù)法，轉化為最值問題，利用基本不等式求出最值，即可求出實數(shù)的取值范圍．
【詳解】
(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，
因為x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，
故函數(shù)h(x)的值域為[0,2]．
(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，
得(3－4)(3－)＞k·，
令，因為x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)＞k·t對一切t∈[0,2]恒成立，
①當t＝0時，k∈R；
②當t∈(0,2]時，恒成立，
即，
因為，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為－3.所以k＜－3.
綜上，實數(shù)k的取值范圍為(－∞，－3)．
【點睛】
本題主要考查含有對數(shù)式的二次函數(shù)的值域的求法，利用分離參數(shù)法解決不等式恒成立問題，以及利用基本不等式求最值．意在考查學生的轉化與化歸思想和數(shù)學運算能力．
19．設函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若函數(shù)的最大值為，正實數(shù)滿足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）分3段去絕對值解不等式組，再求并集即可得答案；
（2）先根據(jù)分段函數(shù)的單調性求出最大值可得，再通過變形后使用基本不等式可得最小值．
【詳解】
（1）不等式或或，解得，
故原不等式的解集為；
（2），
，

，
的最小值為，當且僅當時取等.
【點睛】
本題考查了絕對值不等式的解法，考查了利用基本不等式求最值，同時考查了分類討論思想與轉化思想的應用，考查計算能力，屬中檔題．
20．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°，AD⊥BC.

（1）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；
（2）求直線CD與平面ABD所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）取棱的中點，連接，，又為棱的中點，可得（或其補角）為異面直線與所成角，求解三角形可得異面直線與所成角的余弦；
（2）連接，由為等邊三角形，為邊的中點，可得，且，再由面面垂直的性質可得平面，則為直線與平面所成角，求解三角形可得直線與平面所成角的正弦值．
【詳解】
（1）取棱的中點，連接，.又因為為棱的中點，故.

所以(或其補角)為異面直線與所成的角.
在中，，故
因為可證平面，
故.在中，，故.
在等腰三角形中，，可得
所以，異面直線與所成角的余弦值為
（2）連接，因為為等邊三角形，為邊的中點，故，.又因為平面⊥平面，而平面，故平面.
所以，為直線與平面所成的角.
在中，.
在中，.
所以，直線與平面所成角的余弦值為.
【點睛】
本題考查異面直線所成角、直線與平面所成角、平面與平面垂直等基本知識，考查空間想象能力、運算求解能力與推理論證能力，屬中檔題．
21．（本小題滿分12分）
某鋼管生產車間生產一批鋼管，質檢員從中抽出若干根對其直徑（單位：）進行測量，得出這批鋼管的直徑服從正態(tài)分布．
(1)當質檢員隨機抽檢時，測得一根鋼管的直徑為,他立即要求停止生產，檢查設備，請你根據(jù)所學知識，判斷該質檢員的決定是否有道理，并說明判斷的依據(jù)；
(2)如果鋼管的直徑滿足為合格品（合格品的概率精確到0．01），現(xiàn)要從60根該種鋼管中任意挑選3根，求次品數(shù)的分布列和數(shù)學期望．
（參考數(shù)據(jù)：若,則；
．
【答案】（1）有道理；（2）分布列見解析，．
【解析】（1）因為,求出的概率，即可說明該質檢員的決定有道理；
（2）次品數(shù)的可能取值為，根據(jù)根據(jù)排列組合知識，利用古典概型概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數(shù)學期望.
【詳解】
(1),.
此事件為小概率事件，該質檢員的決定有道理.
(2),
由題意可知鋼管直徑滿足：為合格品，
故該批鋼管為合格品的概率約為0.95
60根鋼管中，合格品57根，次品3根，任意挑選3根，
則次品數(shù)的可能取值為:0,1,2,3.
，
.
則次品數(shù)的分布列列為：

0
1
2
3

得：.
22．已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求證：存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為；
（3）比較與的大小，并加以證明.
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），證明見解析.
【解析】（1）利用導數(shù)的幾何意義即可求解.
（2）將問題轉化為方程在區(qū)間有唯一解，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再利用零點存在性定理即可證明.
（3）由題意證明當時，，構造函數(shù)設，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調遞增，即可證明.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域是，
導函數(shù)為.
所以，又，
所以曲線在點處的切線方程為.
（2）由已知.
所以只需證明方程在區(qū)間有唯一解.
即方程在區(qū)間有唯一解.
設函數(shù)，
則.
當時，，故在區(qū)間單調遞增.
又，，
所以存在唯一的，使得.
綜上，存在唯一的，
使得曲線在點處的切線的斜率為.
（3）.證明如下：
首先證明：當時，.
設，
則.
當時，，，
所以，故在單調遞增，
所以時，有，
即當時，有.
所以.
【點睛】
本題考查了導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究方程的根、構造函數(shù)判斷函數(shù)的單調性比較函數(shù)值的大小，考查了轉化與劃歸的思想，屬于中檔題.

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