?2022-2023學年內(nèi)蒙古阿拉善盟一中高一（下）期中數(shù)學試卷
第I卷（選擇題）
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 已知向量，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示計算可得.
【詳解】因為，，且，
所以，解得．
故選：A．
2. 命題“，”的否定形式是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得到答案.
【詳解】特稱命題的否定是全稱命題，
命題“，”的否定形式是，.
故選：A.
3. 設全集，集合，集合，則 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用集合的運算法則求解即可./
【詳解】全集，集合，集合，
所以，，，
故選C.
【點睛】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題.
4. 已知單位向量滿足，則=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量夾角公式、數(shù)量積的運算律得，根據(jù)已知得，進而求出，最后求夾角余弦值.
【詳解】由，
又，則，
所以，則，
綜上，.
故選：B
5. 在，，，中，，，分別為內(nèi)角，，所對的邊長，若，，則的面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.
【詳解】因為若，，
所以，所以，
所以，，
所以的面積．
故選：C
6. 在中，D為的中點，E為邊上的點，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算結合圖形即可得解.
【詳解】由E為邊上的點，且，
得.

故選：C
7. 設，，，則有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用輔助角公式化簡，利用同角三角函數(shù)關系和二倍角公式化簡，利用二倍角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
【詳解】因為，
，
．
又因為，
所以，
即有.
故選：D.
8. 已知函數(shù)的圖象過點，且在上單調(diào)，把的圖象向右平移個單位之后與原來的圖象重合，當且時，，則
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
代入點求出，根據(jù)平移關系和在上單調(diào)，確定，從而得到；找到區(qū)間內(nèi)的對稱軸，由對稱性可得的值，進而代入求得結果.
【詳解】過點 ，即
又
又的圖象向右平移個單位后與原圖象重合

上單調(diào)

令，，解得，
當時，為的一條對稱軸
又
當，且時，

本題正確選項：
【點睛】本題考查三角函數(shù)值的求解，關鍵是能夠通過三角函數(shù)的圖象平移、周期、特殊點等求解出函數(shù)解析式，再利用三角函數(shù)的對稱性將問題轉化為特定角的三角函數(shù)值求解.
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）
9. (多選)為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（ ）
A. 向左平移個單位長度，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍
B. 向左平移個單位長度，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?br /> C. 橫坐標變?yōu)樵瓉淼模傧蜃笃揭苽€單位長度
D. 橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，再向左平移個單位長
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷即可.
【詳解】要得到函數(shù)的圖象，
可將的圖象上所有點向左平移個單位長度，
然后將所得圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變而得到；
也可將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變，
然后將所得圖象上所有點向左平移個單位長度而得.
故選：BC.
10. 已知角，，是的三個內(nèi)角，下列結論一定成立的有（ ）
A. 若，則是等腰三角形
B. 若，則
C. 若是銳角三角形，則
D. 若，，，則的面積為或
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用誘導公式判斷A，利用正弦定理及大角對大邊判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質判斷C，利用余弦定理求出，再由面積公式計算即可判斷D；
【詳解】解：對于A：若，則，整理得：或，
即或，故為直角三角形或等腰三角形，故A錯誤；
對于B：若，即，利用正弦定理得：，故，故B正確；
對于C：是銳角三角形，所以，整理得，故，
整理得：，故C正確；
對于D：由余弦定理，即，解得或，
所以或，故D正確；
故選：BCD
11. 已知向量，， 則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若在上的投影向量的模為，則向量與的夾角為
C. 存在，使得
D. 的最大值為
【答案】CD
【解析】
【分析】利用向量的數(shù)量積為0，求出正切函數(shù)值判斷A；利用向量的數(shù)量積求解向量的投影以及向量的夾角判斷B；通過向量的模的求法求解判斷C；利用向量的數(shù)量積結合兩角和與差的三角函數(shù)，求解最大值判斷D．
【詳解】對于A，若，則，則，故A錯誤；
對于B，由已知可得，且在上的投影向量的模為，所以，
所以，又，所以或，故B錯誤；
對于C，若，則，則，即，此時與同向，所以，解得，故C正確；
對于D，，其中，因為，，則當時，的最大值為，故D正確，
故選：CD．
12. 已知：函數(shù)，若直線與函數(shù)的圖象有三個交點，，，且，則下列命題中正確的是（ ）
A. 函數(shù)有兩個零點0和2 B.
C. 方程有6個不同根 D. 當時，方程有兩個不相等的實根
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，求出函數(shù)的零點可判斷A；作出函數(shù)的大致圖象，由圖結合題意可得，即有，結合對數(shù)運算化簡即可判斷B；方程根的問題轉化為圖象交點的問題，結合圖形可判斷C，D.
【詳解】由題意，令，
當時，，解得；當時，，解得，
則函數(shù)有兩個零點0和2，故A正確；
作出函數(shù)的大致圖象，如圖，

由圖結合題意可知，，
由，可得，即，故B正確；
由可得或，
由圖可知，函數(shù)的圖象與直線及共有4個交點，則方程有4個不同的根，故C錯誤；
當時，
當時，令，解得，
且由圖象可得當時，與只有一個交點。
綜上，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，則方程有兩個不相等的實根，故D正確.
故選：ABD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 在△ABC中，，，，則△ABC的外接圓半徑為________
【答案】##
【解析】
【分析】運用正弦定理及余弦定理可得解.
【詳解】根據(jù)余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圓半徑為.
故答案為:.
14. 已知為銳角，角的終邊經(jīng)過點，，則________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由角的終邊經(jīng)過點，不妨設為銳角，可得，，結三角函數(shù)值可得，則由可得，再由兩角差的正切公式可求出的值
【詳解】因為角的終邊過點，不妨設為銳角，
則，.
因為，又因為為銳角，
所以，所以.
所以.
故答案為：3
15. 已知，若存在，滿足，則稱是的一個“友好”三角形．在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是_____：（請寫出符合要求的條件的序號）
①，，；②，，；③，，．
【答案】②
【解析】
【分析】滿足,根據(jù)誘導公式，則有,,.逐一驗證選項即可．
【詳解】滿足,
則有,,．
對于①,,顯然不成立．
對于②，可取,,滿足題意．
對于③，由,，則,可取的角為
或,若有一個角為,另一個角,此時
大于,不合題意,故==,
或,不合題意.所以③不滿足．
故答案為②．
【點睛】本題考查新定義,考查誘導公式以及推理能力,根據(jù)條件逐一驗證,屬于中檔題.
16. 已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是____
【答案】
【解析】
【分析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故再結合周期表達式即可得出的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，T，即 又所以.
故答案為
【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的性質，結合奇偶性，單調(diào)性可得出函數(shù)周期的情況，熟練掌握三角函數(shù)圖象及性質是關鍵.
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 已知向量，，．
（1）若與向量垂直，求實數(shù)的值；
（2）若向量，且與向量平行，求實數(shù)的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得的值.
（2）根據(jù)向量平行列方程，化簡求得的值.
【小問1詳解】
向量，，．
，，
與向量垂直，
，
解得．
【小問2詳解】
向量，，
與向量平行，
，
解得．
18. 在中，，，且，求：
（1）求值；
（2）求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由正弦定理化簡已知等式可得，由已知條件利用余弦定理得，解方程得到a的值，進而可求b得值.
(2)由已知條件，利用同角三角函數(shù)的基本關系可求得值，進而根據(jù)三角形的面積公示可計算得解.
【小問1詳解】
因為，由正弦定理得，，所以，
由余弦定理得，因為，，
所以，化簡得，解得 或，
當時，，與題意不符合;
當時，，符合題意.
所以.
【小問2詳解】
因為，，
所以，所以的面積
19. 在中，角所對的邊分別是，設的面積為.已知.
（1）求角的值；
（2）若，點在邊上，為的平分線，的面積為，求邊長的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式結合余弦定理求出，即可得解；
（2）根據(jù)的面積求出，再利用等面積法即可得出答案.
【小問1詳解】
因為，
即，
所以，
所以，
又，所以；
【小問2詳解】
因為為的平分線，所以，
又，所以，
由，得，
解得或，
所以

20. 已知函數(shù)f（x）＝x2－ax＋2．
（1）若f（x）≤－4的解集為[2，b]，求實數(shù)a，b的值；
（2）當時，若關于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程的關系得出實數(shù)a，b的值；
（2）不等式f（x）≥1－x2等價于，結合基本不等式得出實數(shù)a的取值范圍．
【小問1詳解】
若f（x）≤－4解集為[2，b]，則的解集為[2，b]
所以，解得
【小問2詳解】
由f（x）≥1－x2得對恒成立
即在區(qū)間恒成立，所以
又，當且僅當時，取等號
所以，即，故實數(shù)的取值范圍為
21. 已知向量，，函數(shù)，的最小正周期為．
（1）求的解析式；
（2）方程在上有且只有一個解，求實數(shù)n的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運算得到，再根據(jù)周期求出即可；
（2）將問題轉化為函數(shù)與在的圖象只有1個交點求解.
【小問1詳解】
解：，
，
∵的最小正周期為，
∴，
∴，
則.
【小問2詳解】
因為方程與在上有且僅有1個解，
所以函數(shù)與在的圖象只有1個交點，
∵，
∴，
當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，
∵，，，
若要使與只有1個交點，
則或，
解得或．
22. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若對于任意的，當時，恒成立，求實數(shù)的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖象得出周期，即可根據(jù)三角函數(shù)周期計算得出，將點代入新解析式，得，根據(jù)已知得出范圍，結合三角函數(shù)的零點得出，將點代入新解析式，即可得出，即可得出答案；
（2）設，根據(jù)已知結合誘導公式與輔助角公式化簡，結合已知與函數(shù)單調(diào)性的定義得出在區(qū)間上單調(diào)遞減，由三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解出的單調(diào)遞減區(qū)間，即可根據(jù)范圍結合集合包含關系列出不等式組，即可解出答案.
【小問1詳解】
由圖象可知，周期，
，
因為點在函數(shù)圖象上，
所以，即，
又，
，
則，即，
因為點在函數(shù)圖象上，所以，即，
故函數(shù)的解析式為.
【小問2詳解】
由題意可得，
設

，當時，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
令，解得，
因為，所以，則，
故，解得，
所以最大值為.
??

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