2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古阿拉善盟第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題含答案

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2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古阿拉善盟第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義運(yùn)算即得答案.【詳解】∵集合，，∴.故選：B.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則共軛復(fù)數(shù)的模為（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)，從而求出其模.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，則.故選：C3．可導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是該函數(shù)在這一點(diǎn)取極值的（   ）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值為和極值的關(guān)系進(jìn)行判斷【詳解】若，則，因此單調(diào)遞增無(wú)極值，故無(wú)法推出在該點(diǎn)取到極值，充分性不成立；可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取到極值，根據(jù)極值的性質(zhì)可知在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值是，必要性成立.故選：A4．函數(shù)的最小正周期是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】直接利用函數(shù) 的周期公式 求解.【詳解】函數(shù)的最小正周期是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．5．已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】在中，，所以得：，由正弦定理可得：即，所以，故選：B.6．已知向量，，且，則向量的夾角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可求得，根據(jù)向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】，，，又，.故選：D.7．設(shè)，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以；因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，則，所以；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，綜上，.故選：A.8．已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C【詳解】試題分析：由題意知，．故選C．【解析】空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．【思路點(diǎn)睛】解決這類(lèi)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問(wèn)題，一般是借助長(zhǎng)方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系． 9．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（    ）    A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，由導(dǎo)函數(shù)的圖象知：函數(shù)在內(nèi)，與x軸有四個(gè)交點(diǎn)：從左向右看，第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，是極大值點(diǎn)，第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，是極小值點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，沒(méi)有變號(hào)，所以不是極值點(diǎn)，第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，是極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)有1個(gè)，故選：A10．甲、乙、丙做同一道題，僅有一人做對(duì).甲說(shuō)：“我做錯(cuò)了.”乙說(shuō)：“甲做對(duì)了.”丙說(shuō)：“我做錯(cuò)了.”如果三人中只有一人說(shuō)的是真的，以下判斷正確的是（    ）A．甲做對(duì)了 B．乙做對(duì)了 C．丙做對(duì)了 D．以上說(shuō)法均不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)合情推理，分別假設(shè)甲、乙、丙做對(duì)了，逐一判斷即可.【詳解】假設(shè)甲做對(duì)了，則乙、丙做錯(cuò)，則乙、丙的說(shuō)法正確，不符合題意；假設(shè)乙做對(duì)了，則甲、丙做錯(cuò)，則甲、丙說(shuō)法正確，不符合題意；假設(shè)丙做對(duì)了，則甲、乙做錯(cuò)，則乙、丙說(shuō)法錯(cuò)誤，甲說(shuō)法正確，符合題意.丙做對(duì)，故選：C.11．下列命題：①，；②，，③“若，則”的否命題④“若則的解集為R”的逆否命題 其中真命題的個(gè)數(shù)是（    ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】舉反例，判斷①，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷②，根據(jù)原命題寫(xiě)出否命題，即可判斷③，根據(jù)不等式恒成立，求的取值，再結(jié)合原命題和逆否命題的等價(jià)性，即可判斷④.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故①假命題；②設(shè)，，，所以存在，使，即，故②真命題；③“若，則”的否命題是“若，則”，為假命題，例如，，就不滿足，故③假命題；④若的解集為R，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，得，綜上可知，所以“若則的解集為R”，為真命題，而原命題和逆否命題等價(jià)，故④真命題.故選：B12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由題意，原問(wèn)題等價(jià)于，令 ，則，進(jìn)而可得在上為減函數(shù)，則在上恒成立，即從而即可求解.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)閷?duì)，當(dāng)時(shí)都有恒成立，等價(jià)于，即，令，則，所以在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，且，所以，所以，解得，故選：A. 二、填空題13．拋物線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為      .【答案】【解析】化拋物線的方程為，即得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】依題意，拋物線C：，故，.則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書(shū)之一的《九章算術(shù)》有一衰分問(wèn)題：“今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)久千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百人.”意思是用分層抽樣從這三個(gè)鄉(xiāng)中抽出了500人服役，則南鄉(xiāng)應(yīng)該抽出          人．【答案】120【詳解】分析：根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算抽樣比例，從而求出南鄉(xiāng)應(yīng)抽人數(shù).詳解：根據(jù)分層抽樣原理，抽樣比例為，南鄉(xiāng)應(yīng)該抽出人.故答案為120.點(diǎn)睛：分層抽樣的特點(diǎn)：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時(shí)可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣．15．若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是              ．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，求最值問(wèn)題.【詳解】由題可知：，在區(qū)間恒成立，得恒成立，即，設(shè)，，在區(qū)間恒成立，則函數(shù)的最小值為，所以.故答案為：16．下列圖形中的圖案都是由一些小正方形構(gòu)成的，設(shè)第個(gè)圖案所包含的小正方形的個(gè)數(shù)為，則的表達(dá)式為        ． 【答案】【解析】由，，，，，據(jù)此歸納即可.【詳解】解：，，，，，由此歸納，，故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先觀察前四項(xiàng)的規(guī)律，再歸納出的表達(dá)式，再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和即可. 三、解答題17．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．    （1）求的通項(xiàng)公式；    （2）求，并求的最小值．【答案】（1）；（2），最小值為–16．【分析】（1）方法一：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即得結(jié)果；（2）方法二：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）[方法一]：【通性通法】【最優(yōu)解】 公式法設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，解得：，所以．[方法二]：函數(shù)+待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)公式為，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：鄰項(xiàng)變號(hào)法由可得．當(dāng)，即，解得，所以的最小值為，所以的最小值為．[方法2]：函數(shù)法由題意知，即，所以的最小值為，所以的最小值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：直接根據(jù)基本量的計(jì)算，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差，即可得到通項(xiàng)公式，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的函數(shù)形式特征，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，用待定系數(shù)法解方程組求解；（2）方法一：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，再利用鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值；方法二：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值．18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】(1)遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為(2)最大值為59，最小值為-49 【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，解不等式，得到單調(diào)區(qū)間；（2）求出極值和端點(diǎn)值，比較后確定最值.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>R，且，令得，令得，所以遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間；(2)x-3(-3，-1)-1(-1，1)1(1，3)3 +0-0+ -49單調(diào)遞增極大值11單調(diào)遞減極小值-1單調(diào)遞增59所以函數(shù)在上的最大值為59，最小值為 -49.19．設(shè)集合，集合．(1)若，求和(2)設(shè)命題，命題，若是成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）當(dāng)，所以，再求和即可求出答案.（2）因?yàn)?/span>是成立的必要不充分條件，所以?，分類(lèi)討論和，即可得出答案.【詳解】（1），因?yàn)?/span>，所以，所以，．（2）因?yàn)?/span>是成立的必要不充分條件，所以?，當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，．解得 ，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是20．設(shè)復(fù)數(shù)(1)若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.(2)若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意可得實(shí)部為零，虛部不為零，從而可求出實(shí)數(shù)的值；（2）由題意可得復(fù)數(shù)的實(shí)部小于零，虛部大于零，解不等式組可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以，得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為21．已知函數(shù)（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線的斜率即為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值可求出斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可寫(xiě)出切線方程；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，討論的范圍以確定函數(shù)的單調(diào)性，令即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，，又，∴在處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，不符合題意.當(dāng)時(shí)，令，得，在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵有兩個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，即，∵，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題.22．已知函數(shù).(1)求的極值點(diǎn)；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍【答案】(1)極大值點(diǎn)為，無(wú)極小值點(diǎn)；(2) 【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上為增函數(shù)，得到，使得，進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，無(wú)極小值點(diǎn)；（2）因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，所以在上為增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，，所以，使得，即，當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以，由，可得，令，則，又由，所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，所以，即，所以，所以，綜上所述，滿足條件的的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類(lèi)參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．