?內蒙古阿拉善盟2022-2023學年高一下學期期末考試數學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．已知復數（i是虛數單位），則在復平面內對應的點位于（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，且，則實數=
A． B．0 C．3 D．
3．下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則存在唯一實數使得
C．若，，則
D．與非零向量共線的單位向量為
4．已知，則（????）
A． B． C． D．
5．已知向量滿足，則與所成角為（????）
A． B． C． D．
6．工廠為了了解某車間的生產效率，對該車間200名工人上月生產的產品數量（單位：件）進行抽樣調查，整理得到如圖的頻率分布直方圖，則下列估計正確的為（????）

①該車間工人上月產量的極差恰好為50件；
②車間約有120名工人上月產量低于65件；
③該車間工人上月產量的平均數低于64件；
④該車間工人上月產量的中位數低于63件．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．已知正三棱錐的所有棱長均為2，則側面與底面所成二面角的余弦值為（????）
A． B． C． D．
8．為了增強數學的應用性，強化學生的理解，某學校開展了一次戶外探究.當地有一座山，高度為，同學們先在地面選擇一點，在該點處測得這座山在西偏北方向，且山頂處的仰角為；然后從處向正西方向走140米后到達地面處，測得該山在西偏北方向，山頂處的仰角為.同學們建立了如圖模型，則山高為（????）

A．米 B．米 C．米 D．米

二、多選題
9．已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（????）
A．如果，，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，，那么
D．如果，，，那么
10．如圖，已知點為正六邊形中心，下列結論中正確的是

A． B．
C． D．
11．（多選）函數(，，)在一個周期內的圖像如圖所示，則（????）

A．該函數的解析式為
B．該函數圖像的對稱中心為，
C．該函數的增區(qū)間是，
D．把函數的圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，可得到該函數圖像
12．如圖，在正方體中，點在線段上運動，有下列判斷，其中正確的是（????）

A．平面平面
B．平面
C．異面直線與所成角的取值范圍是
D．三棱錐的體積不變

三、填空題
13．若是純虛數，，則的實部為 .
14．已知，滿足，，則 ．
15．如圖，A，B，C，D為平面內的四個點，，為線段的中點，若，則 ．

16．已知函數的最小正周期為，將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），所得函數圖象的一條對稱軸方程是，則的值為 ．

四、解答題
17．設兩個非零向量與不共線．
(1)若，，求證三點共線．
(2)試確定實數，使和共線．
18．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，的面積為，求的周長.
19．已知函數.
（1）利用“五點法”，完成以下表格，并畫出函數在區(qū)間上的圖象；

0

π









0

0

0
（2）求出函數的單調減區(qū)間；
（3）當時，有解，求實數a的取值范圍.
20．某大學共有“機器人”興趣團隊1000個，大一、大二、大三、大四分別有100個、200個、300個、400個．為挑選優(yōu)秀團隊，現用分層隨機抽樣的方法，從以上團隊中抽取20個．
(1)應從大三中抽取多少個團隊？
(2)將20個團隊分為甲、乙兩組，每組10個團隊，進行理論和實踐操作考試（共150分），甲、乙兩組的成績如下：
甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140
從甲、乙兩組中選一組強化訓練，備戰(zhàn)機器人大賽．從統(tǒng)計學數據看，若選擇甲組，理由是什么？若選擇乙組，理由是什么？
21． 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.
22．如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，，.
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）若是面積為的等邊三角形，求四棱錐的體積.


參考答案：
1．B
【分析】根據復數除法運算公式求出，寫出對應點坐標即可.
【詳解】因為，所以對應點的坐標為，所以在復平面內對應的點位于第二象限．
故選：B．
2．C
【詳解】試題分析：由題意得，，因為，所以，解得，故選C.
考點：向量的坐標運算.

3．D
【分析】對A，向量模相等，則向量相等或相反；對B，向量共線定理判斷；對C，利用向量平行（或共線）的性質判斷，對D利用非零向量的單位向量的求解方法求解.
【詳解】若，則或，所以選項A錯誤；
若，此時 不存在，選項B錯誤；
若，由，，不一定得到，選項C不正確；
由向量為非零向量，根據單位向量的定義，選項D正確.
故選：D.
4．D
【分析】根據角的變換，結合三角函數恒等變換，即可求解.
【詳解】
.
故選：D
5．A
【分析】根據向量模的運算得，進而結合向量夾角公式求解即可.
【詳解】解：因為向量滿足，
所以，解得，
所以，
因為，
所以，，即與所成角為.
故選：A
6．D
【分析】根據給定的頻率分布直方圖，結合頻率的計算，以及平均數、方差和中位數的計算方法，逐項判定，即可求解.
【詳解】①中，根據頻率分布直方圖，可得該車間工人上月產量的極差大約為50件，所以①不正確；
②中，根據頻率分布直方圖，可得低于65件的頻率為，
所以月產量低于65件的人數為，所以②正確；
③中，根據頻率分布直方圖，可得平均數為：
，所以③不正確；
④中，根據頻率分布直方圖，設中位數為，可得，所以④正確.
故選：D.
7．C
【解析】由正棱錐的性質作出側面與底面所成的二面角的平面角，然后在直角三角形中計算．
【詳解】如圖所示，過點作底面，點為垂足，連接，則，點為等邊三角形的中心.
延長交于點，連接.

則.
為側面與底面所成二面角的平面角.
∵正三棱錐的所有棱長均為2，
.
在中，，故選C.
【點睛】本題考查求二面角，解題關鍵是掌握正棱錐的性質作出二面角的平面角．
8．C
【解析】設山的高度為，在中，根據題意，可表示出AO，在中，可表示出BO，在中，利用余弦定理，即可求得答案.
【詳解】設山的高度為，在中，，，
在中，，，
在中，，
由余弦定理得，；
即，化簡得；
又，所以解得；
即山的高度為（米）.
故選：C
9．ABC
【分析】根據線面位置關系，面面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由，，則或，又由，根據面面垂直的判定定理，可得，所以A正確；
對于B中，若，，根據面面平行的性質定理，可得，所以B正確；
對于C中，如圖所示，過直線作平面和平面，設，
因為，且，所以，同理可證，所以，
又因為且，所以，
因為且，所以，又因為，所以， 所以C正確；
??
對于D中，若，，或，又，則可能，所以D錯誤.
故選：ABC.
10．BC
【解析】利用向量的加法法則、減法法則的幾何意義，對選項進行一一驗證，即可得答案.
【詳解】對A，，故A錯誤；
對B，∵，，由正六邊形的性質知，∴，故B正確；
對C，設正六邊形的邊長為1，則，，
∴，式子顯然成立，故C正確；
對D，設正六邊形的邊長為1，，，故D錯誤；
故選：BC.
【點睛】本題考查向量的加法法則、減法法則的幾何意義，考查數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意向量的起點和終點.
11．ACD
【分析】對于選項A:根據圖像和已知條件求出和最小正周期，然后利用正弦型函數的最小正周期公式求出，通過代點求出即可；對于選項BC:結合正弦函數的性質，利用整體代入法求解即可；對于選項D：利用伸縮變換即可求解.
【詳解】由題圖可知，，周期，
所以，則，
因為當時，，即，
所以，，即，，
又，故，
從而，故A正確；
令，，得，，故B錯誤；
令，，
得，，故C正確；
函數的圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，
可得到，故D正確．
故選:ACD
12．ABD
【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷；
對于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷；
對于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可；
對于D，先利用線線平行得到點到面平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷.
【詳解】對于A，連接，如圖，
因為在正方體中，平面，
又平面，所以，
因為在正方形中，又與為平面內的兩條相交直線，所以平面，
因為平面，所以，同理可得，
因為與為平面內兩條相交直線，可得平面，
又平面，從而平面平面，故A正確；
.??
對于B，連接，，如圖，
因為，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又、為平面內兩條相交直線，所以平面平面，
因為平面，所以平面，故B正確；
對于C，因為，所以與所成角即為與所成的角，
因為，所以為等邊三角形，
當與線段的兩端點重合時，與所成角取得最小值；
當與線段的中點重合時，與所成角取得最大值；
所以與所成角的范圍是，故C錯誤；
對于D，由選項B得平面，故上任意一點到平面的距離均相等，
即點到面平面的距離不變，不妨設為，則，
所以三棱錐的體積不變，故D正確．
故選：ABD.
【點睛】關鍵點睛：解答本題關鍵在于熟練掌握線面垂直與面面垂直的判定定理、線面平行與面面平行的判定定理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化嚴密推理.
13．1
【分析】依題意有，代入中化簡可求實部.
【詳解】是純虛數，且，則有，故，實部為1.
故答案為：1.
14．/
【分析】利用和差角的余弦公式得到，再根據同角三角函數的基本關系將切化弦，通分、再由兩角和的正弦公式計算可得.
【詳解】解：因為，
所以，
所以，
又因為，則，
所以.
故答案為：
15．/1.25
【分析】根據向量的線性運算即可結合平面向量基本定理求解.
【詳解】因為，即，所以．
又為線段的中點，所以，所以，，則．
故答案為:
16．0
【分析】根據函數的最小正周期求出，求出圖象平移、伸縮變化后的解析式，再由對稱軸方程可得答案.
【詳解】因為函數的最小正周期為，
所以，，
將函數的圖象向左平移個單位長度，
可得，
再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），可得，
因為所得函數圖象的一條對稱軸方程是，
所以，可得，
因為，所以.
故答案為：0.
17．(1)證明見解析；
(2)或.

【分析】(1)轉化為證明向量，共線，即可證明三點共線；
(2)由共線定理可知，存在實數，使，利用向量相等，即可求解的值.
【詳解】（1）因為，，，
所以

所以，共線，
又因為它們有公共點，
所以三點共線；
（2）因為和共線，
所以存在實數，使，
所以，
即 .
又，是兩個不共線的非零向量，
所以
所以，
所以或.
18．（1）；（2）
【解析】（1）根據正弦定理以及兩角和的正弦公式即可求出，進而求出；
（2）根據余弦定理可得到，再根據三角形面積公式得到 ，即可求出 ，進而求出的周長.
【詳解】解：（1），
由正弦定理得：，
整理得：，
∵在中，，
∴，
即，
∴，
即；
（2）由余弦定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周長為.
19．（1）表格和作圖見解析；（2），，；（3），.
【分析】（1）利用“五點法”即可作出函數在一個周期上的圖象（先列表，再畫圖）；
（2）令，，解得的范圍即可得解函數的單調遞減區(qū)間；
（3）求出的值域，即可得到的范圍．
【詳解】解：（1）列表、畫圖如下：

0











0

0

0
（2）由，，得：，，
的單調減區(qū)間為：，，，
（3），
，，
，．
，．
有解，即有解，
故，．
【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質，要求熟練掌握五點法作圖，難度不大，屬于基礎題．
20．(1)個團隊
(2)答案見解析

【分析】（1）根據分層抽樣的概念及方法，即可求解；
（2）求得甲組、乙組的平均數和方差，結合平均數和方差，得出結論.
【詳解】（1）解：由題意知，大三團隊個數占總團隊個數的，
則用分層隨機抽樣的方法，應從大三中抽取 (個)團隊．
（2）解：甲組成績的平均數，
乙組成績的平均數，
甲組數據的方差，
乙組數據的方差，
選甲組理由：甲、乙兩組平均數相差不大，但，甲組成績波動?。?br /> 選乙組理由：，在競技比賽中，高分團隊獲勝的概率大．
21．（I）見解析；（II）見解析；（III）.
【分析】（I）連接，結合平行四邊形的性質，以及三角形中位線的性質，得到，利用線面平行的判定定理證得結果；
（II）取棱的中點，連接，依題意，得，結合面面垂直的性質以及線面垂直的性質得到，利用線面垂直的判定定理證得結果；
（III）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角，放在直角三角形中求得結果.
【詳解】（I）證明：連接，易知，，

又由，故，
又因為平面，平面，
所以平面.
（II）證明：取棱的中點，連接，

依題意，得，
又因為平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，故，
又已知，，
所以平面.
（III）解：連接，


由（II）中平面，
可知為直線與平面所成的角.
因為為等邊三角形，且為的中點，
所以，又，
在中，，
所以，直線與平面所成角的正弦值為.
【點睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力和推理能力.
22．（I）詳見解析；（II）.
【分析】（I）根據平面PAD⊥底面ABCD可得CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面PCD；
（II）設AD的中點為E，連接PE，BE，證明PE⊥平面ABCD，根據勾股定理計算AE，BE，從而可計算出棱錐的體積．
【詳解】（Ⅰ）∵平面底面，平面底面，
∴平面
又∵平面
∴平面平面
（Ⅱ）如圖，

設的中點為，連接，
∵
∴
∵平面底面，平面底面
∴底面
∵是面積為的等邊三角形
∴
∵是的中點，，，
∴四邊形為矩形，
∴，故
∴是等腰直角三角形，故
∴在直角三角形中有
∴
∴直角梯形的面積為
∴
【點睛】本題考查了面面垂直的性質與判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．

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