2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章第2節(jié)用樣本估計(jì)總體學(xué)案

這是一份2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章第2節(jié)用樣本估計(jì)總體學(xué)案，共27頁(yè)。學(xué)案主要包含了教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)，基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?第二節(jié)　用樣本估計(jì)總體
考試要求：結(jié)合實(shí)例，能夠利用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)以及離散程度，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差．

一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)
1．頻率分布直方圖
(1)頻率分布表的畫法．
第一步：求極差，極差＝最大值－最小值；
第二步：決定組數(shù)和組距，組距＝極差組數(shù)；
第三步：將數(shù)據(jù)分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第四步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．
(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)．

橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率組距，每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率．

1．頻率分布直方圖

可以利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的取值規(guī)律．
2．頻率分布直方圖中的常見(jiàn)結(jié)論
(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高的小長(zhǎng)方形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)．
(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．
2．中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)
(1)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
(2)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．
3．百分位數(shù)
(1)第p百分位數(shù)的定義：
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．
(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
第2步，計(jì)算i＝np%．
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
4．樣本的數(shù)字特征
如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么平均數(shù)為x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)，
標(biāo)準(zhǔn)差為s＝1nx1-x2+x2-x2+…+xn-x2，
方差為s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是mx＋a.
(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.
二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．
(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．(　√　)
(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)越集中． (　×　)
(3)在頻率分布直方圖中，小長(zhǎng)方形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大． (　√　)
2．“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間[0，10]內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高．現(xiàn)隨機(jī)抽取10位居民，他們的幸福感指數(shù)為5，6，6，6，7，7，8，8，9，10.則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是(　　)
A．7.5 B．8
C．8.5 D．9
C　解析：因?yàn)?0×80%＝8，所以數(shù)據(jù)5，6，6，6，7，7，8，8，9，10的第80百分位數(shù)是12×(8＋9)＝8.5.
3．某工廠技術(shù)人員對(duì)三臺(tái)智能機(jī)床的生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)甲車床每天生產(chǎn)次品數(shù)的平均數(shù)為1.4，標(biāo)準(zhǔn)差為1.08；乙車床每天生產(chǎn)次品數(shù)的平均數(shù)為11，標(biāo)準(zhǔn)差為0.85；丙車床每天生產(chǎn)次品數(shù)的平均數(shù)為1.1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.78.由以上數(shù)據(jù)可以判斷生產(chǎn)性能最好且較穩(wěn)定的為(　　)
A．無(wú)法判斷 B．甲車床
C．乙車床 D．丙車床
D　解析：因?yàn)?.1＜1.4＜11，0.78＜0.85＜1.08，所以可以判斷生產(chǎn)性能最好且較穩(wěn)定的為丙車床．
4．從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間[82，86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是(　　)

A．20 B．40
C．64 D．80
D　解析：由頻率分布直方圖知，評(píng)分在區(qū)間[82，86)內(nèi)的影視作品的頻率為(86－82)×0.05＝0.2，故評(píng)分在區(qū)間[82，86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是400×0.2＝80.
5．已知樣本量為200，在樣本的頻率分布直方圖中，共有n個(gè)小長(zhǎng)方形．若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其余(n－1)個(gè)小長(zhǎng)方形面積和的13，則該組的頻數(shù)為_(kāi)_______．
50　解析：設(shè)除中間一個(gè)小長(zhǎng)方形外的(n－1)個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和為p，則中間一個(gè)小長(zhǎng)方形面積為13p.由題意，得p＋13p＝1，所以p＝34，則中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為13p＝14，200×14＝50，即該組的頻數(shù)為50.


考點(diǎn)1　統(tǒng)計(jì)圖表及其應(yīng)用——綜合性

習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)：“一個(gè)忘記來(lái)路的民族必定是沒(méi)有出路的民族，一個(gè)忘記初心的政黨必定是沒(méi)有未來(lái)的政黨．”某學(xué)校利用學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)APP安排教職工(共120人)在線學(xué)習(xí)黨史知識(shí)．其教職工年齡情況和每周在線學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的情況分別如圖(1)和圖(2)所示，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．該學(xué)校老年教職工在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的人數(shù)最多
B．該學(xué)校青年教職工在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的人數(shù)最多
C．該學(xué)校老年教職工在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)和青年教職工在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的人數(shù)之和與中年教職工在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的人數(shù)相等
D．該學(xué)校在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的80%
D　解析：由圖可知，該學(xué)校老年教職工在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的人數(shù)是120×30%×90%＝32.4，中年教職工在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的人數(shù)是120×(1－30%－30%)×80%＝38.4，青年教職工在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的人數(shù)是120×30%×70%＝25.2.
該學(xué)校在線學(xué)習(xí)黨史時(shí)長(zhǎng)達(dá)3小時(shí)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為30%×90%＋40%×80%＋30%×70%＝80%，故選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．
電力工業(yè)是一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)命脈，它在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和人民生活中占有極其重要的地位．目前開(kāi)發(fā)的電力主要是火電、水電、風(fēng)電、核電、太陽(yáng)能發(fā)電，其中，水電、風(fēng)電、太陽(yáng)能發(fā)電屬于可再生能源發(fā)電．如圖所示的是2022年各電力行業(yè)發(fā)電量及增幅的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)

A．其中火電發(fā)電量大約占全行業(yè)發(fā)電量的71%
B．在火電、水電、風(fēng)電、核電、太陽(yáng)能發(fā)電量中，比上一年增幅最大的是風(fēng)電
C．火電、水電、風(fēng)電、核電、太陽(yáng)能發(fā)電的發(fā)電量的極差是7.28
D．以上可再生能源發(fā)電量的增幅均跑贏全行業(yè)整體增幅
C　解析：對(duì)于A，火電發(fā)電量大約占全行業(yè)發(fā)電量的5.287.42≈71%，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由折線圖可知，風(fēng)電增幅為10.50%，是增幅最大的，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，火電、水電、風(fēng)電、核電、太陽(yáng)能發(fā)電的發(fā)電量的極差是5.28－0.14＝5.14，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由折線圖可得，可再生能源發(fā)電量的增幅均跑贏全行業(yè)整體增幅，故選項(xiàng)D正確．故選C．

統(tǒng)計(jì)圖表問(wèn)題的解決方法
(1)首先要準(zhǔn)確地識(shí)圖，即要明確統(tǒng)計(jì)圖表中縱軸、橫軸及折線、區(qū)域等所表示的意義，尤其注意數(shù)字變化的趨勢(shì)等．
(2)其次要準(zhǔn)確地用圖，會(huì)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)字計(jì)算樣本的數(shù)字特征，會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體．

1．(2022·靖遠(yuǎn)模擬)如圖是我國(guó)2011－2020年載貨汽車產(chǎn)量及增長(zhǎng)趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)圖．針對(duì)這10年的數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)

A．與2019年相比較，2020年我國(guó)載貨汽車產(chǎn)量同比增速不到15%
B．這10年中，載貨汽車的同比增速有增有減
C．這10年我國(guó)載貨汽車產(chǎn)量的極差超過(guò)150萬(wàn)輛
D．這10年我國(guó)載貨汽車產(chǎn)量的中位數(shù)不超過(guò)340萬(wàn)輛
D　解析：對(duì)于A，2020年的同比增速為423.9-373.9373.9×100%≈13.37%＜15%，故A正確；
對(duì)于B，這10年中，載貨汽車的同比增速有增有減，故B正確；
對(duì)于C，由圖知極差為423.9－273.5＝150.4(萬(wàn)輛)＞150(萬(wàn)輛)，故C正確；
對(duì)于D，將這10年載貨汽車產(chǎn)量由小到大排列，
得：273.5，303.5，312.9，333.8，339.9，344.1，356.7，371.7，373.9，423.9，
故中位數(shù)為339.9+344.12＝342(萬(wàn)輛)，故D錯(cuò)誤．
2．(多選題)在疫情期間某企業(yè)對(duì)本企業(yè)1 644名職工關(guān)于復(fù)工的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示．下列結(jié)論成立的是(　　)

A．x＝0.384
B．從該企業(yè)中任取一名職工，該職工是傾向于在家辦公的概率為0.178
C．不到80名職工傾向于繼續(xù)申請(qǐng)休假
D．傾向于復(fù)工后在家辦公或在公司辦公的職工超過(guò)986名
BD　解析：由圖表知x%＝1－5.1%－17.8%－42.3%，得x＝34.8，故A錯(cuò)誤．
由圖表知在家辦公的人員占17.8%，故B正確．
由1 644×5.1%＝83.844＞80，
所以超過(guò)80名職工傾向于繼續(xù)申請(qǐng)休假，故C錯(cuò)誤．
又1 644×(17.8%＋42.3%)＝988.044＞986，
所以超過(guò)986名職工傾向于在家辦公或在公司辦公，D正確．
綜上可知，正確的結(jié)論為BD．

考點(diǎn)2　頻率分布直方圖——應(yīng)用性

一家保險(xiǎn)公司決定對(duì)推銷員實(shí)行目標(biāo)管理，即給推銷員確定一個(gè)具體的銷售目標(biāo)．確定的銷售目標(biāo)是否合適，直接影響到公司的經(jīng)濟(jì)效益．如果目標(biāo)定得過(guò)高，多數(shù)推銷員完不成任務(wù)，會(huì)使推銷員失去信心；如果目標(biāo)定得太低，將不利于挖掘推銷員的工作潛力．該保險(xiǎn)公司隨機(jī)抽取50名保險(xiǎn)推銷員，統(tǒng)計(jì)了其2022年的月均推銷額(單位：萬(wàn)元)，將數(shù)據(jù)按照[12，14)，[14，16)，…，[22，24]分成6組，制成頻率分布直方圖如下，其中[14，16)組比[12，14)組的頻數(shù)多4.

(1)求頻率分布直方圖中a和b的值；
(2)為調(diào)動(dòng)推銷員的積極性，公司設(shè)計(jì)了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案．
方案一：獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額進(jìn)入前60%的員工；方案二：獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額達(dá)到或超過(guò)平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表)的員工．你認(rèn)為哪種方案更好？
解：(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1.
又因?yàn)閇14，16)組比[12，14)組的頻數(shù)多4，
所以a+b+0.04+0.1+0.12+0.14×2=1，50×b×2-50×a×2=4，
解得a＝0.03，b＝0.07.
(2)方案一，獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額進(jìn)入前60%的員工，
因?yàn)闃颖玖繛?0，所以能獲得獎(jiǎng)勵(lì)員工人數(shù)為50×60%＝30.
方案二，獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額達(dá)到或超過(guò)平均數(shù)，
根據(jù)頻率分布直方圖，可得月均推銷額的平均數(shù)為x＝0.03×2×13＋0.07×2×15＋0.12×2×17＋0.14×2×19＋0.1×2×21＋0.04×2×23＝18.32.
月均推銷額低于18萬(wàn)的頻率為2×(0.03＋0.07＋0.12)＝0.44.
因?yàn)楸敬纬闃訕颖玖繛?0名保險(xiǎn)推銷員，
所以月均推銷額低于18萬(wàn)的人數(shù)為50×0.44＝22，
所以月均推銷額達(dá)到或超過(guò)18萬(wàn)的人數(shù)為28.
綜上所述，對(duì)比兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案，應(yīng)選方案一，更多人員獲得獎(jiǎng)勵(lì)．

1．頻率分布直方圖的性質(zhì)
(1)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×頻率組距＝頻率．
(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1.
(3)小長(zhǎng)方形的高＝頻率組距，所有小長(zhǎng)方形的高的和為1組距.
2．要理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系．

1．某校高三年級(jí)共有600名學(xué)生選修地理，某次考試地理成績(jī)均在60～90分之間，分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)后繪成頻率分布直方圖，如圖所示，則成績(jī)?cè)赱70，85)分的學(xué)生人數(shù)為(　　)

A．380　 　　B．420　　 　C．450　　 　D．480
C　解析：成績(jī)?cè)赱70，85)分的學(xué)生人數(shù)為600×5×(0.04＋0.06＋0.05)＝450.故選C．
2．從某小區(qū)隨機(jī)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖如圖所示，由此可估計(jì)該小區(qū)居民戶月用電量的平均值大約為_(kāi)_______度．

186　解析：設(shè)用電量在200到250度之間的頻率為a，
則有50×(0.002 4＋0.003 6＋0.006＋a＋0.002 4＋0.001 2)＝1，解得a＝0.004 4.
由頻率分布直方圖可知，該小區(qū)居民戶月用電的平均值為：
50×(75×0.002 4＋125×0.003 6＋175×0.00 6＋225×0.004 4＋275×0.002 4＋325×0.001 2)＝186(度)．

考點(diǎn)3　總體集中趨勢(shì)的估計(jì)——綜合性

考向1　百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)
已知甲、乙兩組按順序排列的數(shù)據(jù)，甲組：27，28，37，m，40，50；乙組：24，n，34，43，48，52.若這兩組數(shù)據(jù)的第20百分位數(shù)、第50百分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)相等，則mn等于(　　)
A．127 B．107
C．87 D．67
B　解析：因?yàn)?0%×6＝1.2>1，50%×6＝3，
所以第20百分位數(shù)為n＝28，第50百分位數(shù)為37+m2＝34+432，所以m＝40，所以mn＝4028＝107.故選B．
已知數(shù)據(jù)x1＋1，x2＋2，x3＋3，x4＋4，x5＋5的平均數(shù)是23，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，3x4＋1，3x5＋1的平均數(shù)是(　　)
A．61 B．64
C．67 D．70
A　解析：因?yàn)閿?shù)據(jù)x1＋1，x2＋2，x3＋3，x4＋4，x5＋5的平均數(shù)是23，
所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5×23－15＝100，
所以(3x1＋1)＋(3x2＋1)＋(3x3＋1)＋(3x4＋1)＋(3x5＋1)＝3(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋5＝305，所以數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，3x4＋1，3x5＋1的平均數(shù)是3055＝61.
故選A．

1．求平均數(shù)時(shí)要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，不要重計(jì)或漏計(jì)．
2．求中位數(shù)時(shí)一定要先對(duì)數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則中位數(shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
3．若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒(méi)有眾數(shù)．
4．計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的方法是：先按從小到大排列原始數(shù)據(jù)，再計(jì)算i＝n×p%.若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
考向2　與頻率分布直方圖有關(guān)的數(shù)字特征的計(jì)算
(多選題)某城市在創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)中，為了解居民對(duì)“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動(dòng)打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分)，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在[40，100]內(nèi)．現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．頻率分布直方圖中第三組的頻數(shù)為10人
B．根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)為75分
C．根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)為75分
D．根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)為75分
ABC　解析：分?jǐn)?shù)在[60，70)內(nèi)的頻率為1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三組[60，70)的頻數(shù)為100×0.10＝10(人)，故A正確．
因?yàn)楸姅?shù)的估計(jì)值是頻率分布直方圖中最高小長(zhǎng)方形的中點(diǎn)，從圖中可看出眾數(shù)的估計(jì)值為75分，故B正確．
因?yàn)?0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.350.5，所以中位數(shù)位于[70，80)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位數(shù)的估計(jì)值為75，故C正確．
樣本平均數(shù)的估計(jì)值為45×10×0.005＋55×10×0.020＋65×10×0.010＋75×10×0.03＋85×10×0.025＋95×10×0.01＝73(分)，故D錯(cuò)誤．

用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本方法：
(1)最高的小長(zhǎng)方形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)．
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積是相等的．
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．

1．某病患者8人的潛伏期(天)分別為3，3，8，4，2，7，10，18，則它們的第50百分位數(shù)為(　　)
A．4或7 B．4
C．7 D．5.5
D　解析：將3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列為2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位數(shù)即為中位數(shù)，這組數(shù)的中位數(shù)為12×(4＋7)＝5.5.
2．某市進(jìn)行了一次校際數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過(guò)評(píng)判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)

A．得分在[40，60)之間的共有40人
B．從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80)的概率為0.5
C．這100名參賽者得分的中位數(shù)為65
D．a(chǎn)＝0.005
C　解析：由頻率分布直方圖，可得A中，得分在[40，60)之間共有[1－(0.03＋0.02＋0.01)×10]×100＝40(人)，所以A正確．B中，從100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80)中的概率為(0.03＋0.02)×10＝0.5，所以B正確．D中，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，所以D正確．C中，前2個(gè)小長(zhǎng)方形面積之和為0.4，前3個(gè)小長(zhǎng)方形面積之和為0.7，所以中位數(shù)在[60，70]，這100名參賽者得分的中位數(shù)為60＋0.5-0.40.3×10≈63.3，所以C不正確．

考點(diǎn)4　總體離散程度的估計(jì)——基礎(chǔ)性

考向1　方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算
(2022·溧陽(yáng)期末)已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)2x1＋1，2x2＋1，…，2x10＋1的平均數(shù)和方差分別為(　　)
A．2，3 B．5，6
C．5，12 D．4，12
C　解析：因?yàn)閿?shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為2，方差為3，所以數(shù)據(jù)2x1＋1，2x2＋1，…，2x10＋1的平均數(shù)為2×2＋1＝5，方差為22×3＝12.
一組數(shù)據(jù)由10個(gè)數(shù)組成，將其中一個(gè)數(shù)由6改為3，另一個(gè)數(shù)由2改為5，其余數(shù)不變，得到新的10個(gè)數(shù)，則新數(shù)據(jù)的方差相比原數(shù)據(jù)的方差的減小值為(　　)
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.7
C　解析：一個(gè)數(shù)由6改為3，另一個(gè)數(shù)由2改為5，故該數(shù)據(jù)的平均數(shù)x不變，
設(shè)沒(méi)有改變的八個(gè)數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8.
因?yàn)樵瓟?shù)據(jù)的方差s12＝＝110[(x1－x)2＋(x2－x)2＋(x3－x)2＋(x4－x)2＋(x5－x)2＋(x6－x)2＋(x7－x)2＋(x8－x)2＋(6－x)2＋(2－x)2]，
新數(shù)據(jù)的方差s22＝110[(x1－x)2＋(x2－x)2＋(x3－x)2＋(x4－x)2＋(x5－x)2＋(x6－x)2＋(x7－x)2＋(x8－x)2＋(3－x)2＋(5－x)2]，
所以s22-s12＝110[(3－x)2＋(5－x)2－(6－x)2－(2－x)2]＝110×(－6)＝－0.6，所以新數(shù)據(jù)的方差相比原數(shù)據(jù)的方差的減少值為0.6.

1．方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：s2＝1n[(x12+x22+…+xn2)－nx2]＝1n(x12+x22+…+xn2)－x2.
2．方差的運(yùn)算性質(zhì)：如果數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則①新數(shù)據(jù)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差仍是s2.②新數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差是a2s2.③新數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差是a2s2.
3．標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)是用來(lái)表示穩(wěn)定性，標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，也就是越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，也就是越穩(wěn)定．
考向2　分層隨機(jī)抽樣的方差
為了解學(xué)生的課外閱讀情況，某校采用按樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣對(duì)高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行平均每周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的調(diào)查，所得樣本數(shù)據(jù)如下：
年級(jí)
抽樣人數(shù)
樣本平均數(shù)
樣本方差
高一
40
5
3.5
高二
30
x2
2
高三
30
3
s32
已知高中三個(gè)年級(jí)學(xué)生的總樣本平均數(shù)為4.1，總樣本方差為3.14，則高二年級(jí)學(xué)生的樣本平均數(shù)x2＝________，高三年級(jí)學(xué)生的樣本方差s32＝________．
4　1.5　解析：由高中三個(gè)年級(jí)學(xué)生的總樣本平均數(shù)為4.1，
可得40×5+30·x2+30×340+30+30＝4.1，解得x2＝4.
因?yàn)榭倶颖痉讲顬?.14，
所以40100×3.5+5-4.12+30100×2+(4-4.1)2+30100×[s32＋(3－4.1)2]＝3.14，解得s32＝1.5.

1．設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為x1，x2，…，xn，方差分別為s12，s22，…，sn2，相應(yīng)的權(quán)重分別為w1，w2，…，wn，則這個(gè)樣本的方差為s2＝
i=1n
wi[si2+(xi-x)2]，其中x為樣本平均數(shù)．
2．計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差s2的步驟
(1)確定x1，x2，…，xn，s12，s22，…，sn2 ，w1，w2，…，wn.
(2)確定x.
(3)應(yīng)用公式 s2＝
i=1n
wi[si2+(xi-x)2]計(jì)算s2.

(2022·肇慶模擬)在對(duì)某中學(xué)高一學(xué)生體重的調(diào)查中，采取按樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生30人，其平均數(shù)和方差分別為55和15，抽取了女生20人，其平均數(shù)和方差分別為45和20.則總樣本的平均數(shù)為_(kāi)_____，方差為_(kāi)_______．
51　41　解析：總樣本的平均數(shù)為3030+20×55＋2030+20×45＝51，總樣本的方差為3050×[15＋(55－51)2]＋2050×[20＋(45－51)2]＝41.
課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(五十四)
A組　全考點(diǎn)鞏固練
1．某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．由圖可知，這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．－2 B．0
C．1 D．2
D　解析：由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大排列為－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2.因?yàn)楣灿?0個(gè)數(shù)據(jù)，所以10×80%＝8，是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是2+22＝2.
2．(2023·德州模擬)2022年第24屆冬奧會(huì)在北京市和張家口市成功舉辦，出色的賽事組織工作贏得了國(guó)際社會(huì)的一致稱贊，經(jīng)濟(jì)效益方面，多項(xiàng)收入也創(chuàng)下歷屆冬奧會(huì)新高．某機(jī)構(gòu)對(duì)本屆冬奧會(huì)各項(xiàng)主要收入進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如圖所示．已知賽事轉(zhuǎn)播的收入比政府補(bǔ)貼和特許商品銷售的收入之和多27億元，則估計(jì)2022年冬奧會(huì)這幾項(xiàng)收入總和約為(　　)

A．223億元 B．218億元
C．143億元 D．118億元
B　解析：設(shè)收入總和為x，則35.4%x－(12.2%＋10.8%)x＝27，解得x≈218.故選B．
3．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為a，標(biāo)準(zhǔn)差為s.若2x1－1，2x2－1，…，2xn－1的平均數(shù)與方差相等，則s2－a2的最大值為(　　)
A．－1 B．－12
C．－14 D．－316
C　解析：由已知條件可得，2a－1＝4s2，整理可得s2＝12a－14，又s2≥0，所以12a－14≥0，a≥12，所以s2－a2＝－a2＋12a－14＝－a-142－316，圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為a＝14，所以函數(shù)在12 ，+∞上單調(diào)遞減，故當(dāng)a＝12時(shí)，s2－a2取得最大值為－14.
4．為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機(jī)抽取了一批學(xué)生測(cè)量體重．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)(單位：千克)全部介于45至70之間．將數(shù)據(jù)分成5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．圖中a的值為(　　)

A．0.04 B．0.2
C．0.03 D．0.05
A　解：根據(jù)頻率分布直方圖可得，(0.01＋0.02＋a＋0.06＋0.07)×5＝1，所以a＝0.04.故選A．
5．甲組數(shù)據(jù)為5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是(　　)
A．極差 B．平均數(shù)
C．中位數(shù) D．都不相同
B　解析：甲的極差為37－5＝32，乙的極差為39－1＝38，甲的中位數(shù)為16+212＝18.5，乙的中位數(shù)為14+182＝16，x甲＝5+12+16+21+25+376＝583，x乙＝1+6+14+18+38+396＝583，所以甲、乙的平均數(shù)相同．故選B．
6．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(　　)
A．8 B．64
C．32 D．16
D　解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10標(biāo)準(zhǔn)差為s2，則s2＝8，即方差s2＝64，
數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為s2＝22s2＝22×64＝256，
所以數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為256＝16.
7．某校女子籃球隊(duì)7名運(yùn)動(dòng)員身高(單位：cm)的數(shù)據(jù)分別為171，172，17x，174，175，180，181.已知記錄的平均身高為175 cm，但記錄中有一名運(yùn)動(dòng)員身高的末位數(shù)字不清晰．如果把其末位數(shù)字記為x，那么x的值為_(kāi)_______．
2　解析：170＋17×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，17×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2.
8．(2023·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)第24屆冬奧會(huì)于2022年在北京和張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會(huì)志愿者的服務(wù)工作是冬奧會(huì)成功舉辦的重要保障．在冬奧會(huì)志愿者的選拔工作中，某高校承擔(dān)了志愿者選拔的面試工作，面試成績(jī)滿分100分，同學(xué)們面試得分的頻率分布直方圖如圖所示，則此次面試中得分的90%分位數(shù)是________．

85　解析：由題圖知各組的頻率為
分組
[40，
50)
[50，
60)
[60，
70)
[70，
80)
[80，
90)
[90，
100]
頻率
0.1
0.3
0.4
10a
0.1
10a
所以a＝0.005，則第四組[70，80)的頻率為0.05，前四組的頻率之和為0.85，所以這次面試得分的90%分位數(shù)是在第五組內(nèi)，且為80＋10×0.9-0.850.95-0.85＝85.
9．某游樂(lè)園為了吸引游客，推出了A，B兩款不同的年票，游樂(lè)園每次進(jìn)園門票原價(jià)為100元．A年票前12次進(jìn)園門票每次費(fèi)用為原價(jià)，從第13次起，每次費(fèi)用為原價(jià)的一半，A年票不需交開(kāi)卡工本費(fèi)．B年票每次進(jìn)園門票為原價(jià)的9.5折，B年票需交開(kāi)卡工本費(fèi)a元(a∈N)．已知某市民每年至少去該游樂(lè)園11次，最多不超過(guò)14次．該市民多年來(lái)年進(jìn)園記錄如表：
年進(jìn)園次數(shù)
11
12
13
14
頻率
0.15
0.40
0.10
0.35
(1)估計(jì)該市民年進(jìn)園次數(shù)的眾數(shù)；
(2)若該市民使用A年票，求該市民在進(jìn)園門票上年花費(fèi)的平均數(shù)；
(3)從該市民在進(jìn)園門票上年花費(fèi)的平均數(shù)來(lái)看，若選擇A年票比選擇B年票更優(yōu)惠，求a的最小值．
解：(1)由頻率分布表知，該市民年進(jìn)園次數(shù)的頻率最大是0.40，對(duì)應(yīng)的次數(shù)是12，所以估計(jì)該市民進(jìn)園次數(shù)的眾數(shù)為12.
(2)該市民使用A年票時(shí)，在進(jìn)園門票上年花費(fèi)的平均數(shù)為xA＝11×100×0.15＋12×100×0.40＋(12×100＋50)×0.10＋(12×100＋100)×0.35＝1 225.
(3)該市民使用B年票時(shí)，在進(jìn)園門票上年花費(fèi)的平均數(shù)為xB＝(11×0.15＋12×0.40＋13×0.10＋14×0.35)×95＋a＝1 201.75＋a，
因?yàn)閤A3，矛盾，故每天新增感染人數(shù)不超過(guò)5，符合條件，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，若眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，則最大值不超過(guò)5，符合指標(biāo)．
11．袁隆平是中國(guó)雜交水稻事業(yè)的開(kāi)創(chuàng)者，是“當(dāng)代神農(nóng)”，致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，為人類運(yùn)用科技手段戰(zhàn)勝饑餓帶來(lái)了綠色的希望和金色的收獲．袁老的科研團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)“野敗”后，將其帶回實(shí)驗(yàn)，在試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取了100株水稻統(tǒng)計(jì)每株水稻的稻穗數(shù)(單位：顆)得到如圖所示的頻率分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)

A．a(chǎn)＝0.01
B．這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間[280，300)中
C．這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250
D．這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間[240，260)中
B　解析：根據(jù)頻率分布直方圖知：組距為20，所以a＝120－0.0175－0.0075×2－0.005－0.0025＝0.01，故A選項(xiàng)正確．
這100株水稻的稻穗數(shù)平均值x＝20×(0.005×210＋0.0075×230＋0.0175×250＋0.01×270＋0.0075×290＋0.0025×310)＝256，可知這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間[240，260)中，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．
由頻率分布直方圖知第三個(gè)矩形最高，所以這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250，故C選項(xiàng)正確．
前兩個(gè)矩形的面積是0.250.5，所以中位數(shù)在第三組數(shù)據(jù)中，即這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間[240，260)中，故D選項(xiàng)正確．故選B．
12．(2022·邵陽(yáng)模擬)已知某旅游城市2020年前10個(gè)月的游客人數(shù)(萬(wàn)人)按從小到大的順序排列如下：3，5，6，9，x，y，15，17，18，21.若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(　　)
A．12 B．10.7
C．13 D．15
A　解析：因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13，
所以x+y2＝13，所以x＋y＝26，
則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
110(3＋5＋6＋9＋x＋y＋15＋17＋18＋21)＝12.
13．如圖是某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品長(zhǎng)度(單位：mm)檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，估計(jì)這批產(chǎn)品的平均長(zhǎng)度為_(kāi)_______ mm.

22．75　解析：由圖可知，平均長(zhǎng)度為12.5×0.02×5＋17.5×0.04×5＋22.5×0.08×5＋27.5×0.03×5＋32.5×0.03×5＝22.75(mm)．
14．某校從參加高一物理期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名，將其物理成績(jī)(均為整數(shù))分成六組：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，并繪制成如下的頻率分布直方圖．由此估計(jì)此次高一物理期末考試成績(jī)的第75百分位數(shù)為_(kāi)_______．

82　解析：高一物理期末考試成績(jī)的第75百分位數(shù)，即成績(jī)從低到高的第60×75%＝45名同學(xué)．
因?yàn)榍?組的小長(zhǎng)方形的面積和為0.01＋0.015×2＋0.03＝0.07，
樣本量為60，
所以前4組的小長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)的學(xué)生人數(shù)為60×0.07×10＝42.
因?yàn)榍?組的小矩形的面積和為0.01＋0.015×2＋0.03＋0.025＝0.095，
又因?yàn)闃颖玖繛?0，
所以前5組的小矩形對(duì)應(yīng)的學(xué)生人數(shù)為60×0.095×10＝57.
因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在[80，90)的人數(shù)為0.025×10×60＝15，
所以此次高一物理期末考試成績(jī)的第75百分位數(shù)為80＋10×45-4215＝82.
15．小劉從事螃蟹養(yǎng)殖和批發(fā)多年，有著不少客戶．小劉把去年采購(gòu)螃蟹的數(shù)量x(單位：箱)在[100，200)的客戶稱為“大客戶”，并把他們?nèi)ツ瓴少?gòu)的數(shù)量制成如表：
采購(gòu)
數(shù)量x
[100，
120)
[120，
140)
[140，
160)
[160，
180)
[180，
200)
客戶數(shù)
10
10
5
20
5
已知去年“大客戶”們采購(gòu)的螃蟹數(shù)量占小劉去年總銷售量的58.
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)完善頻率分布直方圖，并估計(jì)采購(gòu)數(shù)在168箱以上(含168箱)的“大客戶”人數(shù)；
(2)估算小劉去年總的銷售量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；
(3)小劉今年銷售方案有兩種：
①不在網(wǎng)上銷售螃蟹，則按去年的價(jià)格銷售，每箱利潤(rùn)為20元，預(yù)計(jì)銷售量與去年持平；
②在網(wǎng)上銷售螃蟹，則需把每箱售價(jià)下調(diào)m元(2≤m≤5)，銷售量可增加1 000m箱．
問(wèn)：哪一種方案利潤(rùn)最大？求出今年利潤(rùn)Y(單位：元)的最大值．

解：(1)作出頻率分布直方圖如圖，

根據(jù)上圖，可知采購(gòu)量在168箱以上(含168箱)的“大客戶”人數(shù)為180-16820×20＋5＝17.
(2)去年“大客戶”所采購(gòu)的螃蟹總數(shù)大約為110×10＋130×10＋150×5＋170×20＋190×5＝7 500(箱)，
小劉去年總銷售量為7 500÷58＝12 000(箱)．
(3)若不在網(wǎng)上銷售螃蟹，則今年小劉的利潤(rùn)為Y＝12 000×20＝240 000(元)．
若在網(wǎng)上銷售螃蟹，則今年的銷售量為(12 000＋1 000m)箱，每箱的利潤(rùn)(20－m)，
則今年小劉的收入為Y＝(20－m)·(12 000＋1 000m)＝1 000(－m2＋8m＋240)＝1 000[－(m－4)2＋256].
當(dāng)m＝4時(shí)，Y取得最大值256 000.
因?yàn)?56 000＞240 000，
所以方案②利潤(rùn)最大，且小劉今年利潤(rùn)Y的最大值為256 000元．