2023屆江西省新干中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)（文）試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2023屆江西省新干中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域，求集合，再求.【詳解】∵，，∴.故選：B2．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，即可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，同時也考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．在中，，為的中點(diǎn)，，則（）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】利用平面向量基本定理由可得答案.【詳解】如圖，，由，且，得.故選：A.4．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將正自然數(shù)中，能被3除余1且被2除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A．103 B．109 C．115 D．121【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可求解.【詳解】由能被3除余1且被2除余1的數(shù)為能被6除余1的數(shù)，故是以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以，故.故選：C5．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用三角函數(shù)的恒等變換確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得答案.【詳解】,,即，則，故選：D.6．甲、乙、丙三名同學(xué)到足球場館和籃球場館做志愿者，每名同學(xué)只去一個場館，且每個場館至少去一名同學(xué)，則甲、乙兩人安排在同一個場館的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得符合條件的所有情況，然后根據(jù)古典概型求得結(jié)果.【詳解】甲、乙、丙三名同學(xué)到足球場館和籃球場館做志愿者，若甲獨(dú)自一人去某場館，乙、丙同去另一個場館，則共2種情況，故總共有6種情況，其中甲、乙兩人安排在同一個場館有2種情況，故所求概率為．故選：B.7．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】2p=4，p=2，=x1+x2+p=8故選D點(diǎn)睛：若為拋物線上一點(diǎn)，由定義易得；若過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦長為可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．8．某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是有一條公共邊的兩個正三角形．該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【詳解】解：由題意，幾何體的直觀圖如圖：是兩個三棱錐的組合體，底面是正三角形，邊長為2，棱錐的高為1，所以幾何體的表面積為，.故選：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積與表面積，考查空間想象能力以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．若，，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由知為線段的靠近的一個三等分點(diǎn)，且，由推出為的平分線，根據(jù)角平分線定理得到，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理以及基本不等式求出的最小值，從而可得的最大值.【詳解】由知為線段的靠近的一個三等分點(diǎn)，且，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以為的平分線，根據(jù)角平分線定理可得，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即的最大值是.故選：B【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.10．已知三角形的三邊長分別為a，b，，則三角形的最大內(nèi)角是(　　)A．135° B．120°C．60° D．90°【答案】B【分析】先比較邊的大小，得到最大邊，再利用余弦定理求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以長為的邊所對的角最大，由余弦定理，得，因?yàn)?/span>，所以三角形的最大內(nèi)角是，故選：B.11．已知定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)滿足在上恒成立，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題得在上恒成立，設(shè)，求出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，解不等式得解.【詳解】由題得在上恒成立，所以在上恒成立，設(shè)，所以在上恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增.,所以函數(shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.,所以.當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，所以.綜上所述，.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性的判斷和應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.12．函數(shù)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若且，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)關(guān)于對稱，再確定函數(shù)的單調(diào)性，綜合兩者判斷大小得到答案.【詳解】，即，函數(shù)關(guān)于對稱，當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增.，，，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性和對稱性判斷函數(shù)值的大小關(guān)系，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用能力. 二、填空題13．雙曲線的兩條漸近線的夾角的弧度數(shù)為________________.【答案】【詳解】試題分析：雙曲線的兩條漸近線為，斜率為，傾斜角分別為，它們的夾角為.【解析】雙曲線的漸近線.14．若的展開式的第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.【答案】【分析】根據(jù)第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)可知，求出，進(jìn)而得到展開式的通項(xiàng)公式；令的冪指數(shù)為零可知；代入通項(xiàng)公式可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)：，解得：展開式通項(xiàng)公式為：令，解得：常數(shù)項(xiàng)為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠明確二項(xiàng)式系數(shù)的定義、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的形式.15．在中，是中線，已知，，定義，求的最小值是____________.【答案】【分析】設(shè)2，連接CE，可得BD∥CE，運(yùn)用三點(diǎn)共線的向量表示，結(jié)合圖形求得A到直線EC的距離，即可得到所求最小值．【詳解】由＝2|?（2）+（1）|，設(shè)2，連接CE，可得BD∥CE，∠AEC＝30°，設(shè)?（2）+（1），由（1）＝1，可得H在直線EC上，即有A到EC的距離為|AH|＝4sin30°＝2，則f（λ）的最小值為2×2＝4．故答案為：4．.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的最值，注意運(yùn)用三點(diǎn)共線的向量表示，考查運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．16．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，，則該三棱錐體積的最大值是__．【答案】【分析】結(jié)合球體，畫出具體的幾何體圖像，設(shè)，則，外接圓的半徑為，表示出三棱錐的高為，表示出三棱錐的體積公式，結(jié)合基本不等式，換元法，導(dǎo)數(shù)即可求得答案【詳解】如圖所示，設(shè)，則，外接圓的半徑為則三棱錐的高為，三棱錐的體積公式為，設(shè)，則，，令，解得，在單增，單減，，所以三棱錐體積最大值為【點(diǎn)睛】本題考查球體的內(nèi)接三棱錐最大體積的求法，綜合性強(qiáng)，結(jié)合了基本不等式、換元法、導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)方法，對思維轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力要求較高三、解答題17．設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)為等比數(shù)列的公比，由已知易得值，則數(shù)列的通項(xiàng)可求；（2）由已知可得的通項(xiàng)，利用分組求和法，求解.【詳解】（1）設(shè)為等比數(shù)列的公比，則由，得，解得q＝3，∴的通項(xiàng)為；（2）由已知可得，∴，.18．為培養(yǎng)學(xué)生在高中階段的數(shù)學(xué)能力，某校將舉行數(shù)學(xué)建模競賽.已知該競賽共有60名學(xué)生參加，他們成績的頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計這60名參賽學(xué)生成績的中位數(shù)；（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將60分以下的成績定為不合格.60分以上（含60分）的成績定為合格，某評估專家決定利用分層抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會，記為抽取的4人中，成績不合格的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競賽成績服從正態(tài)分布，其中可用樣本平均數(shù)近似代替，可用樣本方差近似代替（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），若成績在46分以上的學(xué)生均能得到獎勵，本次數(shù)學(xué)建模競賽滿分為100分，估計此次競賽受到獎勵的人數(shù)（結(jié)果根據(jù)四舍五入保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】（1）中位數(shù)為65；（2）分布列見解析；期望為；（3）.【分析】（1）由圖中的數(shù)據(jù)可判斷中位數(shù)在60分到80分之間，若設(shè)中位數(shù)為，則，從而可求得中位數(shù)；（2）結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10人中合格的人數(shù)為6人，不合格的人數(shù)為4人，則的可能取值為0，1，2，3，4，求出各自的概率，從而可得的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）由已知求出，從而可得，再利用正態(tài)分布的對稱性可求得結(jié)果【詳解】（1）設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以這60名參賽學(xué)生成績的中位數(shù)為65.（2）結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10人中合格的人數(shù)為，不合格的人數(shù)為.由題意可知的可能取值為0，1，2，3，4.則，，，，.所以的分布列為01234所以的數(shù)學(xué)期望.（3）由題意可得，，，則，由服從正態(tài)分布，得，則，，所以此次競賽受到獎勵的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】此題考查頻率分布直方圖、分層抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列、正態(tài)分布等知識，考查分析問題的能力和計算能力，屬于中檔題19．分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，M是E上一點(diǎn)，直線MF2與x軸垂直，且.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)A，B，C，D是橢圓E上的四點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)F2，且AC⊥BD，求四邊形ABCD面積的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）根據(jù)直線的斜率進(jìn)行分類討論，求得四邊形的面積，結(jié)合基本不等式求得四邊形的面積的最小值.【詳解】（1）依題意，由于軸，且，則，結(jié)合得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)四邊形的面積為.當(dāng)直線的斜率不存在時，，.當(dāng)直線的斜率為時，同理可求得.當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，所以，所以，直線的方程為，同理可求得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，且.綜上所述，四邊形的面積的最小值為.【點(diǎn)睛】求解橢圓中四邊形面積的最值問題，關(guān)鍵步驟有兩個，第一個是求得面積的表達(dá)式，這一步求弦長時需要很強(qiáng)的運(yùn)算能力.第二個是求面積的最值，可考慮利用基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角換元法來進(jìn)行求解.20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=BC=CD=BD=2，AB=AD=，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段PA上，且PM=3MA.（1）證明：平面；（2）求三棱錐P-MCD的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)由已知條件求出的長，從而可得，進(jìn)而可知，結(jié)合線面平行的判定定理，從而可證明平面.(2)在中結(jié)合余弦定理求出，從而可知CD⊥AD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得CD⊥平面PAD，從而求出三棱錐P-MCD的高，進(jìn)而可求出三棱錐的體積.【詳解】解：（1）由已知可得△ABC≌△ADC，∴AC⊥BD且O為BD的中點(diǎn)，由BC=CD=BD=2，AB=AD=，得OA=，OC=，∴.∴OM∥PC，又OM平面PBC，PC平面PBC，∴OM∥平面PBC.（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.在△ABD中，AB=AD=，BD=2，由余弦定理得，又∠CDB=60°，∴∠CDA=90°，即CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.∴=.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查了線面平行的判定，考查了線面垂直的性質(zhì)，考查了三棱錐體積的求解.本題的關(guān)鍵是求體積時，證明線面垂直從而找出三棱錐的高.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若關(guān)于的方程恰有四個不同的解，求的取值范圍.【答案】(1)1；(2). 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，最后根據(jù)切線與橫軸、縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解即可；（2）由題可得有四個不同的解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，然后利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，又，所以切線的斜率，則切線方程為，該切線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為；（2）由可得，，即，令，則，∴或，設(shè)，則，當(dāng)變化時，變化如下，0200極小值0極大值函數(shù)的圖象如圖，要使方程恰有四個不同的解，因?yàn)?/span>與函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)，則與函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)，∴，即，∴的取值范圍為.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求以為直徑的圓的方程.【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【分析】（1）利用和，把化成直角坐標(biāo)方程；直線的參數(shù)方程為因?yàn)?/span>為參數(shù)，所以消，得到直角坐標(biāo)方程.（2）直線方程與曲線方程聯(lián)立，求出A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，再利用拋物線的定義，可求出的值，直線方程確定，可以求出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，以及半徑，最后求出圓的方程.【詳解】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由得．所以．因直線過拋物線的焦點(diǎn)所以．由題設(shè)知，又，故因此的方程為．的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），因此所求圓的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化、韋達(dá)定理、拋物線的定義、圓的方程.23．設(shè)函數(shù).（1）若，求的解集；（2）若，，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）代入的值，得到關(guān)于的不等式組，利用分類討論法，解出即可；（2）依題意可得恒成立，令根據(jù)絕對值三角不等式可得，所以解得即可；【詳解】解：（1）由，，當(dāng)時，，解得，所以，當(dāng)時，，解得，所以，當(dāng)時，，解得：，綜上可得：，所求的解集為. （2）因?yàn)?/span>恒成立，恒成立，又，，或或，所求的a的取值范圍是：.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論法解絕對值不等式，絕對值三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

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