一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．棱長為1的正方體的外接球的表面積為（）
A.B.C.D.
3．甲、乙、丙三人排隊，甲排在末位的概率為( )
A.B.C.D.
4．已知復(fù)數(shù)，若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
5．在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個班級的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下表：
則兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的方差為( )
A.6.5B.13C.30.8D.31.8
6．已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是( )
A.，，則
B.，，，，則
C.，，，則
D.，，，則
7．著名田園詩人陶淵明也是一個大思想家,他曾言：勤學(xué)如春起之苗,不見其增,日有所長;輟學(xué)如磨刀之石,不見其損,日有所虧.今天,我們可以用數(shù)學(xué)觀點來對這句話重新詮釋,我們可以把“不見其增”量化為每天的“進步率”都是,一年后是;而把“不見其損”量化為每天的“落后率”都是,一年后是.可以計算得到,一年后的“進步”是“落后”的倍.那么,如果每天的“進步率”和“落后率”都是20%,要使“進步”是“落后”的倍,大約需要經(jīng)過（,）( )
A.17天B.19天C.23天D.25天
8．已知M是內(nèi)的一點，且，，，則的最小值是( )
A.4B.C.8D.
二、多項選擇題
9．一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件M為“第一次向下的數(shù)字為3或4”，事件N為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的是( )
A.事件M發(fā)生的概率為B.事件M與事件N互斥
C.事件發(fā)生的概率為D.事件M與事件N相互獨立
10．已知復(fù)數(shù)，，則( )
A.B.若，則的最大值為3
C.D.是純虛數(shù)
11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是( )
A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C.函數(shù)在單調(diào)遞減
D.該圖象向右平移個單位可得的圖象
12．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側(cè)面PAD為正三角形，且平面平面ABCD，則下列說法正確的有( )
A.在線段AD上存在一點M，使平面PMB
B.異面直線AD與PB所成的角為
C.二面角的大小為
D.平面PAC
三、填空題
13．若“”是“”的充分非必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是______.
14．某軌道交通1號線在10個車站上車人數(shù)統(tǒng)計如下：70，60，60，50，60，40，10，30，30，40，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)與第75百分位數(shù)的和為______.
15．如圖，為了測量某濕地A，B兩點之間的距離，觀察者找到在同一條直線上的三點C，D，E.從D點測得，從C點測得，，從E點測得.若測得，（單位：百米），則A，B兩點之間的距離為______百米.
四、雙空題
16．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，如圖是一個圓柱容球，、為圓柱兩個底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則
①平面DEF截得球的截面面積最小值為______；
②若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則的取值范圍為______.
五、解答題
17．某工廠為了保障安全生產(chǎn),舉行技能測試,甲、乙、丙3名技術(shù)工人組成一隊參加技能測試,甲通過測試的概率是0.8,乙通過測試的概率為0.9,丙通過測試的概率為0.5,假定甲、乙、丙3人是否通過測試相互之間沒有影響.
(1)求甲、乙、丙3名工人都通過測試的概率;
(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通過測試的概率.
18．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐標表示；
（2）已知平面向量、滿足，，與的夾角為，且，求的值.
19．如圖，已知平面ABC，，，，，，點E和F分別為BC和的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求直線與平面所成角的大小.
20．“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個太空科普教育品牌.“天宮課堂”是結(jié)合載人飛行任務(wù)，貫穿中國空間站建造和在軌運營系列化推出的，將由中國航天員擔(dān)任“太空教師”，以青少年為主要對象，采取天地協(xié)同互動方式開展.2022年10月12日15時40分，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講.學(xué)校針對這次直播課，舉辦了”天宮課堂”知識競賽，有100名學(xué)生代表參加了競賽，競賽后對這100名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)分為，，，這4組，畫出如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中m的值；
（2）估計這100名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）；
（3）若該校準備對本次知識競賽成績較好的40%的學(xué)生進行嘉獎，試問被嘉獎的學(xué)生的分數(shù)不低于多少？
21．在中，角A，B，C所對的邊分別a，b，c，且.
（1）求角A的值；
（2）已知D在邊BC上，且，，求的面積的最大值.
22．已知函數(shù)，a，，.
（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)，若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在整數(shù)m，n，使得的解集恰好是，若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.
參考答案
1．答案：D
解析：因為，解得，故，
故.
故選：D
2．答案：B
解析：易知，正方體的體對角線是其外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R，
則，故，所以.
故選:B.
3．答案：B
解析：甲、乙、丙三人排隊，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共6個基本事件；
其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共2個基本事件；
甲排在末位的概率.
故選：B.
4．答案：D
解析：依題意，，即，又，因此，解得，
則有，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.
故選：D
5．答案：C
解析：兩個班級總的平均數(shù)為，
則兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的方差為.
故選：C.
6．答案：D
解析：對于A，，，則或，A錯誤；
對于B，若，，，，則或,相交，
只有加上條件m,n相交，結(jié)論才成立，B錯誤；
對于C，，，無法得到，
只有加上條件才能得出結(jié)論，C錯誤；
對于D，，，則，又因為，所以，D正確.
故選:D.
7．答案：C
解析：經(jīng)過x天后,“進步”與“落后”的比,
所以,
兩邊取以為底的對數(shù)得,又,,
所以,
解得,
所以大約經(jīng)過23天后,“進步”是“落后”的10000倍.
故選：C.
8．答案：C
解析：，，
，.
，
設(shè)，，則，
即時，等號成立，故的最小值是8.故選：C.
9．答案：AD.
解析：對于A，由題意可知，故A選項正確.
對于B，若兩次投擲向下的數(shù)字都為3，，則事件M，N同時發(fā)生，所以M與N不互斥，故B選項錯誤.
對于C，事件表示：“第一次向下的數(shù)字為1或2，且兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，包含的事件為：，，，，共4種，所以事件發(fā)生的概率為，故C選項錯誤；
對于D，事件表示：“第一次向下的數(shù)字為3或4，且兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，包含的事件為：，，，，共4種，所以事件發(fā)生的概率為.
事件N包含的事件為，，，，，，，，共8種，所以，
所以，即事件M與事件N相互獨立，故D選項正確.
10．答案：AB.
解析：對于A：復(fù)數(shù)，，
，，
又，
∴，A正確；
對于B：設(shè)，，，
則，
即，且，
，
即的最大值為3，B正確；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，不是純虛數(shù)，D錯誤.
故選：AB.
11．答案：AD.
解析：由圖象可得的最大值為，即，
，即，
所以，
因為，所以，，
所以，，因為，所以，
所以，
對于A，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故正確；
對于B，因為，所以錯誤；
對于C，當時，，
所以函數(shù)在上不單調(diào)，故錯誤；
對于D，該圖象向右平移個單位可得的圖象，故正確，
故選：AD
12．答案：ABC
解析：對于A選項，如圖，取AD的中點M，連接PM，BM，
設(shè)AC與BD交于點O.側(cè)面PAD為正三角形，.又底面ABCD是菱形，，是等邊三角形，.又，平面，平面PMB，故A正確.
對于B選項，平面，平面，，即異面直線AD與PB所成的角為，故B正確.
對于C選項，，平面.平面，，.又平面平面，是二面角的平面角.設(shè)，則，.在中，，即，故二面角的大小為，故C正確.
對于D選項，易得，與PA不垂直，與平面PAC不垂直，故D錯誤.故選ABC.
13．答案：.
解析：根據(jù)題意可知，但，故是的真子集，
故,
故答案為：
14．答案：105.
解析：將數(shù)據(jù)從小到大排序：10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，因為，所以第50百分位數(shù)是第5項與第6項的平均數(shù)，即. 因為，所以第75百分位數(shù)是第8項，即60，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)與第75百分位數(shù)的和為：45+60=105.
故答案為：105.
15．答案：3（百米）.
解析：根據(jù)題意，在中，，，，
則，則，
在中，，，，
則，
則有，變形可得，
在中，，，，
則，
則；
故答案為：3（百米）
16．答案：；
解析：①過O作于G，則由題可得，
設(shè)O到平面DEF的距離為，平面DEF截得球的截面圓的半徑為，
則，
以平面DEF截得球的截面面積最小值為；
②由題可知點P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)P在底面的射影為，
則，，，，
設(shè)，則，，
所以
.
所以.
故答案為：；
17．答案：(1)0.36 ;
(2)0.49 .
解析：(1)設(shè)甲、乙、丙3人通過測試分別為事件A, B, C,
則,,,
.
(2)甲、乙、丙 3 人中恰有 2 人通過測試, 等價于恰有1人未通過測試,
18．答案：（1）或；
（2）.
解析：（1），，
設(shè)，且，
，解得，。
或；
（2），，，
，
又，
，解得.
19．答案：（1）證明見解析；
（2）證明見解析；
（3）.
解析：（1）證明：連接，
在中，E和F分別是BC和的中點，，
又平面，平面，平面.
（2）證明：，E為BC中點，，
平面ABC，平面ABC，
又平面ABC，，
又，BC，平面，平面；
（3）解析：取中點M和中點N，連接，，NE，
N和E分別為和BC的中點，且，
∴且，∴四邊形是平行四邊形，，
平面，平面，
∴即為直線與平面所成角，
在中，，，
，，且，
又由，，
在中，，
在中，
因為，，即直線與平面所成角的大小為.
20．答案：（1）0.005；
（2）84.5；
（3）87.5.
解析：（1）由圖可得，解得；
（2）估計這100名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)
；
（3）設(shè)被嘉獎的學(xué)生的分數(shù)不低于x，
因為第四組的頻率為，第三組的頻率為，
所以，所以，
得，即被嘉獎的學(xué)生的分數(shù)不低于87.5分.
21．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）中，，
由正弦定理得，
所以，
因為，所以，
所以，
又因為C是的內(nèi)角，所以，所以；
又因為A是的內(nèi)角，所以.
（2）因為，所以，所以；
所以，
即
由基本不等式得：，當且僅當，時等號成立；
所以面積的最大值為.
22．答案：（1）；
（2）；
（3）所以存在，，使得的解集恰好是.
解析：（1）由，可知，所以，對稱軸為，
則.
因為在上是減函數(shù)，
當，即時，在上是減函數(shù)，符合題意；
當，即時，在上是減函數(shù)，
，，
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為；
（2）函數(shù)有三個零點，則方程有三個不同根，設(shè)其圖象如下圖，
由題意，關(guān)于t的方程：，
即，有兩根，，且這兩根有三種情況：
，；，；，，
若，，則，所以，此時方程為，所以或符合題意；
若，，則，所以，此時方程為，所以舍去；
若，，則，所以a不存在；
綜上得：；
（3）因為是開口向上的拋物線，所以，且，
由作差可得，所以，
由可得，
所以，所以，
因為m，n為整數(shù)且，所以，，
即，，此時，符合題意，
所以存在，，使得的解集恰好是.
班級
人數(shù)
平均分數(shù)
方差
甲
40
70
5
乙
60
80
8

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