考點(diǎn)一 數(shù)列的函數(shù)特性
1．（2020?浙江）已知數(shù)列滿足，則 ．
考點(diǎn)二 等差數(shù)列的性質(zhì)
2．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
考點(diǎn)三 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有 個(gè)．
4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則 ．
5．（2020?海南）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前項(xiàng)和為 ．
6．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
考點(diǎn)四 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
7．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則
A．120B．85C．D．
考點(diǎn)五 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
8．（2022?浙江）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前項(xiàng)和為．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．
9．（2022?新高考Ⅱ）已知是等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
（1）證明：；
（2）求集合，中元素的個(gè)數(shù)．
10．（2020?上海）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．
（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿足時(shí)的最小值．
考點(diǎn)六 數(shù)列遞推式
11．（2022?浙江）已知數(shù)列滿足，，則
A．B．C．D．
12．（2020?浙江）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是
A．B．C．D．
13．（2019?浙江）設(shè)，，數(shù)列滿足，，，則
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
14．【多選】（2021?新高考Ⅱ）設(shè)正整數(shù)，其中，，記，則
A．B．
C．D．
15．（2021?上海）已知，2，，對(duì)任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為 ．
16．（2019?上海）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，則 ．
17．（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿足，，．
（1）求可能值；
（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫(xiě)出逆命題，并判斷命題是真是假，說(shuō)明理由；
（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
18．（2021?浙江）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，
求實(shí)數(shù)的取值范圍．
考點(diǎn)七 數(shù)列的求和
19．（2021?浙江）已知數(shù)列滿足，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
A．B．C．D．
20．（2021?上海）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為 ．
21．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對(duì)折次，那么 ．
22．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
23．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．
（1）若，，求的通項(xiàng)公式；
（2）若為等差數(shù)列，且，求．
24．（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的前20項(xiàng)和．
25．（2020?海南）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求．
26．（2020?山東）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記為在區(qū)間，中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
27．（2020?浙江）已知數(shù)列，，滿足，，．
（Ⅰ）若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若為等差數(shù)列，公差，證明：，．
考點(diǎn)八 數(shù)列與不等式的綜合
28．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
考點(diǎn)九 數(shù)列與函數(shù)的綜合
29．（2023?上海）已知，在該函數(shù)圖像上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，做函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，若，則過(guò)點(diǎn)，做函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，以此類推，，，直至停止，由這些項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列．
（1）設(shè)屬于數(shù)列，證明：；
（2）試比較與的大小關(guān)系；
（3）若正整數(shù)，是否存在使得、、、、依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
30．（2019?浙江）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列滿足：對(duì)每個(gè)，，，成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，，證明：，．
考點(diǎn)十 數(shù)列的應(yīng)用
32．（2022?新高考Ⅱ）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，．已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
33．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是
A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
34．（2020?上海）已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿足，則稱滿足性質(zhì)．
（1）判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍；
（3）若是1，2，3，，的一個(gè)排列，符合，2，，，、都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的數(shù)列．
35．（2019?上海）數(shù)列有100項(xiàng)，，對(duì)任意，，存在，，，若與前項(xiàng)中某一項(xiàng)相等，則稱具有性質(zhì)．
（1）若，，求所有可能的值；
（2）若不為等差數(shù)列，求證：數(shù)列中存在某些項(xiàng)具有性質(zhì)；
（3）若中恰有三項(xiàng)具有性質(zhì)，這三項(xiàng)和為，使用，，表示．
五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編
專題07 數(shù)列
考點(diǎn)一 數(shù)列的函數(shù)特性
1．（2020?浙江）已知數(shù)列滿足，則 ．
【解析】數(shù)列滿足，
可得，，，
所以．
故答案為：10．
考點(diǎn)二 等差數(shù)列的性質(zhì)
2．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【解析】若是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，
即，
故為等差數(shù)列，
即甲是乙的充分條件．
反之，若為等差數(shù)列，則可設(shè)，
則，即，
當(dāng)時(shí)，有，
上兩式相減得：，
當(dāng)時(shí)，上式成立，所以，
則（常數(shù)），
所以數(shù)列為等差數(shù)列．
即甲是乙的必要條件．
綜上所述，甲是乙的充要條件．
故本題選：．
考點(diǎn)三 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有 個(gè)．
【解析】等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，，
，解得，
，
，，1，，中，
，，
其余各項(xiàng)均不相等，
，，中不同的數(shù)值有：．
故答案為：98．
4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則 ．
【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列滿足，即，變形可得，
所以．
故答案為：．
5．（2020?海南）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前項(xiàng)和為 ．
【解析】將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，
則是以1為首項(xiàng)、以6為公差的等差數(shù)列，
故它的前項(xiàng)和為，
故答案為：．
6．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
【解析】（Ⅰ）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，故，
根據(jù)可得，
整理得，可得不合題意），
故．
（Ⅱ），，
，
，即，
整理可得，
當(dāng)或時(shí)，成立，
由于為正整數(shù)，
故的最小正值為7．
考點(diǎn)四 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
7．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則
A．120B．85C．D．
【解析】等比數(shù)列中，，，顯然公比，
設(shè)首項(xiàng)為，則①，②，
化簡(jiǎn)②得，解得或（不合題意，舍去），
代入①得，
所以．
故選：．
考點(diǎn)五 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
8．（2022?浙江）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前項(xiàng)和為．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)，公差，
因?yàn)?，可得，即?br>，即，
整理可得：，解得，
所以，
即；
（Ⅱ）因?yàn)閷?duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，
則，，
整理可得：，則△恒成立在，
整理可得，
當(dāng)時(shí)，可得或，而，
所以的范圍為；
時(shí)，不等式變?yōu)?，解得，而?br>所以此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則符合要求，
綜上所述，對(duì)于每個(gè)，的取值范圍為，，使，，成等比數(shù)列．
9．（2022?新高考Ⅱ）已知是等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
（1）證明：；
（2）求集合，中元素的個(gè)數(shù)．
【解析】（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，得，則，
由，得，
即，
．
（2）由（1）知，，
由知，，
，即，
又，故，則，
故集合，中元素個(gè)數(shù)為9個(gè)．
10．（2020?上海）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．
（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿足時(shí)的最小值．
【解析】（1）數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，，，
可得，解得，
則；
（2）數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，，，
可得，即，
則，，
，即為，
即，可得，即的最小值為7．
考點(diǎn)六 數(shù)列遞推式
11．（2022?浙江）已知數(shù)列滿足，，則
A．B．C．D．
【解析】，
為遞減數(shù)列，
又，且，
，
又，則，
，
，
，則，
；
由得，得，
累加可得，，
，
；
綜上，．
故選：．
12．（2020?浙江）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是
A．B．C．D．
【解析】
在等差數(shù)列中，，
，，，
，
，
，
，
，
，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得正確，
．若，則，成立，正確，
．若，則，
即，得，
，，符合，正確；
．若，則，
即，得，
，，不符合，錯(cuò)誤；
故選：．
13．（2019?浙江）設(shè)，，數(shù)列滿足，，，則
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【解析】對(duì)于，令，得，
取，，
當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，令，得或，
取，，，，
當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，令，得，
取，，，，
當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，，
，
，遞增，
當(dāng)時(shí)，，
，，．故正確．
故選：．
14．【多選】（2021?新高考Ⅱ）設(shè)正整數(shù)，其中，，記，則
A．B．
C．D．
【解析】，，對(duì)；
當(dāng)時(shí)，，（7）．
，（2），（7）（2），錯(cuò)；
，
．
，
．對(duì)；
，，對(duì)．
故選：．
15．（2021?上海）已知，2，，對(duì)任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為 ．
【解析】設(shè)，由題意可得，，恰有一個(gè)為1，
如果，那么，，，，
同樣也有，，，，，
全部加起來(lái)至少是；
如果，那么，，，
同樣也有，，，，，
全部加起來(lái)至少是，
綜上所述，最小應(yīng)該是31．
故答案為：31．
16．（2019?上海）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，則 ．
【解析】由，①
得，即，
且，②
①②得：．
數(shù)列是等比數(shù)列，且．
．
故答案為：．
17．（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿足，，．
（1）求可能值；
（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫(xiě)出逆命題，并判斷命題是真是假，說(shuō)明理由；
（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1），或．
（2），，，，，，，為等差數(shù)列，，
．
逆命題：若，則，，，，，，，為等差數(shù)列是假命題，舉例：
，，，，，，，，．
（3）因?yàn)椋?br>，，
，
，
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明恒成立：
當(dāng)，明顯成立，
假設(shè)時(shí)命題成立，即，
則，則，命題得證．
回到原題，分類討論求解數(shù)列的通項(xiàng)公式：
1．若，則矛盾，
2．若，則，，，
此時(shí)，
，
3．若，則，
，，
（由（2）知對(duì)任意成立），
，
事實(shí)上：矛盾．
綜上可得．
18．（2021?浙江）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，
求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）由 可得，
兩式作差，可得：，
，
很明顯，，
所以數(shù)列 是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
其通項(xiàng)公式為：．
（Ⅱ）由，得，
，
，
兩式作差可得：
，
則．
據(jù)此可得 恒成立，即 恒成立．
時(shí)不等式成立；
時(shí)，，由于時(shí)，故；
時(shí)，，而，故：；
綜上可得，．
考點(diǎn)七 數(shù)列的求和
19．（2021?浙江）已知數(shù)列滿足，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
A．B．C．D．
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>，
，故，
由累加法可得當(dāng) 時(shí)，
，
又因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 也成立，所以，
所以，
，故，
由累乘法可得當(dāng) 時(shí)，，
所以．
另解：設(shè)，，，可得在遞增，接下來(lái)運(yùn)用待定系數(shù)法估計(jì)的上下界，設(shè)，則探索也滿足上界的條件．
．
在此條件下，有，
注意到，取，，從而，此時(shí)可得．
故選：．
20．（2021?上海）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為 ．
【解析】設(shè)的公比為，
由，的各項(xiàng)和為9，可得，
解得，
所以，
，
可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，
則數(shù)列的各項(xiàng)和為．
故答案為：．
21．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對(duì)折次，那么 ．
【解析】易知有，，共5種規(guī)格；
由題可知，對(duì)折次共有種規(guī)格，且面積為，故，
則，記，則，
，
，
．
故答案為：5；．
22．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，為的前項(xiàng)和，，，
則，即，解得，
故；
（2）證明：由（1）可知，，
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，
，
故原式得證．
23．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．
（1）若，，求的通項(xiàng)公式；
（2）若為等差數(shù)列，且，求．
【解析】（1），，
根據(jù)題意可得，
，
，又，
解得，，
，；
（2）為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，且，
根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可設(shè)，則，且；
或設(shè)，則，且，
①當(dāng)，，時(shí)，
則，
，，又，
解得；
②當(dāng)，，時(shí)，
則，
，，又，
此時(shí)無(wú)解，
綜合可得．
24．（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的前20項(xiàng)和．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，，，
所以，，
，，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
所以．
另解：由題意可得，，
其中，，
于是，．
（2）由（1）可得，，
則，，
當(dāng)時(shí)，也適合上式，
所以，，
所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，
則的前20項(xiàng)和為．
25．（2020?海南）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，
，，
．
（2）令，則，
所以，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為8，
，
．
26．（2020?山東）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記為在區(qū)間，中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，，
，
解得或（舍去），
，
，
（2）記為在區(qū)間，中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，
，
，
故，，，，，，，
，，，，，，，，，，
可知0在數(shù)列中有1項(xiàng)，1在數(shù)列中有2項(xiàng)，2在數(shù)列中有4項(xiàng)，，
由，
可知，．
數(shù)列的前100項(xiàng)和．
27．（2020?浙江）已知數(shù)列，，滿足，，．
（Ⅰ）若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若為等差數(shù)列，公差，證明：，．
【解析】（Ⅰ）解：由題意，，，
，，
整理，得，
解得（舍去），或，
，
數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
，．
，
則，
，
，
，
各項(xiàng)相加，可得
．
（Ⅱ）證明：依題意，由，可得
，
兩邊同時(shí)乘以，可得
，
，
數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列，且此常數(shù)為，
，
，
又，，
，
，
，故得證．
考點(diǎn)八 數(shù)列與不等式的綜合
28．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，
所以，整理得，①，
故當(dāng)時(shí)，，②，
①②得：，
故，
化簡(jiǎn)得：，，，，；
所以，
故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．
所以．
證明：（2）由于，
所以，
所以．
考點(diǎn)九 數(shù)列與函數(shù)的綜合
29．（2023?上海）已知，在該函數(shù)圖像上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，做函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，若，則過(guò)點(diǎn)，做函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，以此類推，，，直至停止，由這些項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列．
（1）設(shè)屬于數(shù)列，證明：；
（2）試比較與的大小關(guān)系；
（3）若正整數(shù)，是否存在使得、、、、依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）證明：，
則過(guò)點(diǎn)，的切線的斜率為，
由點(diǎn)斜式可得，此時(shí)切線方程為，即，
令，可得，
根據(jù)題意可知，，即得證；
（2）先證明不等式，
設(shè)，則，
易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
則（1），即，
結(jié)合（1）可知，；
（3）假設(shè)存在這樣的符合要求，
由（2）可知，數(shù)列為嚴(yán)格的遞減數(shù)列，，2，3，，，
由（1）可知，公差，，
先考察函數(shù)，則，
易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
則至多只有兩個(gè)解，即至多存在兩個(gè)，使得，
若，則，矛盾，則，
當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，
由于，，
則存在，使得，
于是取，，，它們構(gòu)成等差數(shù)列．
綜上，．
30．（2019?浙江）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列滿足：對(duì)每個(gè)，，，成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，，證明：，．
【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，
由題意得，
解得，，
，．
，，
數(shù)列滿足：對(duì)每個(gè)，，，成等比數(shù)列．
，
解得，
解得，．
（Ⅱ）證明：，，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，，不等式成立；
②假設(shè)，時(shí)不等式成立，即，
則當(dāng)時(shí)，
，
即時(shí)，不等式也成立．
由①②得，．
考點(diǎn)十 數(shù)列的應(yīng)用
32．（2022?新高考Ⅱ）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，．已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【解析】設(shè)，則，，，
由題意得：，，
且，
解得，
故選：．
33．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是
A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
【解析】如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；
如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；
如果數(shù)列，公比為，，數(shù)列是遞增數(shù)列，但是，所以不正確；
數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，可得，所以，可得正確，所以正確；
故選：．
34．（2020?上海）已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿足，則稱滿足性質(zhì)．
（1）判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍；
（3）若是1，2，3，，的一個(gè)排列，符合，2，，，、都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的數(shù)列．
【解析】（1）對(duì)于數(shù)列3，2，5，1，有，，，滿足題意，該數(shù)列滿足性質(zhì)；
對(duì)于第二個(gè)數(shù)列4、3、2、5、1，，，．不滿足題意，該數(shù)列不滿足性質(zhì)．
（2）由題意：，可得：，，3，，，
兩邊平方可得：，
整理可得：，當(dāng)時(shí)，得此時(shí)關(guān)于恒成立，
所以等價(jià)于時(shí)，，
所以，，所以，或，所以取，
當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)關(guān)于恒成立，所以等價(jià)于時(shí)，，
所以，所以，所以?。?br>當(dāng)時(shí)：，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，得，恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不恒成立；
故當(dāng)時(shí)，矛盾，舍去．
當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，得，恒成立，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，恒成立；故等價(jià)于時(shí)，，
所以，所以或，所以取，
綜上，．
（3）設(shè)，，4，，，，
因?yàn)?，可以取，或，可以取，或?br>如果或取了或，將使不滿足性質(zhì)；所以的前5項(xiàng)有以下組合：
①，；；；；
②，；；；；
③，；；；；
④，；；；；
對(duì)于①，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；
對(duì)于②，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；
對(duì)于③，，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；
對(duì)于④，，，與滿足性質(zhì)矛盾，舍去；
所以，4，，，，均不能同時(shí)使、都具有性質(zhì)．
當(dāng)時(shí)，有數(shù)列，2，3，，，滿足題意．
當(dāng)時(shí)，有數(shù)列，，，3，2，1滿足題意．
當(dāng)時(shí)，有數(shù)列，1，3，，，滿足題意．
當(dāng)時(shí)，有數(shù)列，，，，，3，2，1滿足題意．
所以滿足題意的數(shù)列只有以上四種．
35．（2019?上海）數(shù)列有100項(xiàng)，，對(duì)任意，，存在，，，若與前項(xiàng)中某一項(xiàng)相等，則稱具有性質(zhì)．
（1）若，，求所有可能的值；
（2）若不為等差數(shù)列，求證：數(shù)列中存在某些項(xiàng)具有性質(zhì)；
（3）若中恰有三項(xiàng)具有性質(zhì)，這三項(xiàng)和為，使用，，表示．
【解析】（1）數(shù)列有100項(xiàng)，，對(duì)任意，，存在，，，
若，，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，則或，
當(dāng)時(shí)，，，則或或或
的所有可能的值為：3，5，7；
（2）不為等差數(shù)列，
數(shù)列存在使得不成立，
對(duì)任意，，存在，，；
存在，，使，則
對(duì)于，，，存在，使得，
因此中存在具有性質(zhì)的項(xiàng)；
（3）由（2）知，去除具有性質(zhì)的數(shù)列中的前三項(xiàng)，則數(shù)列的剩余項(xiàng)均不相等，
對(duì)任意，，存在，，，則
一定能將數(shù)列的剩余項(xiàng)重新排列為一個(gè)等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
．

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