第14講等差數(shù)列的通項求和及性質7大題型 -【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學?？碱}型分類講義（新高考專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

?第14講等差數(shù)列的通項求和及性質7大題型
【考點分析】
考點一：等差數(shù)列的基本概念及公式
①等差數(shù)列的定義：（或者）．
②等差數(shù)列的通項公式：，通項公式的推廣：
③等差中項：若三個數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項，且有（）．
④等差數(shù)列的前項和公式：
考點二：等差數(shù)列的性質
①通項下標和性質：在等差數(shù)列中，當時，則．
特別地，當時，則．
②等差數(shù)列通項的性質：，所以當時，等差數(shù)列的通項為關于的一次函數(shù)，即．
③等差數(shù)列前n項和的常用性質：，所以當時，等差數(shù)列的前n項和為關于的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項，即
因為
當時，開口向上，有最小值；
當時，開口向下，有最大值；
【題型目錄】
題型一：等差數(shù)列通項求和公式運用
題型二：等差中項及性質問題
題型三：等差數(shù)列前項和的性質
題型四：等差數(shù)列前n項和的最值
題型五：等差數(shù)列通項公共項及奇偶項和問題
題型六：等差數(shù)列新文化試題
題型七：對于含絕對值的數(shù)列求和問題
【典型例題】
題型一：等差數(shù)列通項求和公式運用
【例1】（2022·江西省萬載中學高一階段練習（文））在數(shù)列中，，，若，則（????）
A．671 B．672 C．673 D．674

【例2】（2022·全國·高三專題練習）數(shù)列{an}滿足，且，，是數(shù)列的前n項和，則（????）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（???????）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【例4】（2022·北京石景山·高二期末）等差數(shù)列的前項和為，前項積為，已知，，則（???????）
A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值
C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值
【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，若，則（????）
A． B． C． D．

【例6】（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（????）
A．18 B．16 C．14 D．12

【例7】（2021·福建省華安縣第一中學高三期中）設等差數(shù)列的前n項和為，若，，，則m等于（???????）
A．8 B．7 C．6 D．5

【題型專練】
1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））已知等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，則（???????）
A．115 B．110 C． D．
2．（2022全國高二專題練習）在等差數(shù)列中，，且
（1）求數(shù)列的首項?公差；
（2）設，若，求正整數(shù)m的值.

3．（2022·山西呂梁·高二期末）北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊．已知每層圈數(shù)相同，共有9圈，則下層比上層多______塊石板．

4．（2022·全國·高二課時練習）（多選）已知圓的半徑為，，過點的條弦的長度組成一個等差數(shù)列，最短弦長為，最長弦長為，且公差，則的取值可能是（???）
A． B． C． D．
5．（2022·全國·高二課時練習）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，若，，則數(shù)列的公差d的值為______．

題型二：等差中項及性質問題
【例1】（2022·全國·高二課時練習）已知和的等差中項是4，和的等差中項是5，則和的等差中項是（????）
A．8 B．6 C． D．3

【例2】（2022·遼寧·高三開學考試）設等差數(shù)列的前項和為，若則（????）
A．150 B．120 C．75 D．60
【例3】（2022·全國·高三專題練習（理））數(shù)列{an}滿足，且，是函數(shù)的兩個零點，則的值為（????）
A．4 B．－4 C．4040 D．－4040
【例4】（2022·全國·高二課時練習）已知等差數(shù)列的前項和為，，，，求項數(shù)的值．
【例5】（2022·河南焦作·一模（文））設和都是等差數(shù)列，前項和分別為和，若，，則（）
A． B． C． D．
【例6】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知數(shù)列滿足，且，則（????）
A． B． C． D．
【題型專練】
1．（2022·陜西·渭南市三賢中學高二階段練習（理））已知一個等差數(shù)列的前四項和為21，末四項和為67，前項和為77，則項數(shù)的值為___________.

2.（2022·全國·高三專題練習）下列選項中，為“數(shù)列是等差數(shù)列”的一個充分不必要條件的是（????）
A． B．
C．數(shù)列的通項公式為 D．

3．（2022·全國·高二單元測試）在等差數(shù)列中，已知，，，則______．

4.（2022·浙江寧波·高一期末）設等差數(shù)列的前項和，且，，則下列結論正確的是（???????）
A． B．
C． D．

5．（2022·四川省高縣中學校高一階段練習（理））等差數(shù)列的前項和為，若，滿足，其中為邊上任意一點，則（???????）
A．2020 B．1020 C．1010 D．2

6．（2022·河南·駐馬店市基礎教學研究室高二期末（理））已知等差數(shù)列中，、是的兩根，則（????）
A． B． C． D．

題型三：等差數(shù)列前項和的性質
【例1】（2022·廣東·金山中學高三階段練習）等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（????）．
A．27 B．45 C．18 D．36

【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知是等差數(shù)列的前n項和，若，，則等于（????）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040

【例3】（2022·全國·高二多選題）下列結論中正確的有（????）
A．若為等差數(shù)列，它的前項和為，則數(shù)列也是等差數(shù)列
B．若為等差數(shù)列，它的前項和為，則數(shù)列，，，也是等差數(shù)列
C．若等差數(shù)列的項數(shù)為，它的偶數(shù)項和為，奇數(shù)項和為，則
D．若等差數(shù)列的項數(shù)為，它的偶數(shù)項和為，奇數(shù)項和為，則

【例4】（2023·全國·高三專題練習）兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，則等于（????）
A． B． C． D．
【例5】（2021·江蘇·高二單元測試）已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
【題型專練】
1.（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則等于（????）
A．110 B．150
C．210 D．280

2.（2022重慶巴蜀中學高三階段練習）在等差數(shù)列中，為其前項和．若，且，則等于（????）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018

3.（2022·山西·忻州一中高三階段練習）設等差數(shù)列的前項和分別是，且，則__________.

4.（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學高二階段練習）若等差數(shù)列和的前項的和分別是和，且，則（???）
A． B． C． D．

5.（2021·全國·高二單元測試）已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項和分別為，，且若對任意的恒成立，則實數(shù)的最大值為（????）
A． B． C．-2 D．2

6.（2022·全國·高二課時練習）(多選)已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為，，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)可能是（????）
A． B． C． D．

題型四：等差數(shù)列前n項和的最值
【例1】（2022·四川省武勝烈面中學校高二開學考試（文））記為等差數(shù)列的前項和，且，，則取最大值時的值為（????）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10

【例2】（2022·四川樂山·高一期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d，為其前n項和，若滿足，給出下列說法：
①；②；③；④當且僅當時，取得最大值．
其中正確說法的個數(shù)為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4

【例3】（2023·全國·高三專題練習）等差數(shù)列的前n項和為，已知，，則的最小值為______．

【例4】（2022·內蒙古·赤峰二中高一階段練習（理））設為等差數(shù)列的前n項和，若，則滿足的最大的正整數(shù)n的值為__________．

【例5】（2022·山東·德州市教育科學研究院高二期中）在等差數(shù)列中，前n項和為，若，，則在，，…，中最大的是（????）
A． B． C． D．

【題型專練】
1.（2022·河北·石家莊二中高二期末多選題）等差數(shù)列中，，則下列命題中為真命題的是（????）
A．公差 B．
C．是各項中最大的項 D．是中最大的值
2．（2023·全國·高三專題練習）等差數(shù)列的首項為正數(shù)，其前n項和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（????）
A．若有最大值，則數(shù)列的公差小于0
B．若，則使的最大的n為18
C．若，，則中最大
D．若，，則數(shù)列中的最小項是第9項

3．（2022·四川眉山·高一期末（理））設等差數(shù)列的前n項和為，，，取最小值時，n的值為（????）
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13

4．（2022·山西·懷仁市第一中學校模擬預測（文））數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，若，，則的最大值為（????）
A．25 B．22 C．24 D．23

題型五：等差數(shù)列通項公共項及奇偶項和問題
【例1】（2022·重慶市實驗中學高二期末）已知數(shù)列中，，，，則（???????）
A． B． C． D．

【例2】（2022全國高二單元測試）在數(shù)學發(fā)展史上，已知各除數(shù)及其對應的余數(shù)，求適合條件的被除數(shù)，這類問題統(tǒng)稱為剩余問題.年《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”問題的解法傳至歐洲，在西方的數(shù)學史上將“物不知其數(shù)”問題的解法稱之為“中國剩余定理”.“物不知其數(shù)”問題后經(jīng)秦九韶推廣，得到了一個普遍的解法，提升了“中國剩余定理”的高度.現(xiàn)有一個剩余問題：在的整數(shù)中，把被除余數(shù)為，被除余數(shù)也為的數(shù)，按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，則數(shù)列的項數(shù)為（????）
A． B． C． D．
【例3】（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：，，.
(1)記，求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列的前項和為，求.

【例4】（2022·四川·成都七中高一期末）已知數(shù)列的通項公式為，Sn為數(shù)列的前n項和，則的值為（???????）
A．672 B．1011 C．2022 D．6066

【題型專練】
1.（2022·全國·高二課時練習）在1，2，3，…，2021這2021個自然數(shù)中，將能被2除余1，且被3除余1的數(shù)按從小到大的次序排成一列，構成數(shù)列，則等于（????）
A．289 B．295 C．301 D．307

2.（2022·海南中學高三）已知數(shù)列滿足，則（???????）
A．50 B．75 C．100 D．150

3.（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為，所有偶數(shù)項之和為，則該數(shù)列的中間項為（????）
A． B． C． D．

4.（2022·重慶·三模）已知數(shù)列的前項和為，，則（???????）
A． B．0 C． D．

題型六：等差數(shù)列新文化試題
【例1】（2022·云南·彌勒市一中高二階段練習）斐波那契數(shù)列（Fibonacci Sequence）又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多，斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學上，斐波納契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列滿足：，現(xiàn)從數(shù)列的前2022項中隨機抽取1項，能被3整除的概率是（???????）
A． B． C． D．

【例2】（2022·全國·高三專題練習）2022北京冬奧會開幕式將我國二十四節(jié)氣融入倒計時，盡顯中國人之浪漫．倒計時依次為：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春，已知從冬至到夏至的日影長等量減少，若冬至、立冬、秋分三個節(jié)氣的日影長之和為31.5寸，冬至到處暑等九個節(jié)氣的日影長之和為85.5寸，問大暑的日影長為（???????）
A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸

【例3】（2022·全國·高三專題練習）《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學專著，全書總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何?”其意思為：“今有5人分5錢，各人所得錢數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前2人所得之和與后3人所得之和相等，問各得多少錢?”則第2人比第4人多得錢數(shù)為（????）
A．錢 B．錢 C．錢 D．錢

【題型專練】
1．（2022·全國·高三專題練習（理））斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第n項，則數(shù)列滿足： . ，記，則下列結論不正確的是（???????）
A． B．
C． D．
2．（2022·全國·高二課時練習）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種，這五種規(guī)格黨旗的長、、、、（單位：）成等差數(shù)列，對應的寬為、、、、（單位：），且長與寬之比都相等，已知，，，則（????）
A．124 B．126 C．128 D．130

題型七：對于含絕對值的數(shù)列求和問題
【例1】（2022·遼寧·高二期中）已知在前n項和為的等差數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前20項和．

【例2】（2022·福建省漳州第一中學高三階段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；
(2)求數(shù)列的前項和.

【題型專練】
1.（2022·江蘇省灌南高級中學高二階段練習）數(shù)列中，，，且滿足
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求．

2.（2022·全國·高三專題練習（文））記為等差數(shù)列的前n項和，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的值．

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