?內(nèi)蒙古包頭市第四中學(xué)2022屆高三下學(xué)期校內(nèi)三模理科數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．已知集合，，，則（????）
A． B．
C． D．
2．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（????）
A． B． C． D．
3．已知函數(shù)的周期為1，則（????）
A． B．
C． D．
4．“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中，n階幻方（，）是由前個(gè)正整數(shù)組成的一個(gè)n階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的n個(gè)數(shù)之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15.現(xiàn)從如圖所示的3階幻方中任取3個(gè)不同的數(shù)，記“取到的3個(gè)數(shù)之和為15”為事件A，“取到的3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列”為事件B，則（????）
8
1
6
3
5
7
4
9
2
A． B． C． D．
5．彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測量彬塔的高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，，在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（????）

A．30m B． C． D．
6．設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（????）
A． B． C． D．
8．某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（　?。?br /> A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
9．設(shè)，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
10．已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則????
A． B． C． D．
11．設(shè)a＞0，b＞0，e是自然對數(shù)的底數(shù)
A．若ea+2a=eb+3b，則a＞b
B．若ea+2a=eb+3b，則a＜b
C．若ea-2a=eb-3b，則a＞b
D．若ea-2a=eb-3b，則a＜b
12．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．2

二、填空題
13．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為 .
14．函數(shù)的最小值為 ．
15．某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案，方案設(shè)計(jì)圖中，求表示城市，兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用，要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最?。纾涸谌齻€(gè)城市道路設(shè)計(jì)中，若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖，則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖，此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為.

現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖，則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為 ．

16．多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則到平面的距離可能是：
①3；????②4；???③5；???④6；???⑤7
以上結(jié)論正確的為 ．（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）


三、解答題
17．如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

（1）證明：平面ACE；
（2）設(shè)，，直線PB與平面ABCD所成的角為，求四棱錐的體積.
18．設(shè)數(shù)列滿足，,且對任意，函數(shù) 滿足
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足直線AM與直線BM的斜率之積為，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，直線AM與交于點(diǎn)N，是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.
20．碳中和，是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人測算在一定時(shí)間內(nèi)，直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放，實(shí)現(xiàn)二氧化碳的“零排放”.碳達(dá)峰，是指碳排放進(jìn)入平臺(tái)期后，進(jìn)入平穩(wěn)下降階段.簡單地說就是讓二氧化碳排放量“收支相抵”.中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會(huì)上提出：“中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.”減少碳排放，實(shí)現(xiàn)碳中和，人人都可出一份力．某中學(xué)數(shù)學(xué)教師組織開展了題為“家庭燃?xì)庠钚o的最佳角度”的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).實(shí)驗(yàn)假設(shè)：
①燒開一壺水有諸多因素，本建模的變量設(shè)定為燃?xì)庥昧颗c旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度，其他因素假設(shè)一樣；
②由生活常識(shí)知，旋轉(zhuǎn)角度很小或很大，一壺水甚至不能燒開或造成燃?xì)饫速M(fèi)，因此旋轉(zhuǎn)角度設(shè)定在10°到90°間，建模實(shí)驗(yàn)中選取5個(gè)代表性數(shù)據(jù)：18°，36°，54°，72°，90°．
某支數(shù)學(xué)建模隊(duì)收集了“燒開一壺水”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如下表：
項(xiàng)目
旋轉(zhuǎn)角度
開始燒水時(shí)燃?xì)獗碛?jì)數(shù)/dm3
水燒開時(shí)燃?xì)獗碛?jì)數(shù)/dm3
18°
9080
9210
36°
8958
9080
54°
8819
8958
72°
8670
8819
90°
8498
8670
以x表示旋轉(zhuǎn)角度，y表示燃?xì)庥昧?
(1)用列表法整理數(shù)據(jù)（x，y）；
x（旋轉(zhuǎn)角度：度）
18
36
54
72
90
y（燃?xì)庥昧浚篸m3）





(2)假定x，y線性相關(guān)，試求回歸直線方程（注：計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）
(3)有隊(duì)員用二次函數(shù)進(jìn)行模擬，得到的函數(shù)關(guān)系為．求在該模型中，燒開一壺水燃?xì)庥昧孔钌贂r(shí)的旋轉(zhuǎn)角度．請用相關(guān)指數(shù)R2分析二次函數(shù)模型與線性回歸模型哪種擬合效果更好？（注：計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）
參考數(shù)據(jù)：，，，，
線性回歸模型，二次函數(shù)模型．
參考公式：，，．
21．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，證明：在定義域上是增函數(shù)；
(2)記是的導(dǎo)函數(shù)，，若在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求a的取值范圍．（參考數(shù)據(jù)：，．）
22．以直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，且滿足，點(diǎn)P的軌跡為曲線.
(1)求的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線上，求△面積的最大值.
23．設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，求證：．

參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法、解分式不等式的方法，結(jié)合集合交集、補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br /> 又因?yàn)椋?br /> 所以，
故選：C
2．B
【分析】求出展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于0，從而可得出答案.
【詳解】解：展開式的通項(xiàng)為，
令，則，
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.
故選：B.
3．A
【分析】利用函數(shù)的周期性計(jì)算出正確答案.
【詳解】函數(shù)的周期為，則函數(shù)的周期為，
所以，A選項(xiàng)正確.
BCD選項(xiàng)無法判斷.
故選：A
4．D
【分析】通過列舉法求出事件基本事件的個(gè)數(shù)，再利用條件概率進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】根據(jù)題意，可知，，
，，
所以，故，
故選：D.
5．D
【分析】在△中有，再應(yīng)用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.
【詳解】由題設(shè)知：，

又，
△中，可得，
在△中，，則.
故選：D
6．C
【分析】由題意結(jié)合向量的減法公式和向量的運(yùn)算法則考查充分性和必要性是否成立即可.
【詳解】∵A?B?C三點(diǎn)不共線,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2?>0與
的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的概念與判斷?平面向量的模?夾角與數(shù)量積,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.
7．B
【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，
設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，

設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，
所以，，，
，則，所以，，
又因?yàn)?，所以，?br /> 所以，，，
因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.
故選：B.
8．D
【分析】由正態(tài)分布的特征，對四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，即可得到正確答案.
【詳解】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；
對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；
對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；
對于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤，
故選：D．
9．D
【詳解】由題可知函數(shù)的周期為則為該函數(shù)的兩個(gè)周期，作函數(shù)的圖象如下，數(shù)列的前項(xiàng)均為正數(shù)，第項(xiàng)到項(xiàng)也均為正數(shù)，第到項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，第到項(xiàng)也均為負(fù)數(shù)，，當(dāng)或時(shí)，，而，故，故均是正數(shù).答案為D.
??
【點(diǎn)晴】本題是借助于三角函數(shù)的性質(zhì)考察數(shù)列的題型，利用圖像將正負(fù)值呈現(xiàn)出來，結(jié)果不難得出，但在做題的過程中要注意到問題的內(nèi)容，容易誤把數(shù)列前項(xiàng)和的正負(fù)與數(shù)列的項(xiàng)的正負(fù)混淆，從而誤求為，其實(shí)根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)和數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以求出數(shù)列的哪些項(xiàng)是正數(shù)，哪些項(xiàng)是正數(shù)，且可以判斷數(shù)列的和均為正.
10．C
【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出
【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，
則圓心到直線的距離，
則弦長為，
則當(dāng)時(shí)，取得最小值為，解得.
故選：C.
11．A
【詳解】若，必有．
構(gòu)造函數(shù)：，則，
則恒成立，
故有函數(shù)在x＞0上單調(diào)遞增，
所以a＞b成立．故選A．
12．A
【詳解】試題分析：設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設(shè)，橢圓和雙曲線的離心率分別為
由余弦定理可得，①
在橢圓中，①化簡為即即
在雙曲線中，①化簡為即即③
聯(lián)立②③得，
由柯西不等式得即（
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選A
考點(diǎn)：橢圓，雙曲線的簡單性質(zhì)，余弦定理

13．
【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：.
14．.
【分析】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦，進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式，得到關(guān)于的二次函數(shù)，從而得解.
【詳解】，
，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)的最小值為．
【點(diǎn)睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視的限制，而簡單應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤．
15．
【分析】以為起點(diǎn)，依次選取費(fèi)用低的路線即可得到結(jié)果.
【詳解】根據(jù)最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，以為起點(diǎn)，依次選取費(fèi)用低的路線，
應(yīng)為，
此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為.
故答案為：.

16．①③④⑤
【分析】先利用梯形的中位線定理得到中點(diǎn)到平面的距離，再利用三角形中位線定理得到各點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，如圖，，為的中點(diǎn)，，到平面的距離分別為1、2、4，即，
因?yàn)椋?，故四邊形是梯形?br /> 又，，所以，又為的中點(diǎn)，
由梯形的中位線定理得，
又因?yàn)椋?，所以，又為的中點(diǎn)，
所以在中，由三角形中位線定理得，即到平面的距離為6；

同理：的中點(diǎn)到平面的距離為，所以到平面的距離為5；
的中點(diǎn)到平面的距離為，所以到平面的距離為3；
的中點(diǎn)到平面的距離為，所以到平面的距離為7；
而為中的一點(diǎn)，故到平面的距離可能.
故答案為：①③④⑤．
17．（1）證明見解析；（2）.
【分析】(1) 連接交于點(diǎn)，連接，由三角形的中位線定理可知，結(jié)合線面平行的判定定理可證明平面.
(2)由題意可知，再運(yùn)用錐體體積公式可求得四棱錐的體積.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接. 在中，因?yàn)椋?br /> 所以，因?yàn)槠矫?，平面，則平面.
（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，所以就是直線PB與平面ABCD所成的角，所以，
又，，所以，
所以四棱錐的體積，
所以四棱錐的體積為.

18．(Ⅰ) （Ⅱ）
【詳解】由



所以，
是等差數(shù)列.
而

（2）


第（1）題，通過求導(dǎo)以及，能夠判斷出是等差數(shù)列是等差數(shù)列，由第（1）題的結(jié)論能夠?qū)懗龅耐?xiàng)公式，根據(jù)的特征，選擇求和的方法，利用分組求和的方法即可求出.
【考點(diǎn)定位】考查函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列基本量的求解.并考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力.

19．(1)且；
(2)存在，理由見解析.

【分析】（1）利用斜率兩點(diǎn)式，結(jié)合直線斜率之積為定值列方程，即可求M的軌跡為曲線C，注意.
（2）設(shè)、直線AM為，聯(lián)立曲線C，應(yīng)用韋達(dá)定理求坐標(biāo)，進(jìn)而應(yīng)用表示、，結(jié)合二倍角正切公式判斷與的數(shù)量關(guān)系，即可得解.
【詳解】（1）設(shè)，則且，
所以M的軌跡為曲線C方程為且.
（2）設(shè)，則直線AM為，
聯(lián)立曲線C得：，整理得：，
由題設(shè)知：，則，故，
又，，
所以，即，
所以存在，使.
20．(1)列表見解析；
(2)；
(3)38.7°，二次函數(shù)擬合效果更好.

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)直接填表即可；
（2）根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)和公式進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)題中所給的公式，結(jié)合所給的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】（1）整理數(shù)據(jù)如圖：
x（旋轉(zhuǎn)角度：度）
18
36
54
72
90
y（燃?xì)庥昧浚篸m3）
130
122
139
149
172
（2），，，
，
故回歸直線方程為；
（3），即旋轉(zhuǎn)角約為38.7°時(shí)，燒開一壺水燃?xì)庥昧孔钌?
回歸直線與二次函數(shù)擬合兩者關(guān)系時(shí)，相關(guān)指數(shù)分別為，，
則，.
因?yàn)椋远魏瘮?shù)擬合效果更好.
21．(1)證明見解析；
(2).

【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)得且，再應(yīng)用基本不等式求，結(jié)合，可確定的符號(hào)，即證結(jié)論.
（2）對求導(dǎo)得且，將問題轉(zhuǎn)化為或在上恒成立，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而求區(qū)間值域，即可求a的取值范圍．
【詳解】（1）由題設(shè)，且定義域?yàn)椋?br /> 因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，
所以，時(shí)有，故在上是增函數(shù).
（2）由題設(shè)，，則且定義域?yàn)椋?br /> 因?yàn)樵趦?nèi)沒有極值點(diǎn)，即或，
所以或在上恒成立，
令，則，當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，令則，，
所以在上遞增，而，
所以在上，故在上遞增，而，
綜上，在上，即，
所以，在上，即單調(diào)遞增，則，
故或，即a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，對求導(dǎo)后，將問題轉(zhuǎn)化為或在上恒成立，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求值域.
22．(1)；
(2).

【分析】（1）設(shè)出的坐標(biāo)，由題意得，即，將代入即可得的直角坐標(biāo)方程；
（2）利用（1）及圓的極坐標(biāo)方程，設(shè)出B的極坐標(biāo)，然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得△面積的最大值為.
【詳解】（1）令，則，即，
∴，
由M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且的直角坐標(biāo)方程為，
∴，則，故.
∴的直角坐標(biāo)方程：.
（2）設(shè)B的極坐標(biāo)為 （）.由題設(shè)知：|OA|=2，，
∴△OAB面積，
當(dāng)時(shí)， S取得最大值.
∴△OAB面積的最大值為.
23．(1)或
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，可知原不等式等價(jià)于，解絕對值不等式即可得到結(jié)果；
（2）由題意可知，又，由此，再根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，即可證明結(jié)果.
【詳解】（1）解：函數(shù)，代入，可得：，
所以，或，
可知x的取值范圍是或；
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