?2023年河南省重點中學(xué)內(nèi)部摸底試卷
數(shù)學(xué)（一）
注意：本試卷分試題卷和答題卡兩部分，考試時間100分鐘，滿分120分．考生應(yīng)首先閱讀試題卷上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效，交卷時只交答題卡．
一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．）
1．的相反數(shù)是（ ）
A． B． C．2 D．
2．如圖所示是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中與“愛”字所在面相對的面上的漢字是（ ）

A．大 B．美 C．河 D．南
3．如圖所示，點O在直線CD上，已知∠AOC＝125°，，則∠BOD的度數(shù)為（ ）

A．25° B．30° C．35° D．40°
4．下列運算正確的是（ ）
A．3a－a＝2 B． C． D．
5．如圖所示，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝6，則菱形ABCD的面積為（ ）

A．20 B．24 C．26 D．32
6．關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＞1 B．k＞－1且 C．k＜1 D．k＜1且
7．某校踐行“五育并舉”，期末時李梅的五育得分如下表所示，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（ ）
項目
德
智
體
美
勞
得分
10
8
7
9
8
A．8 B．7.8 C．9 D．8.4
8．已知一個水分子的直徑約為米，某花粉的直徑約為米，用科學(xué)記數(shù)法表示這種花粉的直徑是一個水分子直徑的（ ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
9．如圖所示，矩形ABOC的頂點，，對角線交點為P，若矩形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第74次旋轉(zhuǎn)后點P的落點坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
10．如圖所示為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升20℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫y（℃）與通電時間x（min）成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（ ）

A．水溫從20℃加熱到100℃，需要4min
B．水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是
C．上午10點接通電源，可以保證當(dāng)天10:30能喝到不低于38℃的水
D．在一個加熱周期內(nèi)水溫不低于40℃的時間為7min
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．若y是x的一次函數(shù)且過，請你寫出一個符合條件的函數(shù)解析式______．
12．不等式組的解集為______．
13．有四張大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分別印有4種車標(biāo)，將這四張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張卡片，所抽取的卡片正面上的圖形都是中心對稱圖形的概率是______．

14．如圖1所示，半圓O的直徑AB長度為4，半徑，沿OC將半圓剪開得到兩個圓心角為90°的扇形．將左側(cè)扇形向右平移至圖2位置，則所得圖形中重疊部分的面積為______．

15．如圖所示，腰長為2的等腰中，∠A＝90°，P為腰AB上的一個動點，將沿CP折疊得對應(yīng)，當(dāng)PD與的某一條邊垂直時，PD的長為______．

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（10分）（1）計算：；
（2）化簡：．
17．（9分）為提高學(xué)生的審美鑒賞能力與漢字書寫素養(yǎng)，某校組織全校學(xué)生進行了一場名為“翰墨飄香”的書法比賽，評分結(jié)束后，抽取了40名學(xué)生的成績（滿分100，80分以上為優(yōu)秀）進行統(tǒng)計，繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計圖表．
40名學(xué)生書法比賽成績頻數(shù)表
組別
頻數(shù)
頻率
A組（60~70）
12
0.3
B組（70~80）
a
0.15
C組（80~90）
10
b
D組（90~100）
12
0.3

請結(jié)合圖表解決下列問題：
（1）頻數(shù)表中，a＝______，b＝______；
（2）請將頻數(shù)分布直方圖補充完整；
（3）抽取的40名學(xué)生成績的中位數(shù)落在的組別是______組；
（4）若有520名學(xué)生參加本次書法比賽，請估計成績“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)．
18．（9分）如圖所示，直線y＝－x－1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，在x軸上取點C使得AO＝AC，過點C作交直線AB于點P，反比例函數(shù)與直線CD交于點D，已知PD＝2PC．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）用無刻度直尺和圓規(guī)作線段PD的垂直平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）判斷點E是否在垂直平分線上，并說明理由．
19．（9分）文峰塔位于河南省安陽市古城內(nèi)西北隅，因塔建于天寧寺內(nèi)，又名天寧寺塔；文峰塔建于五代后周廣順二年，已有一千余年歷史，風(fēng)格獨特，具有上大下小的特點．由下往上一層大于一層，逐漸寬敞，是傘狀形式，這種平臺、蓮座、遼式塔身、藏式塔剎的形制世所罕見．
活動課上，數(shù)學(xué)社團的學(xué)生計劃測量文峰塔的高度．如圖所示，先在點C處用高1.6m的測角儀CD測得塔尖A的仰角為37°，向塔的方向前進12m到達F處，在F處測得塔尖A的仰角為45°，請你相關(guān)數(shù)據(jù)求出文峰塔AB的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，，．）

20．（9分）某校計劃為體育社團購買乒乓球拍和羽毛球拍．已知每副乒乓球拍比每副羽毛球拍貴8元；且知用160元購買的乒乓球拍比羽毛球拍數(shù)量少1副．

（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的單價；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備采購兩種類型的球拍共30副，且乒乓球拍的數(shù)量不少于羽毛球拍數(shù)量的2倍，請你設(shè)計出最省錢的購買方案．
21．（9分）如圖1所示是某即將通行的雙向隧道的橫斷面．經(jīng)測量，兩側(cè)墻AB和CD與路面AC垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AC＝8米．工程人員在路面AC上取點E，測量點E到墻面AB的距離AE，點E到隧道頂面的距離EF．設(shè)AE＝x米，EF＝y(tǒng)米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如表：
x/米
0
2
4
6
8
y/米
2.5
4.75
5.5
4.75
2.5

（1）若以點A為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出隧道頂部所在拋物線的解析式；
（2）如圖2所示，一輛輕卡要在隧道內(nèi)靠右模擬試行，依據(jù)圖紙要求汽車距離右側(cè)墻的距離不小于0.8米且到隧道頂面的距離不小于0.33米．按照這個要求，隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為多少米？
22．（10分）如圖1所示，石碾【niǎn】是我國古代勞動人民發(fā)明的一種用石頭和木材等制作的使谷物等破碎或去皮用的工具，由碾盤（碾臺）、碾砣（碾磙子、碾碌碡）、碾框、碾管芯、碾棍孔、碾棍等組成．如圖2所示為從石碾抽象出來的幾何模型，BD是的直徑，點C在BD的延長線上，BE平分∠ABC交于點E，于點A．

（1）求證：直線AC是的切線；
（2）若的半徑為4，AB＝6，求線段CE的長．
23．（10分）在等腰中，AB＝AC，，點P為射線CA上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段PD，連接DB、DC．

（1）如圖1所示，當(dāng)時，PA與DC的數(shù)量關(guān)系為______；直線PA與DC的夾角為______；
（2）如圖2所示，當(dāng)時，請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；
（3）當(dāng)時，若AB＝4，，請直接寫出線段AD的長．
數(shù) 學(xué)
說明：
1．如果考生的解答與本參考答案提供的解法不同，可根據(jù)提供的解法的評分標(biāo)準(zhǔn)精神進行評分．
2．評閱試卷，要堅持每題評閱到底，不能因考生解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對本題的評閱．如果考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響后繼部分而未改變本題的內(nèi)容和難度，視影響的程度決定對后面給分的多少，但原則上不超過后繼部分應(yīng)得分數(shù)之半．
3．評分標(biāo)準(zhǔn)中，如無特殊說明，均為累計給分．
4．評分過程中，只給整數(shù)分數(shù)．
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．D 【解析】的相反數(shù)是．故選D．
2．D 【解析】由圖可知，我和美相對，愛和南相對，大和河相對．故選D．
3．C 【解析】∵，∠AOB＝90°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝55°．∴∠BOD＝90°－55°＝35°．故選C．
4．C 【解析】A．原式＝2a，故A不符合題意；B．原式，故B不符合題意；C．原式，故C符合題意；D．原式，故D不符合題意．故選C．
5．B 【解析】連接BD，設(shè)AC與BD交于點O．∵四邊形ABCD是菱形，∴，且AC＝2AO，BD＝2BO．由勾股定理可得．∴BD＝2BO＝8．∴菱形的面積為．故選B．

6．B 【解析】根據(jù)題意得且，解得k＞－1．故k的取值范圍是k＞－1且．故選B．
7．A 【解析】該同學(xué)五項評價得分分別為7，8，8，9，10，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是8，所以眾數(shù)為8．故選A．
8．B 【解析】根據(jù)題意，得．故選B．
9．D 【解析】∵矩形ABOC的頂點，，∴由中點公式得點P的坐標(biāo)為．每次旋轉(zhuǎn)90°，4次完成一個循環(huán)，，故與重合，∴P與關(guān)于原點對稱，坐標(biāo)為．故選D．
10．D 【解析】∵開機加熱時每分鐘上升20℃，∴水溫從20℃加熱到100℃，所需時間為：，故A不符合題意；由題可得，在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)反比例函數(shù)解析式為．代入點，解得k＝400．∴水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式是，故B不符合題意；令y＝20，則，∴x＝20．即飲水機每經(jīng)過20分鐘，要重新從20℃開始加熱一次．從10點到10點30分鐘，所用時間為30分鐘，而水溫加熱到100℃，僅需要4分鐘，故當(dāng)時間是10點30時，飲水機剛經(jīng)歷第二次加熱，令x＝10，則，故C不符合題意；水溫從20℃加熱到40℃所需要時間為：，令y＝40，則，∴x＝10．∴水溫不低于40℃的時間為，故D符合題意．故選D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．y＝－x＋1（答案不唯一） 【解析】設(shè)y＝kx＋b．因函數(shù)過，當(dāng)k＝－1時，得函數(shù)解析式y(tǒng)＝－x＋1（答案不唯一）．
12． 【解析】解不等式，得，解不等式2＋x＞0，得x＞－2，則不等式組的解集為．
13． 【解析】設(shè)四張卡片從左向右分別記為：A、B、C、D．畫樹狀圖如圖所示：

共有12種等可能的結(jié)果，所抽取的卡片正面圖形都是中心對稱圖形的結(jié)果有2種，∴所抽取的卡片正面上的圖形都是中心對稱圖形的概率為．
14． 【解析】連接OP、BP，易得為等邊三角形．∴∠PBO＝60°．∴，．∵弓形PO的面積，∴．

15．或2 【解析】當(dāng)時，如圖1所示，∵等腰中，∠A＝90°，AB＝2，∴．∴．∴；當(dāng)時，如圖2所示，此時為等腰直角三角形，∴PD＝AB＝2．綜上，PD的長為或2．

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．解：（1）原式＝2＋1－1＝2．（4分）
（2）原式．（10分）
17．解：（1）6 0.25（2分）
【解析】∵，∴a＝40×0.15＝6，b＝10÷40＝0.25．
（2）由（1）知，a＝6，補全的頻數(shù)分布直方圖如下：（4分）

（3）C（6分）
【解析】中位數(shù)為第20、21名學(xué)生成績的平均數(shù)，A、B組共有18人，故40名學(xué)生書法成績的中位數(shù)落在的組別是C組．
（4）520×（0.25＋0.3）＝520×0.55＝286（人），
即本次書法比賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)大約有286人．（9分）
18．解：（1）已知直線AB為y＝－x－1，∴y＝0時，x＝－1；當(dāng)x＝0時，y＝－1．
∴點A、B的坐標(biāo)為、．∴AO＝AC＝OB＝1．
易得為等腰直角三角形，∴PC＝1．∵PD＝2PC，∴點D的坐標(biāo)為．
而點在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝－2×3＝－6．
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為．（3分）
（2）線段PD的垂直平分線如圖所示．（6分）

（3）點E在線段PD的垂直平分線上．（7分）
理由如下：聯(lián)立方程組解得
∴點E的坐標(biāo)為，∵點P、D的坐標(biāo)為、，
∴線段PD的中點坐標(biāo)為．∴線段PD的垂直平分線為直線y＝2．
∴點在線段PD的垂直平分線上．（9分）
19．解：延長DE交AB于點G．

由題意得：DE＝CF＝12米，CD＝EF＝GB＝1.6米，∠AGD＝90°．
設(shè)AG＝x米．在中，∠AEG＝45°，∴（米）．（3分）
∴DG＝GE＋DE＝（12＋x）米．在中，∠ADG＝37°，
∴，解得．（6分）
經(jīng)檢驗：x＝36是原方程的根．（7分）∴AB＝AG＋BG＝36＋1.6≈38（米）．
答：文峰塔AB的高度約為38米．（9分）
20．解：（1）設(shè)乒乓球拍每副x元，羽毛球拍每副（x－8）元．
根據(jù)題意，得，解得x＝40．（2分）
經(jīng)檢驗：x＝40為原方程的解．（3分），40－8＝32（元）．
答：乒乓球拍每副40元，羽毛球拍每副32元．（4分）
（2）設(shè)購買羽毛球拍a副，總費用w元．
根據(jù)題意，得，解得．（6分）
w＝40（30－a）＋32a＝－8a＋1200．∵－8＜0，∴w隨a的增大而減?。?br /> ∴當(dāng)a＝10時，w最小，（元），此時30－10＝20（副）．（9分）
答：費用最少的方案是購買乒乓球拍20副，羽毛球拍10副，所需費用1120元．
21．解：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)x＝4時，y有最大值5.5，
∴設(shè)隧道滿足的關(guān)系式為．（2分）
把x＝0，代入解析式，得，解得．（4分）
∴隧道滿足的關(guān)系式為．（5分）
（2）當(dāng)x＝0.8時，，∴3.58－0.33＝3.25（米）．
答：隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)3.25米．（9分）
22．證明：（1）如圖所示，連接OE．

∵，∴∠BAC＝90°．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠OBE．∴∠ABE＝∠OEB．∴．
∴∠BAC＝∠OEC＝90°．∴AC是的切線．（4分）
（2）解：∵的半徑為4，∴BD＝2OD＝8．∵，
∴．∴．∴，解得CD＝4．（7分）
在中，．
答：線段CE的長為．（10分）
23．解：（1）PA＝DC 60°（2分）
【解析】①如圖1所示，∵將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段PD，
∴PB＝PD．∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴、是等邊三角形．∴∠ABC＝∠PBD＝60°．∴∠PBA＝∠DBC．
∵BP＝BD，BA＝BC，∴．∴PA＝DC．
②如圖1所示，設(shè)BD交PC于點O．
∵，∴∠BPA＝ ∠BDC．∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．

（2）不成立．（4分）理由如下：如圖2所示，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴，．
∴．∵∠ABC＝∠PBD＝30°，∴∠ABP＝∠CBD．
∴．∴．∴．
∵，∴∠BAP＝∠BCD＝60°．
又∵，∴∠PCD＝∠BCD－∠BCA＝30°．（7分）
（3）AD的長為或（10分）
提示如下：如圖3所示，點P在線段CA的延長線上時，作于點Q，連接AD．
在中，．同（2）易得，
∴，∠BAP＝∠BCD＝90°．又∵，
∴四邊形AQCD為正方形．∴；
如圖4所示，當(dāng)點P在線段AC上時，作，連接CQ、AD．
易得，∴．
∴．∴AQ＝AC＋CQ＝6．
在中，．
綜上所述，線段AD的長為或．

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