?專題強化練(三)　平面向量
1．(2022·深圳模擬)已知點A(0，1)，B(2，3)，向量＝(－3，1)，則向量＝(　　)
A．(1，－2)　　　　　　　 B．(－1，2)
C．(1，－3) D．(－1，3)
解析：因為A(0，1)，B(2，3)，
所以＝(2，2)，
所以＝＋＝(2，2)＋(－3，1)＝(－1，3)．故選D.
答案：D
2．(2022·榆林二模)已知||＝||＝2，||＝1，則|＋3|＝(　　)
A．2 B．4
C． D．
解析：由題意，可得||＝||＝|－|，
即2＝(－)2＝2－2·＋2，
又||＝2，||＝1，
代入可得4＝1－2·＋4，解得·＝，
所以|＋3|＝＝
＝＝4，
故選B.
答案：B
3．(2022·順德區(qū)三模)已知點A(－2，0)，直線AP與圓C：x2＋y2－6x＝0相切于點P，則·的值為(　　)
A．－15　　　　B．－9　　　　C．9　　　　D．15
解析：由x2＋y2－6x＝0，

則(x－3)2＋y2＝9，
又AC＝5，CP＝3，
則cos∠PCA＝，
則·＝||||cos(π－∠PCA)＝5×3×(－)＝－9，故選B.
答案：B
4．(2022·江門模擬)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，則|2a－3b|＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：|2a－3b|＝＝
＝2，故選C.
答案：C
5．(2022·佛山模擬)已知向量a，b滿足|a|＝4，b＝(1，2)，且(a＋2b)⊥(3a－b)．則向量a與向量b的夾角是(　　)
A. B.
C. D.
解析：因為|a|＝4，|b|＝3，(a＋2b)⊥(3a－b)
所以(a＋2b)·(3a－b)＝3a2－2b2＋5a·b＝48－18＋5a·b＝0，
所以a·b＝－6，
所以cos〈a，b〉＝＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝.
故選C.
答案：C
6.(多選題)(2022·惠州一模)如圖，點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且||＝1，則(　　)

A.與能構成一組基底
B.·＝0
C.＋＝
D.·＝
解析：由點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且||＝1，

對于選項A，由題意可知∥，即與不能構成一組基底，即選項A錯誤；
對于選項B，由題意可知∠OAB＋∠OCB＋∠ABC＝270°，則∠AOC＝90°，即·＝0，即選項B正確；
對于選項C，由向量加法的平行四邊形法則及選項B可知＋＝，即選項C正確；
對于選項D，·＝(＋)·＝·＋·＝1×1×cos 45°＝，即選項D錯誤，故選BC.
答案：BC
7．(多選題)(2022·深圳模擬)四邊形ABCD為邊長為1的正方形，M為邊CD的中點，則(　　)
A.＝2 B.－＝
C.＋＝ D.·＝1
解析：對于A選項，＝2，故A選項錯誤；對于B選項，－＝＋＝＋＝，故B選項正確；對于C選項，＋＝＋＝，故C選項錯誤；
對于D選項，·＝(＋)·，
因為DM⊥BC所以·＝0，
所以·＝·＝1，
故D選項正確，
故選BD.
答案：BD
8.(多選題)(2022·廣東三模)“圓冪定理”是平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．如圖，已知圓O的半徑為2，點P是圓O內的定點，且OP＝，弦AC、BD均過點P，則下列說法正確的是(　　)

A．(＋)·＝0
B．·為定值
C．·的取值范圍是[－2，0]
D．當AC⊥BD時，·為定值
解析：對于A，取BD的中點為M，連接OM，則OM⊥DB，所以(＋)·＝2·＝0，選項A正確；對于B，設直線PO與圓O于E，F(xiàn)，則·＝－||||＝－||·||＝－(|OE|－|PO|)(|OE|＋|PO|)＝|PO|2－|EO|2＝－2，選項B正確；

對于C，取AC的中點為N，連接ON，則ON⊥AC，·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－(4－2)＝22－4，而0≤2≤||2＝2，故·的取值范圍是[－4，0]，選項C錯誤；
對于D，當AC⊥BD時，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－||||－||
||＝－2|EP||PF|＝－4，選項D正確．
故選ABD.
答案：ABD
9．(多選題)(2022·茂名一模)已知點A是圓C：(x＋1)2＋y2＝1上的動點，O為坐標原點，⊥，且||＝||，O，A，B三點順時針排列，下列選項正確的是(　　)
A．點B的軌跡方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2
B．|CB|的最大距離為1＋
C．·的最大值為＋1
D．·的最大值為2
解析：如圖，過O點作OD∥AB，且OD＝AB，

則點C(－1，0)，設點A(x0，y0)，設∠xOA＝α，則∠xOD＝α－，設|OA|＝a，
所以x0＝acos α，y0＝asin α，
所以，xD＝acos (α－)＝asin α＝y(tǒng)0，yD＝asin (α－)＝－acos α＝－x0，即點D(y0，－x0)，
因為＝＋＝(x0＋y0，y0－x0)，
設點B(x，y)，可得
解得
因為點A在圓(x＋1)2＋y2＝1上，所以(x0＋1)2＋y＝1，
將代入方程(x0＋1)2＋y＝1可得(＋1)2＋()2＝1，整理可得(x＋l)2＋(y－1)2＝2，故選項A錯誤；所以CB的最大距離為1＋，故選項B正確；設∠CAO＝θ，0°≤θ≤90°，·＝·(＋)＝2＋·＝1＋||·||cos (90°－θ)＝1＋|OA|sin θ＝1＋2cos θsin θ＝1＋sin 2θ≤2，所以·的最大值為2，故選項C錯誤，選項D正確．
故選BD.
答案：BD
10．(多選題)(2022·濰坊一模)已知向量＝(1，2)，將繞原點O旋轉－30°，30°，60°到，，的位置，則(　　)
A．·＝0
B．||＝||
C．·＝·
D．點P1坐標為(，)
解析：由題意作圖如下圖，

因為⊥，所以·＝0，
故選項A正確；
因為PP1與PP2所對的圓心角相等，
所以||＝||，
故選項B正確；
因為·＝||||cos 60°＝，
·＝|1||2|cos 60°＝，
所以選項C正確；
若點P1坐標為(，)
則||＝≠5，
故選項D錯誤；
故選ABC.
答案：ABC
11．(2022·佛山模擬)已知點A(1，0)，B(3，0)，若·＝2，則點P到直線l：3x－y＋4＝0的距離的最小值為 __________．
解析：設P(x，y)，
由點A(1，0)，B(3，0)，·＝2，
則(x－1)(x－3)＋y2＝2，
即(x－2)2＋y2＝3，
則點(2，0)到直線3x－y＋4＝0的距離為
＝，
由直線與圓的位置關系可得：點P到直線l的距離的最小值為－.
答案：－
12．(2022·揭陽模擬)已知a，b，c是三個不同的非零向量，若|a|＝|c|且cos〈a，b〉＝cos〈c，b〉，則稱c是a關于b的對稱向量．已知向量a＝(2，3)，b＝(1，2)，則a關于b的對稱向量為 ______(填坐標形式)．
解析：設c＝(x，y)，
因為|a|＝|c|，所以x2＋y2＝13，①
因為cos〈a，b〉＝cos〈c，b〉，
所以＝，
因為|a|＝|c|，所以a·b＝c·b，
即2＋6＝x＋2y，②
由①②解得或
所以a關于b的對稱向量為(，)．
答案：(，)
13．(2022·廣州一模)已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，點P在BC邊上(包括端點)，則·的取值范圍是 ________．
解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0，0)，
D(2，0)，C(1，)，D(－1，)，

當點P在BC上時，設P(x，)，x∈[－1，1]，＝(2，0)，＝(x，)，
則·＝2x∈[－2，2]．
答案：[－2，2]
14．(2022·汕頭一模)已知四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD＝3，AD＝BC＝，點E是CD的中點，則·＝______．
解析：如圖，分別過點C，D作CG⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為G，F(xiàn).

由題得四邊形ABCD為等腰梯形，
AF＝BG＝1，所以DF＝＝1，
所以∠DAF＝45°.
由題得·＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝－·＋2－×9＝－××3×＋＝－2.
答案：－2
15．(2022·佛山模擬)已知圓O的方程為x2＋y2＝1，P是圓C：(x－2)2＋y2＝16上一點，過P作圓O的兩條切線，切點分別為A、B，則·的取值范圍為 ____________．
解析：圓O的方程為x2＋y2＝1，圓C：(x－2)2＋y2＝16的圓心C(2，0)，半徑r＝4，
設PA與PB的夾角為2α，如圖所示：

則|PA|＝|PB|＝，
所以f(α)＝·＝|PA|·|PB|·cos 2α＝·cos 2α＝·cos 2α.
記cos 2α＝u，P在圓C的左頂點時，sin α＝，
所以cos 2α＝1－2 sin2α＝，u取得最小值，
P在圓C的右頂點時，sin α＝，
所以cos 2α＝1－2 sin2α＝，
所以μ∈[，]，y＝＝，
記t＝1－u，則t∈[，]，y＝－3＋t＋，
且該函數(shù)在t∈[，]內單調遞減，
所以t＝時，ymax＝－3＋＋36＝，t＝時，
ymin＝－3＋＋4＝，
所以·的取值范圍是[，]．
答案：

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