?專題強化練(九)　統(tǒng)計案例
1．(2022·茂名模擬)在北方某城市隨機選取一年內(nèi)40天的空氣污染指數(shù)(API)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下：
API
[0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，250]
(250，300]
(300，＋∞)
天數(shù)
3
5
8
10
8
4
2
(1)已知污染指數(shù)API大于250為重度污染，若本次抽取樣本數(shù)據(jù)有9天是在供暖季，其中有3天為重度污染，完成下面的2×2列聯(lián)表，問有多大把握認為該城市空氣重度污染與供暖有關(guān)？
項目
非重度污染
重度污染
合計
供暖季



非供暖季



合計


40
(2)在樣本中，從污染指數(shù)API大于250的6天中任取2天，求至少有1天API大于300的概率．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.025
6.635
7.879
10.828
解：(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如表：
項目
非重度污染
重度污染
合計
供暖季
6
3
9
非供暖季
28
3
31
合計
34
6
40
K2的觀測值k＝≈3.061>2.706，
所以有90%的把握認為空氣重度污染與供暖有關(guān)．
(2)污染指數(shù)API在(250，300]有4天，污染指數(shù)API大于300有2天，6天中任取2天，
共有C＝15(種)，至少有1天API大于300，共有15－C＝9(天)，
所以在樣本中，從污染指數(shù)API大于250的6天中任取2天，至少有1天API大于300的概率為＝.
2．(2022·廣東模擬)某科研團隊研發(fā)針對病毒α的疫苗，并進行接種試驗．如果人體在接種疫苗之后的一定時期內(nèi)產(chǎn)生了針對病毒α的抗體，則稱該疫苗有效．該科研團隊對其研發(fā)的疫苗A和疫苗B，分別進行了接種試驗，然后在接種了疫苗A和疫苗B的人群中分別隨機抽取了部分個體，并檢測其體內(nèi)是否產(chǎn)生了針對病毒α的抗體，獲得樣本數(shù)據(jù)如表：
項目
抽取人數(shù)
其中產(chǎn)生抗體人數(shù)
接種疫苗A
120
80
接種疫苗B
100
80
(1)從接種疫苗A的人群中任取3人，記產(chǎn)生抗體的人數(shù)為X，用樣本數(shù)據(jù)中產(chǎn)生抗體的頻率估計概率，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，是否有95%的把握認為疫苗A與疫苗B的有效性存在差異？說明理由．
附：χ2＝.
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解：(1)在接種疫苗A的樣本中，產(chǎn)生抗體的頻率為＝，
由此估計，從接種疫苗A的人群中任取1人，產(chǎn)生抗體的概率為.
所以從接種疫苗A的人群中任取3人，
產(chǎn)生抗體的人數(shù)X～B(3，)，P(X＝k)＝C()k(1－)3－k，其中k＝0，1，2，3，所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P




數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×＝2.
(2)有95%的把握認為疫苗A與疫苗B的有效性存在差異．理由如下：
根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，在接種疫苗A的120人中，80人產(chǎn)生抗體，40人未產(chǎn)生抗體，
在接種疫苗B的100人中，80人產(chǎn)生抗體，20人未產(chǎn)生抗體．
根據(jù)公式，χ2＝＝≈4.889>3.841.
所以有95%的把握認為疫苗A與疫苗B的有效性存在差異．
3．(2022·禪城區(qū)模擬)某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人．萌寵機器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽的內(nèi)容．同時提供快樂兒歌、國學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新．萌寵機器人一投放市場就受到了很多家長歡迎．為了更好地服務(wù)廣大家長，該公司研究部門從流水線上隨機抽取100件萌寵機器人(以下簡稱產(chǎn)品)，統(tǒng)計其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖(如圖1)


產(chǎn)品的性能指數(shù)在[50，70)的適合托班幼兒使用(簡稱A類產(chǎn)品)，在[70，90)的適合小班和中班幼兒使用(簡稱B類產(chǎn)品)，在[90，110]的適合大班幼兒使用(簡稱C類產(chǎn)品)，A，B，C三類產(chǎn)品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5，5.5(單位：元)．以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率．
(1)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；
(2)該公司為了解年營銷費用x(單位：萬元)對年銷售量y(單位：萬件)的影響，對近5年的年營銷費用xi，和年銷售量yi(i＝1，2，3，4，5)數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖(如圖2)及一些統(tǒng)計量的值．

i
i
(ui－)( vi－)
(ui－)2
16.30
24.87
0.41
1.64
表中ui＝ln xi，vi＝ln yi，＝i，＝i.
根據(jù)散點圖判斷，y＝a·xb可以作為年銷售量y(萬件)關(guān)于年營銷費用x(萬元)的回歸方程．
①建立y關(guān)于x的回歸方程；
②用所求的回歸方程估計該公司應(yīng)投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大？
(收益＝銷售利潤－營銷費用，取e4.159＝64)．
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－.
解：(1)設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤為ξ元，則ξ的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，
由直方圖可得，A，B，C三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，
所以P(ξ＝1.5)＝0.15，
P(ξ＝3.5)＝0.45，
P(ξ＝5.5)＝0.4，
所以隨機變量ξ的分布列為：
ξ
1.5
3.5
5.5
P
0.15
0.45
0.4
所以E(ξ)＝1.5×0.15＋3.5×0.45＋5.5×0.4＝4，
故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元．
(2)①由y＝a·xb得，ln y＝ln (a·xb)＝ln a＋bln x，
令u＝ln x，v＝ln y，c＝ln a，則v＝c＋bu，由表中數(shù)據(jù)可得，＝＝0.25，
則＝－＝－0.25×＝4.159，
所以＝4.159＋0.25u，
即ln ＝4.159＋0.25ln x＝ln(e4.159·x)，
因為e4.159＝64，所以＝64x.
②設(shè)年收益為z萬元，則z＝E(ξ)·y－x＝256x－x，
設(shè)t＝x，f(t)＝256t－t4，
則f′(t)＝256－4t3＝4(64－t3)，
當(dāng)t∈(0，4)時，f′(t)>0，f(t)在(0，4)單調(diào)遞增，
當(dāng)t∈(4，＋∞)時，f′(t)

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