?專題強(qiáng)化練(五)　數(shù)列求和及簡單應(yīng)用
1．(2022·廣東一模)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足an(2Sn－an)＝1(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{S}是等差數(shù)列，并求出Sn的表達(dá)式；
(2)數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)ak，ak＋1，ak＋2，使得，，構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由．
(1)證明：依題意，正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a＝1，即a1＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，即(Sn－Sn－1)[2Sn－(Sn－Sn－1)]＝1，
整理得S－S＝1，又S＝a＝1，
所以數(shù)列{S}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以S＝n，所以數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn＝.
(2)解：數(shù)列{an}中不存在連續(xù)三項(xiàng)ak，ak＋1，ak＋2，使得，，構(gòu)成等差數(shù)列．
理由如下：
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－，
因?yàn)閍1＝1，即?n∈N*，都有an＝－，
所以＝＝＋，
假設(shè)數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)ak，ak＋1，ak＋2，使得，，構(gòu)成等差數(shù)列，則2(＋)＝＋＋＋，即＋＝＋，
兩邊同時(shí)平方，得k＋1＋k＋2·＝k－1＋k＋2＋2·，
所以(k＋1)k＝(k－1)(k＋2)，
整理得k2＋k＝k2＋k－2，所以0＝－2，不成立，故假設(shè)錯(cuò)誤，
所以數(shù)列{an}中不存在連續(xù)三項(xiàng)ak，ak＋1，ak＋2，使得，，構(gòu)成等差數(shù)列．
2．(2022·廣州三模)已知遞增等差數(shù)列{an}滿足a1＋a5＝10，a2·a4＝21，數(shù)列{bn}滿足2log2
bn＝an－1，n∈N*.
(1)求{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
(2)若Tn＝nb1＋(n－1)b2＋…＋bn，求數(shù)列{Tn}的通項(xiàng)公式．
解：(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d(d>0)，則

解得(舍去)或
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
因?yàn)?log2bn＝an－1＝2n－1－1＝2n－2，
所以log2bn＝n－1，即bn＝2n－1＝1·2n－1，n∈N*.
故數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則Sn＝＝2n－1.
(2)由(1)，可知
Tn＝nb1＋(n－1)b2＋…＋bn
＝b1＋(b1＋b2)＋(b1＋b2＋b3)＋…＋(b1＋b2＋…＋bn)
＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn
＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n
＝－n
＝2n＋1－n－2.
3．(2022·廣東模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a－2anan＋1－3a＝0(n∈N*)，且
a1＝3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝anlog3an＋1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)因?yàn)閍－2anan＋1－3a＝0(n∈N*)，
所以(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0，
又因?yàn)閍n>0，所以an＋1－3an＝0，
即＝3，
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝3，以3為等比的等比數(shù)列，
所以an＝3n.
(2)bn＝anlog3an＋1＝3n·log33n＋1＝(n＋1)3n，
則Tn＝2×3＋3×32＋4×33＋…＋(n＋1)3n，
3Tn＝2×32＋3×33＋4×34＋…＋n·3n＋(n＋1)3n＋1，
兩式相減得
－2Tn＝6＋32＋33＋…＋3n－(n＋1)3n＋1＝3＋－(n＋1)3n＋1＝－(n＋)3n＋1＋，
所以Tn＝(＋)3n＋1－.
4．(2022·涼州區(qū)模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，并證明：Tn0，所以an＋2－an＝4，
于是：數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是以a1＝1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)是以a2＝3為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，
所以{an}的通項(xiàng)公式an＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝(－1)n(2n－1)(2n＋1)，
Tn＝－a1a2＋a2a3－a3a4＋a4a5＋…＋(－1)nanan＋1＝a2(－a1＋a3)＋a4(－a3＋a5)＋…＋(－1)nanan＋1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝4(a2＋a4＋…＋an)＝4×＝2n(n＋1)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Tn＝4(a2＋a4＋…＋an－1)－anan＋1＝
4×－(2n－1)(2n＋1)＝－2n2－2n＋1，
綜上，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝

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