?8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用（同步練習(xí)）
一、選擇題
1.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
則y與x的經(jīng)驗回歸方程＝x＋必過點(　　)
A．(2,2)　　　B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4)
2.如圖所示是四個殘差圖，其中回歸模型的擬合效果最好的是(　　)

3.已知x，y的取值如下表所示，若y與x線性相關(guān)，且＝0.95x＋，則＝(　　)
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
A.2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9
4.已知經(jīng)驗回歸方程為＝2x＋1，而試驗得到的一組數(shù)據(jù)是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，則殘差平方和是(　　)
A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04
5.根據(jù)如表所示的樣本數(shù)據(jù)：
x
1
2
3
4
5
y
a－1
－1
0.5
b＋1
2.5
得到的回歸方程為＝x＋.樣本點的中心為(3,0.1)，當(dāng)x增加1個單位時，y近似(　　)
A．增加0.8個單位 B．減少0.8個單位
C．增加2.3個單位 D．減少2.3個單位
6.有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x(單位：℃)與某取暖商品的銷售額y(單位：萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
平均氣溫x(℃)
－2
－3
－5
－6
銷售額y(萬元)
20
23
27
30
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用經(jīng)驗回歸的方法，求得銷售額y與平均氣溫x之間的經(jīng)驗回歸方程＝＋x的系數(shù)＝－2.4.則預(yù)測平均氣溫為－8 ℃時，該商品的銷售額為(　　)
A．34.6萬元 B．35.6萬元
C．36.6萬元 D．37.6萬元
7.甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對A，B兩變量進行經(jīng)驗回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和(yi－i)2如下表：

甲
乙
丙
丁
散點圖




殘差平方和
115
106
124
103
哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空題
8.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y滿足一組數(shù)據(jù)如下表所示．若y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為＝3x－1.5，則m的值等于________
x
0
1
2
3
y
－1
1
m
8
9.已知高三某班學(xué)生每周用于物理學(xué)習(xí)的時間x(單位：小時)與物理成績y(單位：分)之間有如下關(guān)系：
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
若根據(jù)上表可得經(jīng)驗回歸直線的斜率為3.53，則經(jīng)驗回歸直線在y軸上的截距為________(結(jié)果精確到0.1)

10.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：
收入x(萬元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(萬元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根據(jù)上表可得經(jīng)驗回歸方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出約為________萬元．

11.面對競爭日益激烈的消費市場，眾多商家不斷擴大自己的銷售市場，以降低生產(chǎn)成本．某白酒釀造企業(yè)市場部對該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量x(單位：千箱)與單位成本y(單位：元)的資料進行線性經(jīng)驗回歸分析，結(jié)果如下：＝，＝71，＝79，＝1 481.則銷量每增加1 000箱，單位成本下降________元．
三、解答題
12.一汽車銷售公司對開業(yè)4年來某種型號的汽車“五一”優(yōu)惠金額與銷售量之間的關(guān)系進行分析研究并做了記錄，得到如下資料：
日期
第一年
第二年
第三年
第四年
優(yōu)惠金額x/千元
10
11
13
12
銷售量y/輛
22
24
31
27
(1)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程＝x＋；
(2)若第5年優(yōu)惠金額8.5千元，估計第5年的銷售量y(輛)的值．
參考公式：＝，＝－.









13.關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù)：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x與y線性相關(guān)，由最小二乘法得＝6.5，
(1)求y與x的經(jīng)驗回歸方程；
(2)現(xiàn)有第二個線性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.
若與(1)的線性模型比較，哪一個線性模型擬合效果比較好，請說明理由．






14.某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地某銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表：
年份x
2015
2016
2017
2018
2019
儲蓄存款y(千億元)
5
6
7
8
10
為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理，t＝x－2 014，z＝y(tǒng)－5得到下表：
時間代號t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)求z關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程；
(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；
(3)用所求經(jīng)驗回歸方程預(yù)測到2021年年底，該地儲蓄存款額可達多少？







15.紅外線治療儀的治療作用是在紅外線照射下，組織溫度升高，毛細血管擴張，血液加快，物質(zhì)代謝增強，組織細胞活力及再生能力提高，對我們身體某些疾病的治療有著很大的貢獻．某藥店兼營某種紅外線治療儀，經(jīng)過近5個月的營銷，對銷售狀況進行相關(guān)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)月銷量與銷售價值有關(guān)，其統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
每臺紅外線治療儀的銷售價格x/元
140
150
160
170
180
紅外線治療儀的月銷售量y/臺
64
55
45
35
26
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；
(2)①每臺紅外線治療儀的價格為165元時，預(yù)測紅外線治療儀的月銷售量；(四舍五入為整數(shù))
②若該紅外線治療儀的成本為120元/臺，藥店為使每月獲得最大的純收益，利用(1)中結(jié)論，問每臺該種紅外線治療儀的銷售價格應(yīng)定為多少元？(四舍五入，精確到1元)
參考公式：經(jīng)驗回歸方程＝x＋，其中＝，＝－.





參考答案：
一、選擇題
1.D　 2.B　 3.B　 4.C　 5.A　 6.A　 7.D　

二、填空題
8.答案：4 9.答案：13.5 10.答案：11.8 11.答案：1.818 2

三、解答題
12.解：(1)由題中數(shù)據(jù)可得＝11.5，＝26，xiyi＝1 211，x＝534，
∴＝＝＝＝3，
故＝－＝26－3×11.5＝－8.5，∴y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為＝3x－8.5.
(2)由(1)得，當(dāng)x＝8.5時，＝17，
∴第5年優(yōu)惠金額為8.5千元時，銷售量估計為17輛．

13.解：(1)依題意設(shè)y與x的經(jīng)驗回歸方程為＝6.5x＋.
＝＝5，＝＝50，
∵＝6.5x＋經(jīng)過(，)，∴50＝6.5×5＋，∴＝17.5，∴y與x的經(jīng)驗回歸方程為＝6.5x＋17.5.
(2)由(1)的線性模型得yi－i與yi－的關(guān)系如下表：
yi－i
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
所以(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155.
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
所以R＝1－＝0.845.
由于R＝0.845，R2＝0.82知R>R2，所以(1)的一元線性回歸模型擬合效果比較好．

14.解：(1)∵＝3，＝2.2，＝45，＝55，∴＝＝1.2，
＝－＝2.2－1.2×3＝－1.4，∴＝1.2t－1.4.
(2)將t＝x－2 014，z＝y(tǒng)－5，代入＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2 014)－1.4，即＝1.2x－2413.2.
(3)∵＝1.2×2 021－2413.2＝12，∴預(yù)測到2021年年底，該地儲蓄存款額可達12千億元．
15.解：(1)＝＝160，＝＝45，
(xi－)2＝(140－160)2＋(150－160)2＋(160－160)2＋(170－160)2＋(180－160)2＝1 000，
(xi－)(yi－)＝－20×19－10×10＋0×0－10×10－20×19＝－960，
∴＝＝－0.96 ∴＝－＝45＋0.96×160＝198.6，
∴y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為＝－0.96x＋198.6.
(2)①由(1)知，當(dāng)x＝165時，＝－0.96×165＋198.6＝40.2≈40，
即每臺紅外線治療儀的價格為165元時，紅外線治療儀的月銷售量約為40臺．
②藥店每月獲得的純收益Q(x)＝(－0.96x＋198.6)·(x－120)＝－0.96x2＋313.8x－23 832，
∴當(dāng)x＝≈163時，Q(x)取得最大值，
即藥店為使每月獲得最大的純收益，每臺該種紅外線治療儀的銷售價格應(yīng)定為163元．

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8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

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