?豐臺區(qū)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期中練習(xí)
高二數(shù)學(xué)（A卷）
考試時間：120分鐘
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 若，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，再代值計算即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故選：A.
2. 已知數(shù)列的首項，且滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，求得，即可求得的值.
【詳解】由數(shù)列滿足，可得數(shù)列為等差數(shù)列，
因為，可得，所以.
故選：C.
3. 已知某高山滑雪運動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的位移（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為.則當(dāng)時，該運動員的滑雪速度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對求導(dǎo)，再將代入求解即可.
【詳解】因為，所以，
故，
所以該運動員的滑雪速度為.
故選：B.
4. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和為，若，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，結(jié)合題設(shè)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求得，進而根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求解即可.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，
則，
所以，
所以.
故選：C.
5. 若函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意求得，令，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的定義域，可得，
令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：B.
6. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，”，由到時，等式左邊應(yīng)當(dāng)增加的項為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別寫出和時，左邊的式子，兩式作差，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意可得，當(dāng)時，等式左邊等于，共項求和；
當(dāng)時，等式左邊等于，共項求和；
所以由的假設(shè)到證明時,等式左邊應(yīng)添加的式子是.
故選：B
7. 曲線在處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求導(dǎo)，得到切線方程的斜率，進而求出切線方程，求出與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.
【詳解】由，可得，又，，
故在點處的切線方程為，即.
令得，令得，
所以切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖，則對于函數(shù)的描述錯誤的是（ ）

A. 在區(qū)間上單調(diào)遞減 B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 為極小值 D. 為極小值點
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖象可得的符號，進而可判斷的單調(diào)性，結(jié)合的單調(diào)性逐項分析判斷.
【詳解】由圖象可得：當(dāng)或時，；當(dāng)或時，；
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故A，B正確；
函數(shù)在處取得極小值，故C正確，1不是極值點，D錯誤；
故選：D.
9. 已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A. 為遞減數(shù)列 B. 為遞增數(shù)列
C. 數(shù)列有最小項 D. 數(shù)列有最大項
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，分析等比數(shù)列的公比范圍，進而可以判斷的單調(diào)性，判斷A，B；由，分，進行討論，判斷C，D．
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
由可得，又，所以即，又，所以，即，
故等比數(shù)列首項，公比滿足或，
當(dāng)時，等比數(shù)列為正負(fù)項交替的擺動數(shù)列，故不單調(diào)；
當(dāng)時，，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故A，B不正確；
又，且
所以當(dāng)時，由于，
則，，
此時數(shù)列的最小項為，最大項為；
當(dāng)時，有，
則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，有最小項，無最大項，故C正確，D不正確.
故選：C.
10. 任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.如果對于正整數(shù)m，經(jīng)過n步變換，第一次到達1，就稱為n步“雹程”.如取，由上述運算法則得出：，共需經(jīng)過5個步驟變成1，得.則下列說法錯誤的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則只能是4
C. 隨著的增大，不一定增大
D. 若，則的可能值有5個
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)“冰雹猜想”逐項推理，即可判斷作答.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，，A正確；
對于B，若，逆推：按減1除以3或乘以2，得，因此只能是4，B正確；
對于C，當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，因此隨著的增大，不一定增大，C正確；
對于D，若，逆推：按減1除以3或乘以2，得，
因此的取值集合是，的值只有4個，D錯誤.
故選：D
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)，則_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式進行計算.
【詳解】令，，則，
故.
故答案：
12. 如果成等比數(shù)列，那么________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等比中項以及等比數(shù)列的性質(zhì)運算求解.
【詳解】設(shè)該數(shù)列的公比為，
則由題意可得，解得，即，
所以.
故答案為：．
【點睛】考點：等比數(shù)列的通項公式．
13. 如圖，已知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，直線是曲線在點處的切線，則_____．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，幾何意義和求導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】根據(jù)二次函數(shù)圖像可以設(shè)其解析式為：
，
所以，
曲線在點處的切線斜率為，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案為：.
14. 我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將，，，，填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)，，，，填入個方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，記此和為，這個正方形叫做階幻方．如圖三階幻方的．若，則_____.

【答案】
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列求和公式計算出，從而得到.
詳解】由等差數(shù)列求和公式可得，
故每行，每列和每條對角線上的數(shù)字之和為，
故答案：
15. 函數(shù)（）的所有極值點從小到大排列成數(shù)列，設(shè)是的前n項和，給出下列四個結(jié)論：
①數(shù)列為等差數(shù)列；
②；
③為函數(shù)的極小值點；
④.
其中所有正確結(jié)論的序號是______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定極值點，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷．
【詳解】解：，
令可得或，，
易得函數(shù)的極值點為或，，
從小到大為，，不是等差數(shù)列，①錯誤；
，②正確；
因為，，
函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，
所以為函數(shù)的極小值點，③正確；
，
，


則根據(jù)誘導(dǎo)公式得
，④正確；
故答案為：②③④．
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，.
（1）求的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)通項公式列方程解得，即可得解；
（2）結(jié)合（1）得，再利用分組求和法求解即可．
【小問1詳解】
設(shè)的公差為，
因為，，所以，；
解得，，
∴.
【小問2詳解】
因為，；
所以

．
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合函數(shù)的最小值，即可確定的取值范圍.
【小問1詳解】
由題可知，
令，即，解得或，
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：








0

0


單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又有，，要使在區(qū)間上的最小值為，則.
18. 已知數(shù)列滿足，且．
（1）設(shè)數(shù)列滿足，證明：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，表示出與的關(guān)系式，計算得，根據(jù)等比數(shù)列的定義可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的通項，從而可得數(shù)列的通項公式.
【小問1詳解】
，
，，
，
因為，故，．
是首項，公比的等比數(shù)列．
【小問2詳解】
由（1）知，，又，
所以，所以．
故數(shù)列的通項公式為．
19. 已知函數(shù)，且在處取得極值.
（1）求實數(shù)的值；
（2）若方程有兩個解，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，求的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)，再利用數(shù)形結(jié)合，求實數(shù)的范圍.
【小問1詳解】
由題可知
因為在處取得極值，所以，解得；
經(jīng)檢驗，滿足題意.
【小問2詳解】
由（1）知，，
令，解得或；
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：








0

0


增
極大值
減
極小值
增
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以的極大值；的極小值.
因為方程有兩個解，所以或.
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）解法一：由題意得在區(qū)間上恒成立，設(shè)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，使其大于等于零，從而可求出實數(shù)的取值范圍；解法二：由題意得在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可,
【小問1詳解】
當(dāng)時，函數(shù)．
令，得，即切點坐標(biāo)為．
，
令，得，即切線斜率，
故切線方程為，即．
【小問2詳解】
解法一：
已知，可得，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，
設(shè)，可得，令，；
①當(dāng)時，，，，單調(diào)遞減，
，不滿足題意；
②當(dāng)時，，時，，單調(diào)遞增；
時，，單調(diào)遞減，
由，，，得；
③當(dāng)時，，，，單調(diào)遞增，
由，得，所以；
綜上，.經(jīng)檢驗，滿足題意.
所以實數(shù)的取值范圍為.
解法二：
．
由題意，在區(qū)間上恒成立，
因為，所以，
所以在區(qū)間上恒成立．
令，
則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以的最大值為，
所以．經(jīng)檢驗，滿足題意.
所以實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.
21. 定義“三角形數(shù)”：對于給定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得，則稱是“三角形數(shù)”；否則，不是“三角形數(shù)”．
已知數(shù)列滿足，且．
（1）寫出的值；
（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)是“三角形數(shù)”時，是正整數(shù)；
（3）證明：數(shù)列的通項公式為，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分別代入計算即可；
（2）根據(jù)三角形數(shù)界定范圍求解計算可得；
（3）分類討論是否是三角形數(shù)分別證明即可.
【小問1詳解】
．
【小問2詳解】
若是“三角形數(shù)”，則存在，使得，
故是正整數(shù)．
若不是“三角形數(shù)”，則介于兩個相鄰“三角形數(shù)”之間，
即存在，使得，
由之前的計算可知，，即不是正整數(shù)．
綜上，命題得證．
【小問3詳解】
只要做驗證性證明即可，即若通項公式可推導(dǎo)出遞推公式，則通項公式正確．
當(dāng)時，，滿足初值條件．
又
．
而
．
設(shè)，，其中．
當(dāng)是“三角形數(shù)”時，，．
當(dāng)不是“三角形數(shù)”時，由（2）知存在，使得
，且，
故．
又，，
故．
因此，當(dāng)是“三角形數(shù)”時，；
當(dāng)不是“三角形數(shù)”時，．
綜上所述，數(shù)列的通項公式為．

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