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在線段PA上是否存在點M，使得直線GM與平面EFG所成角為，若存在，求線段PM的長度；若不存在，說明理由．
條件①：平面PAD；
條件②：；
條件③：平面平面
21. 已知橢圓C：的一個頂點為，離心率為，M，N分別為橢圓C的上、下頂點，動直線l交橢圓C于A，B兩點，滿足，過點M作，垂足為
求橢圓C的標準方程；
判斷直線AB是否過定點，如果是，則求出此定點的坐標，如果不是，則說明理由；
寫出面積的最大值．
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：由拋物線，可得準線方程，
即
故選：
利用拋物線的準線方程是即可得出．
本題考查了拋物線的準線方程，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】B 【解析】解：首項，，
則數(shù)列是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，
故，
所以
故選：
根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】A 【解析】解：m，n是兩條不同的直線，是一個平面，
對于A，若，，則由線面垂直的性質(zhì)得，故A正確；
對于B，若，，則m與n相交、平行或異面，故B錯誤；
對于C，若，，則或，故C錯誤；
對于D，若，，則n與平行、相交或，故D錯誤．
故選：
對于A，由線面垂直的性質(zhì)得；對于B，m與n相交、平行或異面；對于C，或；對于D，n與平行、相交或
本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是中檔題．
4.【答案】B 【解析】解：對于A：將點代入，可得，故A錯誤；
對于B：直線l：，則直線的斜率為1，其傾斜角為，故B正確；
對于C：令，可得，即直線l在y軸上的截距為，故C錯誤；
對于D：直線l的一個方向向量為，故D錯誤．
故選：
根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案．
本題考查直線方程的有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】B 【解析】解：在四面體中，設(shè)，，，M，N分別是棱OA，BC的中點，
所以
故選：
直接利用向量的線性運算求出結(jié)果．
本題考查的知識要點：向量的線性運算，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．
6.【答案】D 【解析】解：由已知可得雙曲線的漸近線方程為，
又雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，
則，
即，
即，
即，
即雙曲線的離心率，
故選：
由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線離心率的求法求解即可．
本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線離心率的求法，屬基礎(chǔ)題．
7.【答案】A 【解析】解：直線：與：互相平行，
則，解得或，
當時，直線，重合，不符合題意，
當時，直線，平行，符合題意．
故選：
根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】B 【解析】解：，，且，
則，，
，
，即，解得
故選：
根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量平行的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查空間向量平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
9.【答案】A 【解析】解：由直線l：，得，
可知直線l過定點，
化圓C：為，知圓心，半徑為2，
，則P在圓C內(nèi)，
直線l與圓C的位置關(guān)系為相交．
故選：
由直線系方程可知直線過定點，再說明定點在圓C內(nèi)，可得直線與圓的位置關(guān)系．
本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
10.【答案】D 【解析】解：對于A選項：當時，點P與重合時，的面積S取最大值為，
故A正確；
對于B選項：當時，P在棱上，
，平面，平面，平面，
到平面的距離為定值，
的面積為定值，當時，三棱錐的體積為定值，故B正確；
如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，
對于C選項：時，，故，解得，
時，，故C正確；
對于D選項：時，得，，，
，即不成立，故不存在點P，使得平面，故D錯誤．
故選：
對于A，B選項，直接利用幾何法判斷即可；
對于C，D，可建立空間直角坐標系，然后將問題轉(zhuǎn)化為坐標運算判斷．
本題考查空間位置關(guān)系的判斷，坐標法在判斷空間線面位置關(guān)系時的應(yīng)用，屬于中檔題．
11.【答案】2 【解析】解：因為直線和直線互相垂直，
所以，
即
故答案為：
由已知結(jié)合直線垂直的條件即可求解．
本題主要考查了直線位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12.【答案】 【解析】解：圓心為且和x軸相切的圓的半徑為1，
故圓的方程是，
故答案為：
先求出圓的半徑，從而得到它的標準方程．
本題主要考查求圓的標準方程，屬于基礎(chǔ)題．
13.【答案】3 3 【解析】解：①，，
當時，，
當時，②，
由①-②得，
當時，，
數(shù)列的通項公式為，
，
當時，，數(shù)列是遞增數(shù)列，即，
的最小值為3，
故答案為：3；
利用與的關(guān)系，求出數(shù)列的通項公式，即可得出答案．
本題考查與的關(guān)系，考查作差法，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
14.【答案】 【解析】解：根據(jù)拋物線的定義可得，
又，所以，
所以，解得，
所以拋物線C的方程為，
故答案為：
根據(jù)拋物線的定義求得，然后在直角三角形中利用可求得，從而可得答案．
本題主要考查拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．
15.【答案】①②④ 【解析】解：設(shè)為曲線上的任意一點，以代x，以代y，方程不變，曲線，關(guān)于x軸，y軸及原點對稱，①正確；
當，時，方程可化為：，
即，其軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，曲線圍成的面積為，②正確．
由題意可得，曲線上任意兩點之間的距離的最大值為，③錯誤；
根據(jù)圖象可知，曲線C上的點到原點的距離的最小值為1，④正確．
故答案為：①②④．
由已知結(jié)合曲線的對稱性檢驗①，結(jié)合圓的性質(zhì)檢驗②③④即可判斷．
本題主要考查了曲線的對稱性，圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
16.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列數(shù)列的公差為d，
由，，可得，，
解得，，
所以；
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
由，，可得，
則，
數(shù)列的前n項和為 【解析】由等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，進而得到所求；
由等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式可得公比，再由等比數(shù)列的求和公式可得所求和．
本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
17.【答案】解：圓：，
可得圓心到直線l的距離
結(jié)合可得弦
圓：，即，
可得圓心，半徑，
，
圓與圓的半徑之和，
圓與圓的位置是外切． 【解析】圓：，利用點到直線距離公式可得圓心到直線l的距離．
結(jié)合利用弦長公式即可得出可得弦
圓：，即，可得圓心，半徑，求出及其兩圓的半徑之和即可判斷出位置關(guān)系．
本題考查了直線與圓及其兩圓的位置關(guān)系、點到直線距離公式、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
18.【答案】解：證明：在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與正方形ABCD所在平面互相垂直，
，
，，，
平面平面DCE，
平面ABF，平面CDE；
證明：梯形ADEF與正方形ABCD所在平面互相垂直，平面平面，
，，
，平面ABCD，
以D為坐標原點，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
，，
，，，，
，，，
，，，，
，平面CDF；
點H在線段DE上，且，，
，，，，
設(shè)異面直線AH與BE所成角為，
則異面直線AH與BE所成角的余弦值為：
【解析】由，，得平面平面DCE，由此能證明平面CDE；
推導(dǎo)出，平面ABCD，以D為坐標原點，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面CDF；
求出，，利用向量法能求出異面直線AH與BE所成角的余弦值．
本題考查面面平行、線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)、異面直線所成角的定義及求法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
19.【答案】解：橢圓C：的長軸長是焦距的2倍，
，進而可得，橢圓方程為，
點在橢圓上，，解得，
故橢圓C的方程為；
由知橢圓的焦點坐標為，
當時，直線l：過左焦點，右焦點，設(shè)，，
由，得，，，，，
，
；
的周長是為定值．
理由如下：直線l：過定點，又為橢圓的左焦點，
又F為橢圓的若焦點，
的周長為為定值． 【解析】由已知可得，進而可得，利用點在橢圓上，可求c，進而可得橢圓C的方程；
直線l：過左焦點，右焦點，設(shè)，，聯(lián)立方程可得，可得，進而可求的面積；
直線l：過定點，又為橢圓的左焦點，可得的周長為
本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬中檔題．
20.【答案】解：證明：若選條件①：平面PAD，又平面PAD，
，又是正三角形，O為AD中點，
，又，且CD，平面ABCD，
平面ABCD；
若選條件②：，又根據(jù)題意易知，，
，，
又易知，，且OC，平面ABCD，
平面ABCD；
若選條件③：平面平面ABCD，
又根據(jù)題意易知，且平面PAD，平面平面，
平面ABCD；
根據(jù)建系如圖，則根據(jù)題意可得：
，，，，
，，，
，，
設(shè)平面EFG的法向量為，
則，取，
又易知平面ABCD的法向量為，
，
平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小為；
設(shè)，，
，
又由可知平面EFG的法向量為，
直線GM與平面EFG所成角的正弦值為：
，，
，，該方程無解，
不存在滿足條件的點 【解析】選①或選②根據(jù)線面線面垂直的判定定理，即可證明；選③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證明；
根據(jù)建系，利用向量法即可求解；
根據(jù)建系，利用向量法，方程思想，即可求解．
本題考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，向量法求解面面角問題，向量法求解線面角問題，方程思想，屬中檔題．
21.【答案】解：由橢圓C：的一個頂點為，
得，又離心率為，，又，
，
橢圓C的標準方程為；
由題意知AB斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，
由，得，
設(shè)，，則，，
，
，
，
即，
，
解得，則直線過定點，且定點在橢圓內(nèi)，與橢圓有兩個交點，
面積的最大值為 【解析】由已知可得，進而利用離心率可求得a，進而可得橢圓C的標準方程；
設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立方程組以及，得，進而可得直線AB是否過定點；
由H的軌跡為圓可得面積的最大值．
本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬中檔題．
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