第5講 有理數(shù)的減法 一、有理數(shù)的減法有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫，寫成省略加號(hào)的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.3. 和式的讀法：①按這個(gè)式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”4. 0表示一個(gè)確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準(zhǔn)，比如以海平面為基準(zhǔn)，則0米就表示海平面。題型一：有理數(shù)的減法運(yùn)算【例1】已知，，求的值．【答案】或【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的定義求出，再分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況利用有理數(shù)的減法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的定義，有理數(shù)減法，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．[變式1]已知|a|＝6.3，|b|＝3.5，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【答案】﹣2.8或﹣9.8【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義求出a，b的值，根據(jù)|a﹣b|＝b﹣a，得到a≤b，然后分兩種情況分別計(jì)算即可．【詳解】解：∵|a|＝6.3，|b|＝3.5，∴a＝±6.3，b＝±3.5，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a﹣b≤0，∴a≤b，∴當(dāng)a＝﹣6.3，b＝3.5時(shí)，a+b＝﹣6.3+3.5＝﹣2.8；當(dāng)a＝﹣6.3，b＝﹣3.5時(shí)，a+b＝﹣6.3+（﹣3.5）＝﹣9.8；∴a+b的值為﹣2.8或﹣9.8．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加法，以及絕對(duì)值，熟練掌握絕對(duì)值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵．[變式2]已知有理數(shù)，滿足，，且，求的值．【答案】-1或-5【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)|a+b|=a+b，求出符合條件的a，b的值，從而得出a-b的值即可．【詳解】解：∵a，b為有理數(shù)，|a|=2，|b|=3，∴a=±2，b=±3，∵|a+b|=a+b，∴a+b≥0，當(dāng)a=2，b=3時(shí)，a+b=5，符合；當(dāng)a=-2，b=-3時(shí)，a+b=-5，不符合；當(dāng)a=2，b=-3時(shí)，a+b=-1，不符合；當(dāng)a=-2，b=3時(shí)，a+b=1，符合．∴a-b=-1或-5．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的性質(zhì)，能根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出a、b的值是解答此題的關(guān)鍵．題型二：有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用【例2】哈爾濱某天的最低氣溫為，最高氣溫為，這一天的溫差是______．【答案】8【分析】根據(jù)題意列式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)減法運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，正確列出算式是解決本題的關(guān)鍵．[變式1]地的海拔高度是8844米，地的海拔高度是米，則地比地高___________米．【答案】8999【分析】用A地的高度減去B地的高度，列減法算式計(jì)算即可．【詳解】解：地比地高（米），故答案為：8999．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．[變式2]鄭州市冬季里某一天的氣溫為，則這一天的溫差是______．【答案】11【分析】根據(jù)題意列出算式，再利用減法法則計(jì)算可得．【詳解】解：這一天的溫差是，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的減法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的減法法則．題型三：有理數(shù)的加減法的混合運(yùn)算【例3】計(jì)算：____________．【答案】1【分析】原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡，計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值的化簡，有理數(shù)的加減運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．[變式1]計(jì)算：_________．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．[變式2]計(jì)算的結(jié)果是_____________．【答案】0【分析】直接根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加減運(yùn)算法則，掌握減一個(gè)數(shù)等于加上其相反數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．題型四：有理數(shù)加減法中的簡便運(yùn)算【例4】_____．【答案】【分析】先去括號(hào)，再根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律進(jìn)行簡算即可；【詳解】解：，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握加法交換律和加法結(jié)合律的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．[變式1]已知，則的值為_______．【答案】1011【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，S為2022內(nèi)所有偶數(shù)的和，T為2022內(nèi)所有奇數(shù)的和，可根據(jù)等于每一組相鄰的偶數(shù)與奇數(shù)的差的和求解即可．【詳解】解：∵，∴故答案為：1011．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察，探索出數(shù)字的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．[變式2]計(jì)算∶1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2019-2020=______．【答案】【分析】通過觀察算式可得從第二個(gè)數(shù)開始，每4個(gè)數(shù)的和為0，根據(jù)找到的規(guī)律求解即可．【詳解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2019-2020故答案為：-2020．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確分析式子中的運(yùn)算規(guī)律．題型五：有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用【例5】某地一天早晨的氣溫是，中午氣溫上升了，下午又下降了，晚上又下降了，則晚上的溫度為________．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算的運(yùn)算方法，用某地一天早晨的氣溫加上中午又上升的溫度，再減去下午和夜間又下降的溫度，求出晚上的溫度為多少即可．【詳解】解：．答：晚上的溫度是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確有理數(shù)加減的運(yùn)算法則．[變式1]某市冬季里的一天，早上6時(shí)氣溫是零下12 ℃，中午11時(shí)上升了5 ℃，晚上8時(shí)又上升了，則晚上8時(shí)的氣溫是_____℃．【答案】【分析】先根據(jù)題意列出運(yùn)算式子，再計(jì)算有理數(shù)的加減法即可得．【詳解】由題意得：，即晚上的氣溫是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加減法的應(yīng)用，依據(jù)題意，正確列出運(yùn)算式子是解題關(guān)鍵．[變式2]點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點(diǎn)P從數(shù)軸上點(diǎn)A處開始，先向左移動(dòng)5個(gè)單位長度，再向右移動(dòng)6個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B．點(diǎn)C與點(diǎn)B的距離為5個(gè)單位長度．那么點(diǎn)C表示的數(shù)為_________．【答案】【分析】先求出點(diǎn)B表示的數(shù)，再求點(diǎn)C表示的數(shù)即可．【詳解】解∵點(diǎn)B表示的數(shù)是：，∵點(diǎn)C與點(diǎn)B的距離為5個(gè)單位長度，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用，求出點(diǎn)B表示的數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．一、單選題1．下列算式中正確的有(   )（1）；（2）；（3）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1），故（1）錯(cuò)誤；（2），故（2）錯(cuò)誤；（3），故（3）錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的減法法則是解題的關(guān)鍵．2．有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（   ）A．  B． C． D． 【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸可得，結(jié)合絕對(duì)值的定義和有理數(shù)的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：由圖可知：，；A、，故A錯(cuò)誤；B、，故B錯(cuò)誤；C、∵，∴，故C正確；D、，故D錯(cuò)誤故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸比較有理數(shù)的大小和有理數(shù)的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是掌握在數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)；兩數(shù)相乘（除），同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)；異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．3．商店某品牌食品包裝袋上“質(zhì)量”標(biāo)注：，下列待檢查的各袋食品中質(zhì)量不合格的是（    ）A．250g B．254g C．247g D．244g【答案】D【分析】先分別計(jì)算出凈重的最大值和最小值，再確定合格范圍，即可得出答案．【詳解】解：凈重的最大值是，凈重的最小值是，∴這種食品的凈重在之間都是合格的，所以不合格的是244g，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的知識(shí)，要能讀懂題意，正確理解的實(shí)際意義，分別計(jì)算出凈重的最大值和最小值來確定合格范圍．4．如圖是我市一月份某一天的天氣預(yù)報(bào)，則該天的溫差是（    ）A．8 B．9 C．﹣9 D．11【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)減法運(yùn)算，可得（），從而得出答案．【詳解】解：（），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)減法的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握有理數(shù)減法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．在數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8前添加“＋”，“－”并依次計(jì)算，所得結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)是0，算式可以列為：．若在數(shù)1，2，3……，n前添加“＋”，“－”并依次運(yùn)算，使所得結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)是0，則數(shù)n不可能是（   ）A．2020 B．2021 C．2023 D．2024【答案】B【分析】分是4的倍數(shù)，余數(shù)為0，1，2，3四種情況求出最小的非負(fù)數(shù)即可作出判斷．【詳解】解：由題意知，，，當(dāng)是4的倍數(shù)時(shí)，結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)為0；當(dāng)除以4余1時(shí)，第一個(gè)數(shù)為1，后面的數(shù)的和為0，則結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)為1；當(dāng)除以4余2時(shí)，前兩個(gè)數(shù)為1，2，，后面的數(shù)的和為0，則結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)為1；當(dāng)除以4余3時(shí)，前兩個(gè)數(shù)為1，2，3，，后面的數(shù)的和為0，則結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)為0．、2024均能被4整除、2023除以4余數(shù)為3，2021除4余數(shù)為1，數(shù)不可能是2021，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．若，則括號(hào)內(nèi)的數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用被減數(shù)等于減數(shù)加上差列式求解即可．【詳解】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，利用被減數(shù)等于減數(shù)加上差列出算式是解題的關(guān)鍵．7．計(jì)算的值等于（    ）A． B． C．1010 D．1009【答案】A【分析】先根據(jù)算式找出規(guī)律，第1，2兩個(gè)相加為，第3，4兩個(gè)數(shù)相加為1，第5，6兩個(gè)數(shù)相加為1，依次類推，直到第2017與2018兩個(gè)數(shù)相加，最后還剩，再相加得出結(jié)果即可．【詳解】解：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，準(zhǔn)確計(jì)算．8．計(jì)算：（    ）A． B． C． D．50【答案】C【分析】根據(jù)每兩項(xiàng)的和為進(jìn)行簡便運(yùn)算即可．【詳解】解：；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減運(yùn)算．解題技巧是：通過觀察找到每兩項(xiàng)的和相同，利用每兩項(xiàng)的和×項(xiàng)數(shù)進(jìn)行簡便計(jì)算．9．小明同學(xué)將2B鉛筆筆尖從原點(diǎn)開始沿?cái)?shù)軸進(jìn)行連續(xù)滑動(dòng)，先將筆尖沿正方向滑動(dòng)1個(gè)單位長度完成第一次操作，再沿負(fù)方向滑動(dòng)2個(gè)單位長度完成第二次操作；又沿正方向滑動(dòng)3個(gè)單位長度完成第三次操作；再沿負(fù)方向滑動(dòng)4個(gè)單位長度完成第四次操作，…，以此規(guī)律繼續(xù)操作，經(jīng)過第99次操作后筆尖停留在點(diǎn)處，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（    ）．A．0 B． C． D．50【答案】D【分析】根據(jù)題意，先規(guī)定正方向?yàn)檎⒇?fù)方向?yàn)樨?fù)，再利用有理數(shù)加減運(yùn)算法則求解即可得到答案．【詳解】解：規(guī)定正方向?yàn)檎⒇?fù)方向?yàn)樨?fù)，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用正負(fù)數(shù)的意義解決實(shí)際問題，按照題意規(guī)定正負(fù)，運(yùn)用有理數(shù)加減運(yùn)算求解是解決問題的關(guān)鍵．10．某集團(tuán)公司對(duì)所屬甲、乙兩工廠上半年經(jīng)營情況記錄如下表所示（其中“+”表示盈利，“”表示虧損，單位：萬元），則甲廠上半年比乙廠上半年多盈利（　　）月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份甲廠0乙廠0 A．3萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】C【分析】分別計(jì)算甲、乙兩工廠上半年的盈利，再相減即可得出結(jié)論．【詳解】解：甲工廠：（萬元），甲工廠：（萬元），（萬元），∴甲廠上半年比乙廠上半年多盈利萬元．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義，正確利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算的法則運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是，將點(diǎn)A在數(shù)軸上平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)，則平移后點(diǎn)表示的數(shù)是______．【答案】或4【分析】根據(jù)數(shù)軸上有理數(shù)的表示及有理數(shù)的加減法可進(jìn)行求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)A在數(shù)軸上向左平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)，則平移后點(diǎn)表示的數(shù)是；當(dāng)點(diǎn)A在數(shù)軸上向右平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)，則平移后點(diǎn)表示的數(shù)是；故答案為或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上有理數(shù)的表示及有理數(shù)的加減法，熟練掌握數(shù)軸上有理數(shù)的表示及有理數(shù)的加減法是解題的關(guān)鍵．12．某城市11月5日最低氣溫為，最高氣溫，那么該城市這天的溫差是_____．【答案】10【分析】用最高溫度減去最低溫度，再根據(jù)減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的減法的應(yīng)用，熟記減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．13．計(jì)算：__________．【答案】【分析】按照數(shù)字的順序，兩個(gè)分為一組，共1011組，計(jì)算后進(jìn)一步合并即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算方法，適當(dāng)分組是解決問題的關(guān)鍵．14．計(jì)算：___________．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．15．計(jì)算：_________．【答案】1011【分析】利用有理數(shù)的結(jié)合法，發(fā)現(xiàn)兩兩組合得-1，乘以組合對(duì)數(shù)再加上2021即可．【詳解】解：＋2021＋2021＋2021，故答案為：1011．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減法中，結(jié)合法的使用，此題的關(guān)鍵是找到有理數(shù)之間的規(guī)律．三、解答題16．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，注意化簡符號(hào)和利用運(yùn)算律．17．請(qǐng)根據(jù)圖示的對(duì)話解答下列問題．(1)分別求出a和b的值(2)已知，求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先根據(jù)相反數(shù)的概念得出的值，再根據(jù)絕對(duì)值的概念和與的關(guān)系即可得出的值；（2）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求出、的值，再代入即可得出答案．【詳解】（1）與互為相反數(shù)的絕對(duì)值是故，；（2），由（1）知，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)、絕對(duì)值的非負(fù)性，熟練掌握相反數(shù)的概念和絕對(duì)值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵． 

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【暑假小初銜接】人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)（六升七）暑假預(yù)習(xí)-第04講《有理數(shù)的加法》同步講學(xué)案

【暑假小初銜接】人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)（六升七）暑假預(yù)習(xí)-第04講《有理數(shù)的加法》同步講學(xué)案
【暑假小初銜接】人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)（六升七）暑假預(yù)習(xí)-第02講《有理數(shù)和數(shù)軸》同步講學(xué)案

【暑假小初銜接】人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)（六升七）暑假預(yù)習(xí)-第02講《有理數(shù)和數(shù)軸》同步講學(xué)案
【暑假小初銜接】人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)（六升七）暑假預(yù)習(xí)-第01講《正數(shù)和負(fù)數(shù)》同步講學(xué)案

【暑假小初銜接】人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)（六升七）暑假預(yù)習(xí)-第01講《正數(shù)和負(fù)數(shù)》同步講學(xué)案
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