2024高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)Word版題庫（人教A版文）第十一章選考部分第1節(jié) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程第二課時(shí) 參數(shù)方程-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第二課時(shí)　參數(shù)方程
考試要求　1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義；2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.

1.曲線的參數(shù)方程
一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，并且對于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).
2.參數(shù)方程與普通方程的互化
通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程，如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致.
3.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程
點(diǎn)的軌跡
普通方程
參數(shù)方程
直線
y－y0＝tan α(x－x0)
(t為參數(shù))
圓
x2＋y2＝r2
(θ為參數(shù))
橢圓
＋＝1(a＞b＞0)
(φ為參數(shù))

1.將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.
2.直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離.

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù).(　　)
(2)過M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量.(　　)
(3)方程(θ為參數(shù))表示以點(diǎn)(0，1)為圓心，以2為半徑的圓.(　　)
(4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(4)當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2cos ，4sin )，即M(1，2)，∴OM的斜率k＝2.
2.(2019·北京卷)已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，則點(diǎn)(1，0)到直線l的距離是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由題意可知直線l的普通方程為4x－3y＋2＝0，則點(diǎn)(1，0)到直線l的距離d＝＝.故選D.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值是________.
答案　3
解析　直線l的普通方程為x－y－a＝0，橢圓C的普通方程為＋＝1，
所以橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，
若直線l過點(diǎn)(3，0)，則3－a＝0，所以a＝3.
4.(2019·天津卷)設(shè)直線ax－y＋2＝0和圓(θ為參數(shù))相切，則實(shí)數(shù)a＝________.
答案　
解析　圓的參數(shù)方程消去θ，得
(x－2)2＋(y－1)2＝4.
∴圓心(2，1)，半徑r＝2.
又直線ax－y＋2＝0與圓相切.
∴d＝＝2，解得a＝.
5.已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，若l與圓x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝，則直線l的斜率為________.
答案　±
解析　由(t為參數(shù))，
得y＝xtan α，
設(shè)k＝tan α，得直線的方程為y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圓心為(2，0)，半徑為1，
∴圓心到直線y＝kx的距離為
＝＝，
得k＝±.
6.(易錯(cuò)題)設(shè)P(x，y)是曲線C：(θ為參數(shù)，θ∈[0，2π))上任意一點(diǎn)，則的最大值為________.
答案　
解析　由曲線C：(θ為參數(shù))，得(x＋2)2＋y2＝1，表示圓心為(－2，0)，半徑為1的圓，表示的是圓上的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率，
設(shè)＝k，則原問題轉(zhuǎn)化為y＝kx和圓有交點(diǎn)的問題，
即圓心到直線的距離d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，
所以的最大值為.

　考點(diǎn)一　參數(shù)方程與普通方程的互化
1.下列參數(shù)方程與方程y2＝x表示同一曲線的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　對于A，消去t后所得方程為x2＝y(tǒng)，不符合y2＝x；
對于B，消去t后所得方程為y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；
對于C，消去t得方程為y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；
對于D，x＝＝＝tan2t＝y(tǒng)2，符合y2＝x.故選D.
2.把下列參數(shù)方程化為普通方程.
(1)(t為參數(shù))；
(2)(θ為參數(shù)，θ∈[0，2π)).
解　(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋t中得y＝5＋(2x－2).
即它的普通方程為x－y＋5－＝0.
(2)因?yàn)閟in2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，即y＝1－x2.
又因?yàn)閨sin θ|≤1，所以其普通方程為y＝1－x2(|x|≤1).
3.(2021·全國乙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的圓心為C(2，1)，半徑為1.
(1)寫出⊙C的一個(gè)參數(shù)方程；
(2)過點(diǎn)F(4，1)作⊙C的兩條切線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.
解　(1)由題意知⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1，
則⊙C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).
(2)由題意可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，
所以＝1，解得k＝±，
則這兩條切線方程分別為
y＝x－＋1，y＝－x＋＋1，
故這兩條切線的極坐標(biāo)方程分別為
ρsin θ＝ρcos θ－＋1，
ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
感悟提升　1.化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法.另外，消參時(shí)要注意參數(shù)的范圍.
2.普通方程化為參數(shù)方程時(shí)，先分清普通方程所表示的曲線類型，結(jié)合常見曲線的參數(shù)方程直接寫出.
考點(diǎn)二　參數(shù)方程的應(yīng)用
例1 (2022·蘭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos＝0.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知點(diǎn)P(3，)，曲線C1和C2相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，求||PA|－|PB||的值.
解　(1)將的參數(shù)t消去得曲線C1的普通方程為x2－＝1.
∵cos＝0，∴ρcos θ－ρsin θ＝0，
由可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x－y＝0.
(2)由題意得點(diǎn)P(3，)在曲線C2上，曲線C2的參數(shù)方程可表示為(t′為參數(shù))，
將上述參數(shù)方程代入x2－＝1得
11t′2＋44t′＋4×29＝0，①
Δ>0，設(shè)t′1，t′2為方程①的兩根，
則t′1＋t′2＝－4，t′1t′2＝，
∴(|PA|－|PB|)2＝(|PA|＋|PB|)2－4|PA||PB|＝(t′1＋t′2)2－4t′1t′2＝，
∴||PA|－|PB||＝.
感悟提升　1.在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.
2.過定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負(fù)之分.對于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題.
訓(xùn)練1 (2022·晉中模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t∈R，t為參數(shù)，α∈).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，θ∈.
(1)求半圓C的參數(shù)方程和直線l的普通方程；
(2)直線l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D在半圓C上，且直線CD的傾斜角是直線l的傾斜角的2倍，△ABD的面積為1＋，求α的值.
解　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
將x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入，得半圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y，
∵θ∈，
∴y＝ρsin θ＝2sin2θ∈(1，2]，x＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)，
∴半圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1(10，得cos α>.
設(shè)方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的兩根分別為ρ1，ρ2，
則
因?yàn)閨AB|＝3|OA|，
所以|OB|＝4|OA|，即ρ2＝4ρ1，⑤
由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cos α＝，滿足Δ>0，
由得ρ＝＝－，
所以|OP|＝|ρ|＝.
6.(2022·貴陽適應(yīng)性測試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(0

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多