第一課時 坐標(biāo)系
考試要求 1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程.
1.平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換
設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換φ：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x（λ＞0），,y′＝μ·y（μ＞0）))的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換.
2.極坐標(biāo)系與點的極坐標(biāo)
(1)極坐標(biāo)系：如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O(極點)，自極點O引一條射線Ox(極軸)；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.
(2)極坐標(biāo)
①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ.
②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角∠xOM叫做點M的極角，記為θ.
③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ).
3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
4.常見曲線的極坐標(biāo)方程
1.極坐標(biāo)的四要素：(1)極點；(2)極軸；(3)長度單位；(4)角度單位和它的正方向，四者缺一不可.
2.由極徑的意義知ρ≥0，當(dāng)極角θ的取值范圍是[0，2π)時，平面上的點(除去極點)與極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一對應(yīng)關(guān)系，約定極點的極坐標(biāo)是極徑ρ＝0，極角可取任意角.
3.曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化：對于簡單的可以直接代入公式ρcs θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2，但有時需要作適當(dāng)?shù)淖兓?，如將式子的兩邊同時平方，兩邊同乘以ρ等.
1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系.( )
(2)若點P的直角坐標(biāo)為(1，－eq \r(3))，則點P的一個極坐標(biāo)是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( )
(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的.( )
(4)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)一般認(rèn)為ρ≥0，當(dāng)θ∈[0，2π)時，平面上的點(除去極點)才與極坐標(biāo)建立一一對應(yīng)關(guān)系；(4)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條射線.
2.(易錯題)在極坐標(biāo)系中，已知點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，則過點P且平行于極軸的直線方程是( )
A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝eq \r(3)
C.ρcs θ＝1 D.ρcs θ＝eq \r(3)
答案 A
解析 先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為x＝ρcs θ＝
2cs eq \f(π,6)＝eq \r(3)，y＝ρsin θ＝2sin eq \f(π,6)＝1，
即(eq \r(3)，1)，過點(eq \r(3)，1)且平行于x軸的直線為y＝1，
再化為極坐標(biāo)為ρsin θ＝1.
3.若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為( )
A.ρ＝eq \f(1,cs θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,2)
B.ρ＝eq \f(1,cs θ＋sin θ)，0≤θ≤eq \f(π,4)
C.ρ＝cs θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,2)
D.ρ＝cs θ＋sin θ，0≤θ≤eq \f(π,4)
答案 A
解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcs θ(0≤ρcs θ≤1)，
∴ρ＝eq \f(1,sin θ＋cs θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2))).
4.在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標(biāo)是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2)))
C.(1，0) D.(1，π)
答案 B
解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，
即x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對應(yīng)的極坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2))).
5.(易錯題)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為________.
答案 x2＋(y－1)2＝1
解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1.
6.(2018·北京卷)在極坐標(biāo)系中，直線ρcs θ＋ρsin θ＝a(a>0)與圓ρ＝2cs θ相切，則a＝________.
答案 1＋eq \r(2)
解析 直線的方程為x＋y－a＝0，圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，
所以圓心(1，0)，半徑r＝1，
由于直線與圓相切，
故圓心到直線的距離等于半徑，即eq \f(|1－a|,\r(2))＝1，
又a>0，所以a＝1＋eq \r(2).
考點一 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換
1.曲線C：x2＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝y(tǒng)))得到曲線C′，則曲線C′的方程為________.
答案 eq \f(x′2,4)＋y′2＝1
解析 因為eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝y(tǒng)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x′,2)，,y＝y(tǒng)′，))
代入曲線C的方程得C′：eq \f(x′2,4)＋y′2＝1.
2.曲線C經(jīng)過伸縮變換eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝3y))后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，則曲線C的方程為________.
答案 4x2＋9y2＝1
解析 根據(jù)題意，曲線C經(jīng)過伸縮變換eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝3y))后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，則(2x)2＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1，所以曲線C的方程為4x2＋9y2＝1.
3.在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)，))則點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))經(jīng)過變換后所得的點A′的坐標(biāo)為________.
答案 (1，－1)
解析 設(shè)A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)))得到eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y.))
由于點A的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))，
于是x′＝3×eq \f(1,3)＝1，y′＝eq \f(1,2)×(－2)＝－1，
所以點A′的坐標(biāo)為(1，－1).
4.雙曲線C：x2－eq \f(y2,64)＝1經(jīng)過伸縮變換φ：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)))后所得曲線C′的焦點坐標(biāo)為________.
答案 (－5，0)，(5，0)
解析 設(shè)曲線C′上任意一點P′(x′，y′)，
將eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′))代入x2－eq \f(y2,64)＝1，得eq \f(x′2,9)－eq \f(4y′2,64)＝1，
化簡得eq \f(x′2,9)－eq \f(y′2,16)＝1，即為曲線C′的方程，知C′仍是雙曲線，其焦點坐標(biāo)分別為(－5，0)，(5，0).
感悟提升 1.平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0）))的作用下的變換方程的求法是將eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x′,λ)，,y＝\f(y′,μ)))代入y＝f(x)，得eq \f(y′,μ)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x′,λ)))，整理之后得到y(tǒng)′＝h(x′)，即為所求變換之后的方程.
2.解答該類問題應(yīng)明確兩點：一是明確平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解.
考點二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
例1 (1)極坐標(biāo)方程ρ2cs θ－ρ＝0轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為( )
A.x2＋y2＝0或y＝1
B.x＝1
C.x2＋y2＝0或x＝1
D.y＝1
(2)點M的直角坐標(biāo)是(－1，eq \r(3))，則點M的極坐標(biāo)為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
答案 (1)C (2)C
解析 (1)ρ2cs θ－ρ＝0?ρ＝eq \r(x2＋y2)＝0，或ρcs θ＝1，即x＝1.
(2)∵ρ＝eq \r(（－1）2＋（\r(3)）2)＝2，
tan θ＝eq \f(\r(3),－1)＝－eq \r(3).
又點M在第二象限，∴θ＝eq \f(2π,3)，
∴點M的極坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))).
感悟提升 1.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式；x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝eq \f(y,x)(x≠0).
2.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響；要善于對方程進(jìn)行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和平方法等技巧.
訓(xùn)練1 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點.
(1)求C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；
(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程.
解 (1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1得，
ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs θ＋\f(\r(3),2)sin θ))＝1.
從而C的直角坐標(biāo)方程為eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1，
即x＋eq \r(3)y＝2.
當(dāng)θ＝0時，ρ＝2，所以M(2，0).
當(dāng)θ＝eq \f(π,2)時，ρ＝eq \f(2\r(3),3)，所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).
(2)由(1)知M點的直角坐標(biāo)為(2，0)，N點的直角坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).
所以點P的直角坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
則點P的極坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，
所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R).
考點三 求曲線的極坐標(biāo)方程
例2 (2022·西安五校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，如圖，將C1分別繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)得到曲線C2，C3，C4，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)分別寫出曲線C1，C2，C3，C4的極坐標(biāo)方程；
(2)直線l：θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)交曲線C1，C3分別于A，C兩點，直線l′：θ＝eq \f(2π,3)(ρ∈R)交曲線C2，C4分別于B，D兩點，求四邊形ABCD的面積.
解 (1)將x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入C1，得C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2)))，
設(shè)C1上的點(ρ0，θ0)旋轉(zhuǎn)eq \f(π,2)得到曲線C2上的點(ρ，θ)，則ρ0＝ρ，θ0＝θ－eq \f(π,2)，
代入C1的方程得ρ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))＝2sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ－\f(π,2)≤\f(π,2)))，
所以C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)≤θ≤π))，
同理，C3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π≤θ≤\f(3π,2)))，
C4的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)≤θ≤2π)).
(2)結(jié)合圖形的對稱性可知S四邊形ABCD＝4S△AOB，
將θ＝eq \f(π,3)代入C1得|OA|＝ρA＝1，
將θ＝eq \f(2π,3)代入C2得|OB|＝ρB＝eq \r(3)，
所以S四邊形ABCD＝4S△AOB＝4×eq \f(1,2)·|OA|·|OB|·sin eq \f(π,3)＝3.
感悟提升 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟
(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點.
(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式.
(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程.
訓(xùn)練2 在極坐標(biāo)系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過點A(4，0)且與OM垂直，垂足為P.
(1)當(dāng)θ0＝eq \f(π,3)時，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；
(2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標(biāo)方程.
解 (1)因為M(ρ0，θ0)在曲線C上，
當(dāng)θ0＝eq \f(π,3)時，ρ0＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3).
由已知得|OP|＝|OA|cs eq \f(π,3)＝2.
設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點.
在Rt△OPQ中，ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝|OP|＝2.
經(jīng)檢驗，點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))在曲線ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2上，
所以，l的極坐標(biāo)方程為ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2.
(2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cs θ＝4cs θ，即ρ＝4cs θ.
因為P在線段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
所以，P點軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
考點四 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用
例3 已知曲線C：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs α，,y＝2sin α))(α為參數(shù))，設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝x，,y′＝\f(1,2)y))得到曲線C′，以直角坐標(biāo)中的原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C′的極坐標(biāo)方程；
(2)若A，B是曲線C′上的兩個動點，且OA⊥OB，求|OA|2＋|OB|2的最小值.
解 (1)曲線C：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs α，,y＝2sin α))(α為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為普通方程為x2＋y2＝4，曲線C經(jīng)過伸縮變換eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x′＝x，,y′＝\f(1,2)y))得到曲線C′：eq \f(x2,4)＋y2＝1，極坐標(biāo)方程為ρ＝eq \f(2,\r(1＋3sin2θ)).
(2)設(shè)A(ρ1，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ＋\f(π,2)))，
所以|OA|2＋|OB|2＝ρeq \\al(2,1)＋ρeq \\al(2,2)
＝eq \f(4,1＋3sin2θ)＋eq \f(4,1＋3cs2θ)
＝eq \f(8＋12（sin2θ＋cs2θ）,（1＋3sin2θ）（1＋3cs2θ）)
＝eq \f(20,（1＋3sin2θ）（1＋3cs2θ）)
＝eq \f(20,1＋3（sin2θ＋cs2θ）＋\f(9,4)sin22θ)
＝eq \f(20,4＋\f(9,4)sin22θ)≥eq \f(16,5).
當(dāng)sin 2θ＝±1時，|OA|2＋|OB|2取得最小值eq \f(16,5).
感悟提升 1.若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)求極角θ時，應(yīng)注意判斷點P所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地求出角θ.利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.
2.在極坐標(biāo)系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么兩點間的距離公式
|P1P2|＝eq \r(ρeq \\al(2,1)＋ρeq \\al(2,2)－2ρ1ρ2cs（θ1－θ2）).
兩種特殊情況：(1)當(dāng)θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z時，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；
(2)當(dāng)θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.
3.由極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.
訓(xùn)練3 (2021·昆明診斷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9＋\r(3)t，,y＝t))(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq \f(16,1＋3sin2θ).
(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知P為曲線C上的一個動點，求線段OP的中點M到直線l的最大距離.
解 (1)由ρ2＝eq \f(16,1＋3sin2θ)，
得ρ2＋3ρ2sin2θ＝16，
則曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋4y2＝16，
即eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
直線l的直角坐標(biāo)方程為x－eq \r(3)y－9＝0.
(2)可知曲線C的參數(shù)方程為eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4cs α，,y＝2sin α))(α為參數(shù))，
設(shè)P(4cs α，2sin α)，α∈[0，2π)，
則M(2cs α，sin α)到直線l：x－eq \r(3)y－9＝0的距離為
d＝eq \f(|2cs α－\r(3)sin α－9|,2)
＝eq \f(|\r(7)sin（θ－α）－9|,2)≤eq \f(9＋\r(7),2)，
所以線段OP的中點M到直線l的最大距離為eq \f(9＋\r(7),2).
1.將直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化：
(1)y2＝4x；
(2)y2＋x2－2x－1＝0；
(3)θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)；
(4)ρcs2 eq \f(θ,2)＝1；
(5)ρ2cs 2θ＝4；
(6)ρ＝eq \f(1,2－cs θ).
解 (1)將x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcs θ.化簡得ρsin2θ＝4cs θ.
(2)將x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcs θ)2－2ρcs θ－1＝0，化簡得ρ2－2ρcs θ－1＝0.
(3)當(dāng)x≠0時，由于tan θ＝eq \f(y,x)，故tan eq \f(π,3)＝eq \f(y,x)＝eq \r(3)，化簡得y＝eq \r(3)x(x≠0)；
當(dāng)x＝0時，y＝0.顯然(0，0)在y＝eq \r(3)x上，故θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)的直角坐標(biāo)方程為
y＝eq \r(3)x.
(4)因為ρcs2eq \f(θ,2)＝1，所以ρ·eq \f(1＋cs θ,2)＝1，而ρ＋ρcs θ＝2，所以eq \r(x2＋y2)＋x＝2.化簡得y2＝－4(x－1).
(5)因為ρ2cs 2θ＝4，
所以ρ2cs2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4.
(6)因為ρ＝eq \f(1,2－cs θ)，所以2ρ－ρcs θ＝1，
因此2eq \r(x2＋y2)－x＝1，化簡得3x2＋4y2－2x－1＝0.
2.在極坐標(biāo)系中，已知兩點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,2)))，直線l的方程為ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3.
(1)求A，B兩點間的距離；
(2)求點B到直線l的距離.
解 (1)設(shè)極點為O.在△OAB中，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,2)))，
由余弦定理，得
|AB|＝eq \r(32＋（\r(2)）2－2×3×\r(2)×cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,4))))
＝eq \r(5).
(2)因為直線l的方程為ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3，
所以直線l過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(2)，\f(π,2)))，傾斜角為eq \f(3π,4).
又Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,2)))，
所以點B到直線l的距離為(3eq \r(2)－eq \r(2))×sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－\f(π,2)))＝2.
3.以直角坐標(biāo)系中的原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，已知曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq \f(2,1－sin θ).
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
(2)過極點O作直線l交曲線于點P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直線l的極坐標(biāo)方程.
解 (1)因為ρ＝eq \r(x2＋y2)，ρsin θ＝y(tǒng)，
所以ρ＝eq \f(2,1－sin θ)化為ρ－ρsin θ＝2，
所以曲線的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y＋4.
(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝θ0(ρ∈R)，
根據(jù)題意eq \f(2,1－sin θ0)＝3·eq \f(2,1－sin（θ0＋π）)，
解得θ0＝eq \f(π,6)或θ0＝eq \f(5π,6)，
所以直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)或θ＝eq \f(5π,6)(ρ∈R).
4.(2022·南寧調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：(x－1)2＋y2＝1，圓C2：(x＋2)2＋y2＝4.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓C1，C2的極坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)A，B分別為C1，C2上的點，若△OAB為等邊三角形，求|AB|.
解 (1)因為圓C1：(x－1)2＋y2＝1，
圓C2：(x＋2)2＋y2＝4，
所以C1：x2＋y2＝2x，C2：x2＋y2＝－4x，
因為x2＋y2＝ρ2，x＝ρcs θ，
所以C1：ρ＝2cs θ，C2：ρ＝－4cs θ.
(2)因為C1，C2都關(guān)于x軸對稱，△OAB為等邊三角形，
所以不妨設(shè)A(ρA，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρB，θ＋\f(π,3)))，0＜θ＜eq \f(π,2).
依題意可得，ρA＝2cs θ，ρB＝－4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3))).
從而2cs θ＝－4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))，
整理得，2cs θ＝eq \r(3)sin θ，所以tan θ＝eq \f(2\r(3),3)，
又因為0＜θ＜eq \f(π,2)，所以cs θ＝eq \f(\r(21),7)，
|AB|＝|OA|＝ρA＝eq \f(2\r(21),7).
5.(2021·成都診斷)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的方程為(x－1)2＋y2＝1，直線l的方程為x＋eq \r(3)y－6＝0.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程；
(2)若點P(x，y)在直線l上且y>0，射線OP與曲線C相交于異于點O的點Q，求eq \f(|OP|,|OQ|)的最小值.
解 (1)由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式x＝ρcs θ，y＝ρsin θ得
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cs θ.
由題意得直線l的極坐標(biāo)方程為
ρcs θ＋eq \r(3)ρsin θ－6＝0，即ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝3.
(2)設(shè)點P的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)，點Q的極坐標(biāo)為(ρ2，θ)，其中0

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