?專題08 平面解析幾何（解答題）
1．【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，│AB│=4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切．
（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；
（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，│MA│?│MP│為定值？并說明理由．
【答案】（1）的半徑或；（2）存在，理由見解析.
【解析】（1）因?yàn)檫^點(diǎn)，所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以M在直線上，故可設(shè).
因?yàn)榕c直線x+2=0相切，所以的半徑為.
由已知得，又，故可得，解得或.
故的半徑或.
（2）存在定點(diǎn)，使得為定值.
理由如下：
設(shè)，由已知得的半徑為.
由于，故可得，化簡得M的軌跡方程為.
因?yàn)榍€是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以.
因?yàn)椋源嬖跐M足條件的定點(diǎn)P.
【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點(diǎn)定值類問題.解決定點(diǎn)定值問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)所滿足的軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義得到定值，驗(yàn)證定值符合所有情況，使得問題得解.
2．【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若為等邊三角形，求C的離心率；
（2）如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．
【答案】（1）；（2），a的取值范圍為.
【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知在中，，，，于是，故的離心率是.
（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在．當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，①
，②
，③
由②③及得，又由①知，故．
由②③得，所以，從而故.
當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P．
所以，的取值范圍為．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質(zhì)即可求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔試題.
3．【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（1）證明：直線AB過定點(diǎn)；
（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程．
【答案】（1）見解析；（2）或.
【解析】（1）設(shè)，則．
由于，所以切線DA的斜率為，故．
整理得
設(shè)，同理可得．
故直線AB的方程為．
所以直線AB過定點(diǎn)．
（2）由（1）得直線AB的方程為．
由，可得．
于是.
設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則．
由于，而，與向量平行，所以．解得t=0或．
當(dāng)=0時(shí)，=2，所求圓的方程為；
當(dāng)時(shí)，，所求圓的方程為．
【名師點(diǎn)睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點(diǎn)問題和第二問是求圓的方程，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計(jì)算量不小.
4．【2019年高考北京卷文數(shù)】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）見解析.
【解析】（1）由題意得，b2=1，c=1．
所以a2=b2+c2=2．
所以橢圓C的方程為．
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則直線AP的方程為．
令y=0，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
又，從而．
同理，．
由得．
則，．
所以


．
又，
所以．
解得t=0，所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)（0，0）．
【名師點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
5．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知（O為原點(diǎn)）.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，圓C同時(shí)與x軸和直線l相切，圓心C在直線x=4上，且，求橢圓的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知有，又由，消去得，解得.
所以，橢圓的離心率為.
（2）由（1）知，，故橢圓方程為.
由題意，，則直線的方程為，
點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足消去并化簡，得到，解得.
代入到的方程，解得.
因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，所以.
由圓心在直線上，可設(shè).
因?yàn)?，且由?）知，故，解得.
因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑長為2，
又由圓與相切，得，可得.
所以，橢圓的方程為.
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.
6．【2019年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1．
已知DF1=．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.
因?yàn)镕1(?1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因?yàn)镈F1=，AF2⊥x軸，
所以DF2=，
因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.
由b2=a2?c2，得b2=3.
因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解法一：
由（1）知，橢圓C：，a=2，
因?yàn)锳F2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.
將x=1代入圓F2的方程(x?1) 2+y2=16，解得y=±4.
因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1，4).
又F1(?1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.
由，得，
解得或.
將代入，得 ，
因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.
由，得，解得或.
又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.
將代入，得.
因此.

解法二：
由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.
因?yàn)锽F2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
從而∠BF1E=∠B.
因?yàn)镕2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.
因?yàn)锳F2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.
因?yàn)镕1(?1，0)，由，得.
又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以.
因此.

【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問題能力和運(yùn)算求解能力.
7．【2019年高考浙江卷】如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記的面積分別為．
（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；
（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．

【答案】（1）p=2，準(zhǔn)線方程為x=?1；（2）最小值為，此時(shí)G（2，0）．
【解析】（1）由題意得，即p=2.
所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1.
（2）設(shè)，重心.令，則.
由于直線AB過F，故直線AB方程為，代入，得
，
故，即，所以.
又由于及重心G在x軸上，故，得.
所以，直線AC方程為，得.
由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故.從而
.
令，則m>0，
.
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)G（2，0）．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.
8．【2018年高考全國Ⅰ文數(shù)】設(shè)拋物線，點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；
（2）證明：．
【答案】（1）y=或；（2）見解析.
【解析】（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2，可得M的坐標(biāo)為（2，2）或（2，–2）．
所以直線BM的方程為y=或．
（2）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN．
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），則x1>0，x2>0．
由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
直線BM，BN的斜率之和為
．①
將，及y1+y2，y1y2的表達(dá)式代入①式分子，可得
．
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM=∠ABN．
綜上，∠ABM=∠ABN．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算.在設(shè)直線的方程時(shí)，一定要注意所設(shè)方程的適用范圍，如用點(diǎn)斜式時(shí)，要考慮到直線的斜率不存在的情況，以免解答不嚴(yán)密或漏解.
（1）求出直線l與拋物線的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式寫出直線BM的方程;
（2）由（1）知，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，結(jié)論顯然成立，當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)出斜率k，聯(lián)立直線l與C的方程，求出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再表示出BM與BN的斜率，得其和為0，從而說明BM與BN兩條直線的斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而可知兩角相等.
9．【2018年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．
（1）求的方程；
（2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
【答案】（1）y=x–1；（2）或．
【解析】（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程為y=x–1．
（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為
，即．
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），則
解得或
因此所求圓的方程為
或．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與直線和圓的綜合，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.
（1）利用點(diǎn)斜式寫出直線l的方程，代入拋物線方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及拋物線的定義加以求解;
（2）由題意寫出線段AB的垂直平分線所在直線的方程，設(shè)出圓心的坐標(biāo)，由題意列出方程組，解得圓心的坐標(biāo)，即可求解.
10．【2018年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．線段的中點(diǎn)為．
（1）證明：；
（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】（1）設(shè)，，則，．
兩式相減，并由得．
由題設(shè)知，，于是．
由題設(shè)得，故．
（2）由題意得F（1，0）．設(shè)，則
．
由（1）及題設(shè)得，．
又點(diǎn)P在C上，所以，從而，．
于是
．
同理．
所以．
故．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及簡單幾何性質(zhì)、直線的斜率公式、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量的模等，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.圓維曲線中與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題常用點(diǎn)差法，建立弦所在直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，也可以通過聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，消元，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.
11．【2018年高考北京卷文數(shù)】已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B.
（1）求橢圓M的方程；
（2）若，求的最大值；
（3）設(shè)，直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn)共線，求k.
【答案】（1）；（2）；（3）1.
【解析】（1）由題意得，所以，
又，所以，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，
由消去可得，
則，即，
設(shè)，，則，，
則，
易得當(dāng)時(shí)，，故的最大值為．
（3）設(shè)，，，，
則 ①， ②，
又，所以可設(shè)，直線的方程為，
由消去可得，
則，即，
又，代入①式可得，所以，
所以，
同理可得．
故，，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡可得，即．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.解決橢圓的方程問題，常用基本量法，同時(shí)注意橢圓的幾何量的關(guān)系；弦長的計(jì)算，通常要將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.
12．【2018年高考天津卷文數(shù)】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求k的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．滿分14分．
（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，
又由，可得．
由，從而．
所以，橢圓的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
由的面積是面積的2倍，可得，
從而，即．
易知直線的方程為，
由方程組消去y，可得．
由方程組消去，可得．
由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意．
所以，的值為．
【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及軌跡方程問題、定值問題、最值問題、參數(shù)的取值或取值范圍問題等，其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線，解決此類問題要重視化歸與轉(zhuǎn)化思想及設(shè)而不求法的應(yīng)用.
13．【2018年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為．
（1）求橢圓C及圓O的方程；
（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．
①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線l的方程．

【答案】（1）橢圓C的方程為，圓O的方程為；（2）①；②．
【解析】（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，
可設(shè)橢圓C的方程為．
又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得
因此橢圓C的方程為．
因?yàn)閳AO的直徑為，所以其方程為．
（2）①設(shè)直線l與圓O相切于，則，
所以直線l的方程為，即．
由消去y，得．（*）
因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以．
因?yàn)?，所以?br /> 因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

②因?yàn)槿切蜲AB的面積為，所以，從而．
設(shè)，由（*）得，
所以．
因?yàn)?，所以，即?br /> 解得舍去），則，
因此P的坐標(biāo)為．
綜上，直線l的方程為．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查分析問題能力和運(yùn)算求解能力.
（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)求圓的方程和橢圓的方程.
（2）①利用直線與圓、橢圓的位置關(guān)系建立方程求解；
②結(jié)合①，利用弦長公式、三角形的面積公式求解.
14．【2018年高考浙江卷】如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上．

（1）設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；
（2）若P是半橢圓x2+=1(xb>0)的離心率為，橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）動(dòng)直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)，⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點(diǎn)，DE，DF與⊙N分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EDF的最小值.

【答案】（1）；（2）的最小值為.
【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，
又當(dāng)時(shí)，，得，
所以，
因此橢圓方程為.
（2）設(shè)，
聯(lián)立方程，
得，
由得.（*）
且，
因此，
所以，
又，
所以
整理得 ，
因?yàn)椋?br /> 所以.
令，
故，
所以 .
令，所以.
當(dāng)時(shí)，,
從而在上單調(diào)遞增，
因此，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，
所以，
由（*）得 且.
故，
設(shè)，
則 ，
所以的最小值為，
從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率是.
綜上所述：當(dāng)，時(shí)，取到最小值.
【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線中的兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；
②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題．
常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；
②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解．
解答本題時(shí)，（1）由得，由橢圓C截直線y=1所得線段的長度為，得，求得橢圓的方程為；（2）由，解得
，確定，，結(jié)合的單調(diào)性求的最小值.
21．【2017年高考浙江卷】如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn)．過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q．

（1）求直線AP斜率的取值范圍；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.滿分15分.
（1）設(shè)直線AP的斜率為k，
，
因?yàn)?，所以直線AP斜率的取值范圍是．
（2）聯(lián)立直線AP與BQ的方程

解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是
．
因?yàn)?br /> |PA|==，
|PQ|= ，
所以．
令，
因?yàn)?br /> ，
所以 f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
因此當(dāng)k=時(shí)，取得最大值．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.
（1）由斜率公式可得AP的斜率為，再由，得直線AP的斜率的取值范圍；
（2）聯(lián)立直線AP與BQ的方程，得Q的橫坐標(biāo)，進(jìn)而通過表達(dá)與的長度，利用函數(shù)的單調(diào)性求解的最大值．
22．【2017年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線，的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c．
因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，，
解得，于是，
因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（2）由（1）知，，．
設(shè)，因?yàn)闉榈谝幌笙薜狞c(diǎn)，故．
當(dāng)時(shí)，與相交于，與題設(shè)不符．
當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為．
因?yàn)?，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，
從而直線的方程：， ①
直線的方程：． ②
由①②，解得，所以．
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對(duì)稱性，得，即或．
又在橢圓E上，故．
由，解得；
，無解．
因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【名師點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用根與系數(shù)關(guān)系或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)在曲線上（點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程）等．
（1）由條件可得，，解方程組可得，則；
（2）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線及的方程，解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程化簡得或，與聯(lián)立，求解可得點(diǎn)的坐標(biāo)．


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