?第二課時　不等式的證明
考試要求　通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.


1.基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立.
定理2：如果a，b＞0，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，即兩個正數(shù)的算數(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均.
定理3：如果a，b，c∈(0，＋∞)，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立.
2.不等式的證明
(1)比較法
①作差法(a，b∈R)：a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.
②作商法(a＞0，b＞0)：＞1?a＞b；＜1?a＜b；＝1?a＝b.
(2)綜合法與分析法
①綜合法：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理論證而得出命題成立.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?
②分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等).這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法.

1.作差比較法的實質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)(或式子)與0的大小關(guān)系.
2.用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等.
3.幾個重要不等式
(1)＋≥2(a，b同號)；(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論.(　　)
(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達到待證的結(jié)論.(　　)
(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實.(　　)
(4)使用反證法時，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)作商比較法是商與1的大小比較.
(3)分析法是從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件.
(4)應(yīng)用反證法時，“反設(shè)”可以作為推理的條件應(yīng)用.
2.(易錯題)已知a，b∈R＋，a＋b＝2，則＋的最小值為(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
答案　B
解析　因為a，b∈R＋，且a＋b＝2，
所以＋＝·(a＋b)
＝≥＝2，
即＋的最小值為2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，“＝”成立).
3.(易錯題)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，則x與y的大小關(guān)系是(　　)
A.x＞y B.x＜y
C.x≥y D.x≤y
答案　A
解析　x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，
所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.
4.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反證法求證a>0，b>0，c>0時的假設(shè)為(　　)
A.ac B.a>c>b
C.b>c>a D.c>a>b
答案　A
解析　“分子”有理化得a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.
6.下列四個不等式：①logx10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|1)，①正確；
ab≤0時，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正確；
因為ab≠0，與同號，
所以＝＋≥2，③正確；
由|x－1|＋|x－2|的幾何意義知，
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正確，
綜上①③④正確.

考點一　比較法、放縮法證明不等式
例1 設(shè)不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集為M，a，b∈M.
(1)證明＜；
(2)證明|1－4ab|>2|a－b|.
證明　(1)設(shè)f(x)＝|x－1|－|x＋2|
＝
由－2＜－2x－1＜0，解得－＜x＜.
因此集合M＝，
則|a|＜，|b|＜.
所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝.
(2)由(1)得a2＜，b2＜.
因為|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝16a2b2－4a2－4b2＋1＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，
所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，
故|1－4ab|＞2|a－b|.
感悟提升　1.比較法證明不等式的方法與步驟
(1)作差比較法：作差、變形、判號、下結(jié)論.
(2)作商比較法：作商、變形、 判斷、下結(jié)論.
2.利用放縮法證明不等式時要目標(biāo)明確，通過添、拆項后，適當(dāng)放縮.
訓(xùn)練1 (1)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M，N的大小關(guān)系為________.
答案　M≥N
解析　M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b)
＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)
＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).
因為a≥b＞0，
所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，
從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.
(2)求證：＋＋＋…＋0，a＋≥2顯然成立(當(dāng)a＝＝1時等號成立)，
所以要證的不等式成立.
柯西不等式
柯西不等式是法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家柯西(Cauchy，1789～1857)發(fā)現(xiàn)的，故命名為柯西不等式.柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個非常重要的不等式，除了用柯西不等式來證明一些不等式成立外，柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中，借助柯西不等式的技巧可以達到事半功倍的效果.
1.(柯西不等式的代數(shù)形式)設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立.
推廣一般情形：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個實數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時，等號成立).
2.(柯西不等式的向量形式)設(shè)α，β為平面上的兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，其中當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時等號成立.
3.(柯西不等式的三角不等式)設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3為任意實數(shù)，則：
＋
≥.
例 (1)已知2x2＋y2＝1，則2x＋y的最大值為________.
答案　
解析　2x＋y＝×x＋1×y
≤×
＝×＝.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時取等號.
所以2x＋y的最大值為.
(2)已知a1，a2，b1，b2為正實數(shù)，求證：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2.
證明　(a1b1＋a2b2)·
＝[()2＋()2]
≥
＝(a1＋a2)2.
當(dāng)且僅當(dāng)b1＝b2時，等號成立.


1.設(shè)a>0，|x－1|40成立，
因為42>40顯然成立，
所以原不等式成立.
3.(2022·成都診斷)已知函數(shù)f(x)＝|x－3|＋|x－2|.
(1)求不等式f(x)0，b>0，c>0，a＋b＋c＝mabc，證明：ab＋bc＋ac≥9.
(1)解　當(dāng)x≥3時，f(x)＝x－3＋x－2＝2x－5，
由f(x)

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