
·最新考綱·通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法.
·考向預(yù)測(cè)·考情分析:綜合法、分析法、比較法證明不等式是高考考查的熱點(diǎn),題型仍將以解答題為主.學(xué)科素養(yǎng):通過(guò)不等式的證明考查邏輯推理的核心素養(yǎng).
一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1.比較法比較法是證明不等式最基本的方法,可分為作差比較法和作商比較法兩種.
2.綜合法和分析法(1)綜合法一般地,從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過(guò)一系列的推理,論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ?2)分析法證明命題時(shí),從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法,這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
反思感悟 用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”,它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過(guò)程,表述簡(jiǎn)單、 條理清楚,所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí),往往用分析法找思路,用綜合法寫步驟,由此可見(jiàn),分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化,互相滲透,互為前提,充分利用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路,開(kāi)闊視野.
?反思感悟 利用反證法證明問(wèn)題的一般步驟(1)否定原結(jié)論;(2)從假設(shè)出發(fā),導(dǎo)出矛盾;(3)證明原命題正確.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求證:a,b,c>0.
證明:(1)設(shè)a<0,因?yàn)閍bc>0,所以bc<0.又由a+b+c>0,則b+c>-a>0,所以ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,與題設(shè)矛盾.(2)若a=0,則與abc>0矛盾,所以必有a>0.同理可證:b>0,c>0.綜上可證a,b,c>0.
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