備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第八章 §8.1 空間幾何體及其表面積與體積

這是一份備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第八章 §8.1 空間幾何體及其表面積與體積，共17頁。試卷主要包含了1　空間幾何體及其表面積與體積，旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，三視圖與直觀圖，柱、錐、臺、球的表面積和體積等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考試要求 1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式．
知識梳理
1．多面體的結(jié)構(gòu)特征
2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
3.三視圖與直觀圖
4.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
5.柱、錐、臺、球的表面積和體積
常用結(jié)論
1．在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實、不見為虛”．在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的虛線．
2．直觀圖與原平面圖形面積之間的關系S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)菱形的直觀圖仍是菱形．( × )
(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．( × )
(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．( × )
(4)錐體的體積等于底面積與高之積．( × )
教材改編題
1.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是( )
A．四棱臺
B．四棱錐
C．四棱柱
D．三棱柱
答案 C
解析 由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，盛水部分的幾何體是四棱柱．
2．下列說法正確的是( )
A．相等的角在直觀圖中仍然相等
B．相等的線段在直觀圖中仍然相等
C．正方形的直觀圖是正方形
D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行
答案 D
解析 由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能改變，而線段的平行關系不變，正方形的直觀圖是平行四邊形．
3．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
答案 B
解析 設圓錐底面圓的半徑為r cm，母線長為l cm，
依題意得2πr＝πl(wèi)，∴l(xiāng)＝2r，
S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．
題型一 空間幾何體
命題點1 三視圖
例1 (2022·全國甲卷)如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為( )
A．8 B．12 C．16 D．20
答案 B
解析 三視圖對應的幾何體是放倒的直四棱柱，如圖，
直四棱柱的高為2，底面是上底為2，下底為4，高為2的梯形，所以體積V＝Sh＝eq \f(1,2)×(2＋4)×2×2＝12.
命題點2 直觀圖
例2 已知水平放置的四邊形OABC按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為( )
A.eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2) C．4eq \r(2) D．5eq \r(2)
答案 B
解析 方法一 由已知求得O′C′＝eq \r(2)，把直觀圖還原為原圖形如圖，
可得原圖形為直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝2eq \r(2)，
得原四邊形OABC的面積為eq \f(1,2)×(1＋2)×2eq \r(2)＝3eq \r(2).
方法二 由題意知A′B′＝1，
∴S直觀圖＝eq \f(1,2)×(1＋2)×1＝eq \f(3,2)，
∴S原圖形＝2eq \r(2)S直觀圖＝3eq \r(2).
命題點3 展開圖
例3 如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為1 cm，高為5 cm，一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為( )
A．12 cm B．13 cm
C.eq \r(61) cm D．15 cm
答案 C
解析 如圖，把側(cè)面展開2周可得對角線最短，則AA1＝eq \r(62＋52)＝eq \r(61)(cm)．
思維升華 (1)由幾何體求三視圖，要注意觀察方向，掌握“長對正、高平齊、寬相等”的基本要求，由三視圖推測幾何體，可以先利用俯視圖推測底面，然后結(jié)合正視圖、側(cè)視圖推測幾何體的可能形式．
(2)①在斜二測畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．②S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形．
跟蹤訓練1 (1)(2021·全國甲卷)在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A－EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側(cè)視圖是( )
答案 D
解析 根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖，
結(jié)合選項可知該幾何體的側(cè)視圖為D.
(2)如圖，一個水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長為( )
A．4eq \r(2)＋4 B．4eq \r(6)＋4
C．8eq \r(2) D．8
答案 B
解析 根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，
其中OA＝2eq \r(2)，OD＝4，AB＝CD＝2，則AD＝eq \r(8＋16)＝2eq \r(6)，
故原平面圖形的周長為2＋2＋2eq \r(6)＋2eq \r(6)＝4eq \r(6)＋4.
(3)(2023·岳陽模擬)已知圓錐的側(cè)面積是底面積的eq \f(5,4)倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小為( )
A.eq \f(4π,5) B.eq \f(6π,5) C.eq \f(8π,5) D.eq \f(9π,5)
答案 C
解析 設圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，則圓錐的側(cè)面積為πrl，由題意得eq \f(πrl,πr2)＝eq \f(5,4)，解得l＝eq \f(5r,4)，∵圓錐底面圓的周長即為側(cè)面展開圖扇形的弧長為2πr，∴該扇形的圓心角為α＝eq \f(2πr,l)＝eq \f(2πr,\f(5r,4))＝eq \f(8π,5).
題型二 表面積與體積
命題點1 表面積
例4 (1)(2022·深圳模擬)以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于( )
A．8π B．4π C．8 D．4
答案 A
解析 以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑r＝2，高h＝2，
∴所得圓柱的側(cè)面積S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.
(2)(2023·麗江模擬)已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，有兩個側(cè)面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為eq \r(5)，則這個三棱錐的表面積為( )
A．4＋3eq \r(3)＋eq \r(15) B．4＋eq \r(3)＋2eq \r(15)
C．4＋eq \r(3)＋eq \r(15) D．4＋2eq \r(3)＋eq \r(15)
答案 C
解析 結(jié)合題目邊長關系，三棱錐如圖所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝eq \r(5)，
由題意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，則BC＝CD＝2eq \r(2)，
BE＝eq \r(BC2－CE2)＝eq \r(3)，BD＝2eq \r(3)，AE＝eq \r(AB2－BE2)＝1，則該三棱錐的表面積為S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1＋eq \f(1,2)×2eq \r(3)×eq \r(5)＝4＋eq \r(3)＋eq \r(15).
命題點2 體積
例5 (1)(2021·新高考全國Ⅱ)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4，側(cè)棱長為2，則其體積為( )
A．20＋12eq \r(3) B．28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
答案 D
解析 作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，
因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2,4，側(cè)棱長為2，
所以該棱臺的高h＝eq \r(22－?2\r(2)－\r(2)?2)＝eq \r(2)，
下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，
所以該棱臺的體積V＝eq \f(1,3)h(S1＋S2＋eq \r(S1S2))
＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(16＋4＋eq \r(64))＝eq \f(28\r(2),3).
(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(8,3) C．4 D．6
答案 B
解析 如圖，三棱錐A－B1CD1是由正方體ABCD－A1B1C1D1截去四個小三棱錐A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，
又＝23＝8，
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×23＝eq \f(4,3)，
所以＝8－4×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
思維升華 求空間幾何體的體積的常用方法
跟蹤訓練2 (1)(2021·北京)定義：24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度．其中小雨(