高考數(shù)學(xué)二輪專題學(xué)與練 12 空間的平行與垂直（高考押題）（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?高考押題專練
1．已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的(　　)
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】若E，F(xiàn)，G，H四點不共面，則直線EF和GH肯定不相交，但直線EF和GH不相交，E，F(xiàn)，G，H四點可以共面，例如EF∥GH.故選B.
【答案】B
2．設(shè)m，n是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，有以下四個命題：
①若α∥β，α∥γ，則β∥γ
②若α⊥β，m∥α，則m⊥β
③若m⊥α，m∥β，則α⊥β
④若m∥n，n?α，則m∥α
其中正確命題的序號是(　　)
A．①③　　B．①④
C．②③ D．②④
【解析】對于①，因為平行于同一個平面的兩個平面相互平行，所以①正確；對于②，當(dāng)直線m位于平面β內(nèi)，且平行于平面α，β的交線時，滿足條件，但顯然此時m與平面β不垂直，因此②不正確；對于③，在平面β內(nèi)取直線n平行于m，則由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又n?β，因此有α⊥β，③正確；對于④，直線m可能位于平面α內(nèi)，顯然此時m與平面α不平行，因此④不正確．綜上所述，正確命題的序號是①③，選A.
【答案】A
3．如圖，在三棱錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是(　　)

A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
【解析】A中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因為平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B.
【答案】B
4．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：
①若m∥n，m⊥β，則n⊥β；
②若m∥α，m∥β，則α∥β；
③若m∥n，m∥β，則n∥β；
④若m⊥α，m⊥β，則α⊥β.
其中真命題的個數(shù)為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】對于①，由直線與平面垂直的判定定理易知其正確；對于②，平面α與β可能平行或相交，故②錯誤；對于③，直線n可能平行于平面β，也可能在平面β內(nèi)，故③錯誤；對于④，由兩平面平行的判定定理易得平面α與β平行，故④錯誤．綜上所述，正確命題的個數(shù)為1，故選A.
【答案】A
6.如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的是(　　)

A．①② B．①②③
C．① D．②③
【解析】對于①，∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，
又∵PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴BC⊥PC.
對于②，∵點M為線段PB的中點，
∴OM∥PA，
∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，
∴OM∥平面PAC.
對于③，由①知BC⊥平面PAC，
∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故①②③都正確．
【答案】B
7．已知平面α及直線a，b，則下列說法正確的是(　　)
A．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行
B．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線不可能垂直
C．若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面α平行
D．若直線a，b垂直，則這兩條直線與平面α不可能都垂直
【解析】對于A，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行、相交、異面，故A錯；對于B，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線可能垂直，如圖，直角三角形ACB的直角頂點C在平面α內(nèi)，邊AC、BC可以與平面α都成30°角，故B錯；

C顯然錯誤；
對于D，假設(shè)直線a，b與平面α都垂直，則
直線a，b平行，與已知矛盾，則假設(shè)不成立，
故D正確，故選D.
【答案】D
8．三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，則BM與AN所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.

【解析】取BC的中點O，連接NO，AO，MN，因為B1C1綊BC，OB＝BC，所以O(shè)B∥B1C1，OB＝B1C1，因為M，N分別為A1B1，A1C1的中點，所以MN∥B1C1，MN＝B1C1，所以MN綊OB，所以四邊形MNOB是平行四邊形，所以NO∥MB，所以∠ANO或其補角即為BM與AN所成角，不妨設(shè)AB＝2，則有AO＝，ON＝BM＝，AN＝，在△ANO中，由余弦定理可得cos∠ANO＝＝＝.故選C.
【答案】C
9．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點P在棱AC上運動，設(shè)CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則f(x)的圖象大致是(　　)

【解析】

如圖，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD.
設(shè)AB＝BD＝CD＝1，
則AC＝，＝，即PQ＝，
又＝＝，
所以QR＝，
所以PR＝
＝，
所以f(x)＝，其圖象是關(guān)于直線x＝對稱的曲線，排除B、C、D，故選A.
【答案】A
10．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD.則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，則CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故選D.
【答案】D
11．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是(　　)
A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n
B．若m⊥α，n⊥m，則n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n
D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β
【解析】對于A，m∥α，α∩β＝n，則m∥n或m、n異面，故A錯誤；對于B，若m⊥α，n⊥m，則n∥α或n?α，故B錯誤；對于C，若n⊥β，α⊥β，則n∥α或n?α，又m⊥α，所以m⊥n，故C正確；對于D，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m可能與β相交，也可能與β平行，也可能在β內(nèi)，故D錯誤．
【答案】C
12.如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
【解析】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
【答案】C
13．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若m?α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.
其中真命題的個數(shù)是(　　)
A．0 B．1
C．3 D．3
【解析】①m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤．
【答案】B
14.如圖，在空間四邊形ABCD中，點M∈AB，點N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________．

【解析】由＝，得MN∥BD.
而BD?平面BDC，MN?平面BDC，
所以MN∥平面BDC.
【答案】平行
15．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E 為線段B1D1上的一個動點，則下列結(jié)論中正確的是________．(填序號)
①AC⊥BE；
②B1E∥平面ABCD；
③三棱錐E-ABC的體積為定值；
④直線B1E⊥直線BC1.
【解析】因AC⊥平面BDD1B1，故①正確；因為B1D1∥平面ABCD，故②正確；記正方體的體積為V，則VE-ABC＝V，為定值，故③正確；B1E與BC1不垂直，故④錯誤．
【答案】①②③
16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列命題正確的命題序號是________．

①平面ABD⊥平面ABC?、谄矫鍭DC⊥平面BDC
③平面ABC⊥平面BDC　④平面ADC⊥平面ABC
【解析】因為在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，
所以CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，則CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，
所以AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ADC.
【答案】④
17．如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________．

【解析】由＝，得MN∥BD.
而BD?平面BDC，MN?平面BDC，
所以MN∥平面BDC.
【答案】平行
18．設(shè)α，β，γ是三個平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：
①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(把所有正確的序號填上)．
【解析】由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)b∥β，a?γ時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確．故應(yīng)填入的條件為①或③.
【答案】①或③
19．已知P為△ABC所在平面外一點，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正確命題的個數(shù)是________．

【解析】如圖所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，
∴PA⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，
∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.
【答案】3
20．在矩形ABCD中，ABBC，這與已知矛盾，所以③不正確．

【答案】②
21．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝2，∠ACD＝60°，E為CD的中點．

(1)求證：BC∥平面PAE；
(2)求點A到平面PCD的距離．
【解析】(1)證明：∵AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴AC＝2，∠BCA＝60°.
在△ACD中，∵AD＝2，AC＝2，∠ACD＝60°，
∴AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，
∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
又E為CD中點，
∴AE＝CD＝CE，
∵∠ACD＝60°，
∴△ACE為等邊三角形，
∴∠CAE＝60°＝∠BCA，
∴BC∥AE，
又AE?平面PAE，BC?平面PAE，
∴BC∥平面PAE.
(2)設(shè)點A到平面PCD的距離為d，根據(jù)題意可得，
PC＝2，PD＝CD＝4，∴S△PCD＝2，
∵VP－ACD＝VA－PCD，
∴·S△ACD·PA＝·S△PCD·d，
∴××2×2×2＝×2d，
∴d＝，
∴點A到平面PCD的距離為.
22．如圖所示的幾何體QPABCD為一簡單組合體，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.

(1)求證：平面PAB⊥平面QBC；
(2)求該組合體QPABCD的體積．
【解析】(1)證明：因為QD⊥平面ABCD，PA∥QD，所以PA⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，因為AB⊥BC，且AB∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAB，又BC?平面QBC，所以平面PAB⊥平面QBC.
(2)平面QDB將幾何體分成四棱錐B－PADQ和三棱錐Q－BDC兩部分，
過B作BO⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，
所以PA⊥BO，又AD⊥OB，PA∩AD＝A，
所以BO⊥平面PADQ，即BO為四棱錐B－APQD的高，
因為BO＝，S四邊形PADQ＝3，
所以VB－PADQ＝·BO·S四邊形PADQ＝，
因為QD⊥平面ABCD，且QD＝2，
又△BCD為頂角等于120°的等腰三角形，BD＝2，S△BDC＝，
所以VQ－BDC＝·S△BDC·QD＝，
所以組合體QPABCD的體積為＋＝.
23．已知等腰梯形ABCD(如圖1所示)，其中AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB和CD的中點，且AB＝EF＝2，CD＝6，M為BC中點．現(xiàn)將梯形ABCD沿著EF所在直線折起，使平面EFCB⊥平面EFDA(如圖2所示)，N是線段CD上一動點，且CN＝ND.

(1)求證：MN∥平面EFDA；
(2)求三棱錐A－MNF的體積．
【解析】(1)證明：過點M作MP⊥EF于點P，過點N作NQ⊥FD于點Q，連接PQ.由題知，平面EFCB⊥平面EFDA，
又MP⊥EF，平面EFCB∩平面EFDA＝EF，
∴MP⊥平面EFDA.
又EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF＝F，
∴EF⊥平面CFD.
又NQ?平面CFD，∴NQ⊥EF.
又NQ⊥FD，EF∩FD＝F，
∴NQ⊥平面EFDA，
∴MP∥NQ.
又CN＝ND，∴NQ＝CF＝×3＝2，
且MP＝(BE＋CF)＝×(1＋3)＝2，
∴MP綊NQ，∴四邊形MNQP為平行四邊形．
∴MN∥PQ.
又∵M(jìn)N?平面EFDA，PQ?平面EFDA，
∴MN∥平面EFDA.

(2)法一：延長DA，CB相交于一點H，則H∈CB，H∈DA.
又∵CB?平面FEBC，DA?平面FEAD.
∴H∈平面FEBC，H∈平面FEAD，
即H∈平面FEBC∩平面FEAD＝EF，
∴DA，F(xiàn)E，CB交于一點H，且HE＝EF＝1.
V三棱錐F－CDH＝V三棱錐C－HFD
＝·S△HFD·CF＝，
又由平面幾何知識得＝，
則＝，
∴V三棱錐A－MNF＝V三棱錐F－AMN
＝·V三棱錐F－CDH＝×＝1.
法二：V三棱臺BEA－CDF＝×EF×(S△BEA＋＋S△CDF)＝×2×＝，
V四棱錐A－BEFM＝×AE×S四邊形BEFM＝，
V三棱錐N－ADF＝×2×S△ADF＝2，
V三棱錐N－CFM＝×1×S△CFM＝，
V三棱錐A－MNF＝V三棱臺BEA－CDF－V三棱錐N－CFM－V四棱錐A－BEFM－V三棱錐N－ADF＝－－－2＝1.
24．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是側(cè)棱PA上的中點．

(1)求證：PC∥平面BDE；
(2)求四棱錐P-ABCD的體積．
(1)證明：連接AC交BD于點O，連接OE，如圖：

因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)是AC的中點．
又E是PA的中點，所以PC∥OE.
因為PC?平面BDE，OE?平面BDE，
所以PC∥平面BDE.
(2)【解析】因為PA⊥平面ABCD，
所以VP-ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×12×2＝，
所以四棱錐P-ABCD的體積為.
25．如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G.將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC＝.

(1)證明：DE∥平面BCF；
(2)證明：CF⊥平面ABF；
(3)當(dāng)AD＝時，求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG.
(1)證明：在等邊△ABC中，AD＝AE，
在折疊后的圖形中，仍有AD＝AE，AB＝AC，
因此＝，從而DE∥BC.
因為DE?平面BCF，BC?平面BCF，
所以DE∥平面BCF.
(2)證明：在折疊前的圖形中，因為△ABC為等邊三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，則在折疊后的圖形中，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF＝CF＝，BC＝.
所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.
又BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF，
所以CF⊥平面ABF.
(3)【解析】由(1)知，平面DEG∥平面BCF，
由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，
又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，
所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.
在折疊前的圖形中，
AB＝1，BF＝CF＝，AF＝.
由AD＝知＝，
又DG∥BF，所以＝＝＝，
所以DG＝EG＝×＝，
AG＝×＝，
所以FG＝AF－AG＝，故V三棱錐F-DEG＝V三棱錐E-DFG＝×DG·FG·GE＝××＝.
26．如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC＝30°，AC ⊥BM，且BM交AC于點M，EA⊥平面ABC，CF∥AE，AE＝3，AC＝4，CF＝1.

(1)證明：BF⊥EM；
(2)求三棱錐B-EFM的體積．
【解析】(1)證明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥BM，
又BM⊥AC，AC∩EA＝A，∴BM⊥平面ACFE，
∴BM⊥EM. ①
∵CF∥AE，∴CF⊥平面ABC，∴CF⊥AC，
∴FM＝＝，
又EM＝＝3，EF＝＝2，
∴FM2＋EM2＝EF2，∴EM⊥FM. ②
由①②并結(jié)合FM∩BM＝M，得EM⊥平面BMF，∴EM⊥BF.
(2)由(1)知EM⊥平面BMF，
∴VB-EFM＝VE-BMF＝×S△BMF×EM＝××3＝.
27．如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，AM＝2.

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求三棱錐P-MAC的體積．
【解析】(1)證明：由∠PCB＝90° 得PC⊥CB.
又AB⊥PC，AB∩CB＝B，所以PC⊥平面ABC.
又PC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)在平面PCBM內(nèi)，過點M作MN⊥BC交BC于點N，連接AN，則CN＝PM＝1，

又PM∥BC，所以四邊形PMNC為平行四邊形，所以PC∥MN且PC＝MN，
由(1)得PC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC，
在△ACN中，AN2＝AC2＋CN2－2AC·CNcos 120°＝3，即AN＝.
又AM＝2，所以在Rt△AMN中，MN＝1，所以PC＝MN＝1.
在平面ABC內(nèi)，過點A作AH⊥BC交BC的延長線于點H，則AH⊥平面PMC，
因為AC＝CN＝1，∠ACB＝120°，所以∠ANC＝30°.
所以在Rt△AHN中，AH＝AN＝，
而S△PMC＝×1×1＝，
所以VP-MAC＝VA-PMC＝×S△PMC×AH＝××＝.
29．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝BC＝2a，AC＝2a，E是PA的中點．

(1)求證：平面BED⊥平面PAC；
(2)求點E到平面PBC的距離．
【解析】(1)證明：在平行四邊形ABCD中，AB＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PC⊥BD.
又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BED，
∴平面BED⊥平面PAC.
(2)設(shè)AC交BD于點O，連接OE，如圖．

在△PCA中，易知O為AC的中點，又E為PA的中點，
∴EO∥PC.
∵PC?平面PBC，EO?平面PBC，∴EO∥平面PBC.
∴點O到平面PBC的距離就是點E到平面PBC的距離．
∵PC⊥平面ABCD，PC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ABCD，且兩平面的交線為BC.
在平面ABCD內(nèi)過點O作OH⊥BC于點H，
則OH⊥平面PBC.
在Rt△BOC中，BC＝2a，OC＝AC＝a，
∴OB ＝a.由S△BOC＝OC·OB＝BC·OH，
得OH＝＝＝a.
∴點E到平面PBC的距離為a.
30．如圖，已知四棱錐S -ABCD，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等邊三角形，已知AC＝2AB＝4，BC＝2AD＝2CD＝2，M是SD上任意一點，＝m，且m>0.

(1)求證：平面SAB⊥平面MAC；
(2)試確定m的值，使三棱錐S -ABC的體積為三棱錐S-MAC體積的3倍．
【解析】(1)證明：在△ABC中，由于AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC?平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC.
(2)VS -MAC＝VM -SAC＝VD -SAC＝VS -ACD，
∴＝·＝·＝·2＝3，
∴m＝2，即當(dāng)m＝2時，三棱錐S -ABC的體積為三棱錐S -MAC體積的3倍．
31．如圖，在三棱柱ABC-DEF中，側(cè)面ABED是邊長為2的菱形，且∠ABE＝，BC＝.點F在平面ABED內(nèi)的正投影為G，且點G在AE上，F(xiàn)G＝，點M在線段CF上，且CM＝CF.

(1)證明：直線GM∥平面DEF；
(2)求三棱錐M-DEF的體積．
【解析】(1)證明：∵點F在平面ABED內(nèi)的正投影為G，∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE，又BC＝＝EF，F(xiàn)G＝，∴GE＝.∵四邊形ABED是邊長為2的菱形，且∠ABE＝，∴AE ＝2，∴AG＝.
如圖，過點G作GH∥AD交DE于點H，連接FH.則＝，∴GH＝，由CM＝CF得MF＝＝GH.

∵GH∥AD∥MF，∴四邊形GHFM為平行四邊形，
∴GM∥FH.
又GM?平面DEF，F(xiàn)H?平面DEF，∴GM∥平面DEF.
(2)由(1)知GM∥平面DEF，連接GD，則有VM -DEF＝VG -DEF.又VG -DEF＝VF -DEG＝FG·S△DEG＝FG·S△DAE＝，∴VM -DEF＝.
32.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD、BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
證明：(1)在平面ABD內(nèi)，因為AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因為平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD且BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.
因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD.
又因為AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因為AC?平面ABC，所以AD⊥AC.
33.如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點．

求證：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
證明：(1)如圖，取CE的中點G，連接FG，BG.

因為F為CD的中點，
所以GF∥DE且GF＝DE.
因為AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE，
所以GF∥AB.
又因為AB＝DE，所以GF＝AB.
所以四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG.
因為AF?平面BCE，BG?平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)因為△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，
所以AF⊥CD.
因為DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
所以DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，
所以AF⊥平面CDE.
因為BG∥AF，所以BG⊥平面CDE.
又因為BG?平面BCE，
所以平面BCE⊥平面CDE.
34．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體．

(1)求證：AB⊥平面ADC；
(2)若AD＝1，AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角的正切值為，求點B到平面ADE的距離．
【解析】(1)證明：因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
又DC⊥BD，DC?平面BCD，
所以DC⊥平面ABD.
因為AB?平面ABD，
所以DC⊥AB.
又因為折疊前后均有AD⊥AB，
且DC∩AD＝D，
所以AB⊥平面ADC.
(2)由(1)知DC⊥平面ABD，
所以AC在平面ABD內(nèi)的正投影為AD，
即∠CAD為AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成的角．
依題意知tan ∠CAD＝＝，
因為AD＝1，所以DC＝.
設(shè)AB＝x(x＞0)，則BD＝，
易知△ABD∽△DCB，所以＝，
即＝，解得x＝，
故AB＝，BD＝，BC＝3.
由于AB⊥平面ADC，
所以AB⊥AC，又E為BC的中點，所以由平面幾何知識得AE＝＝，
同理DE＝＝，
所以S△ADE＝×1× ＝.
因為DC⊥平面ABD，所以VA-BCD＝CD·S△ABD＝.
設(shè)點B到平面ADE的距離為d，
則d·S△ADE＝VB-ADE＝VA-BDE＝VA-BCD＝，
所以d＝，即點B到平面ADE的距離為.

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