滄州市東七縣2022-2023學(xué)年（下）高二年級期中考試數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 若，則可導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（    ）A.  B.  C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知可得出，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可知，在處的導(dǎo)數(shù).故選：A.2. 若集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)階乘的定義求出集合，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，則，解得，所以，由，則，解得，所以，所以.故選：A3. 甲、乙兩人下象棋，勝者得1分，平局得0分，負者得分，共下5局．用表示甲的得分，則表示（    ）A. 甲勝3局負2局 B. 甲勝4局負1局C. 甲勝3局平2局或甲勝3局負2局 D. 甲勝4局負1局或甲勝3局平2局【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，即可得出答案.【詳解】由已知可得，當(dāng)時，應(yīng)該為3勝2平或4勝1負.故選：D.4. 同濟大學(xué)為弘揚我國古代的“六藝文化”，計劃在社會實踐活動中每天開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門課程中的一門，不重復(fù)開設(shè)，連續(xù)開設(shè)六天，則課程“禮”與“樂”相鄰，但均與“射”不相鄰的不同排法共有（    ）A. 72種 B. 144種 C. 240種 D. 252種【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法和插空法計算可得.【詳解】依題意先將“御”“書”“數(shù)”三門課程全排列，有種排法；再將“禮”與“樂”捆綁作為一個整體，與“射”插空到“御”“書”“數(shù)”所形成的個空中的個，故有種排法，按照分步乘法計數(shù)原理可知一共有種排法.
故選：B5. 函數(shù)的圖象大致為（    ）A.    B.   C.    D.   【答案】C【解析】【分析】先說明時，恒成立，可排除D項；求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，可排除A、B項，即可得出答案.【詳解】因為，當(dāng)時，，所以，所以，，所以所以，即在上恒成立，故B、D項錯誤；，由可得，，.由可得，，所以在上單調(diào)遞減；由可得，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極大值，也是最大值，故A、B錯誤.故選：C.6. 某中學(xué)共有2400名男生，為了解該校的男生身高情況，隨機抽取該校100名男生，測量身高，通過數(shù)據(jù)分析得到該校男生的身高H（單位：cm）服從正態(tài)分布N（176，52），若將H≥191的學(xué)生視為超高，則該校超高的男生約有（    ）參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ-σ≤X≤μ +σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.A. 1名 B. 2名 C. 3名 D. 4名【答案】C【解析】【分析】由該校男生的身高H（單位：cm）服從正態(tài)分布N（176，52），得，從而求得，由此可求得答案.【詳解】解：因為該校男生的身高H（單位：cm）服從正態(tài)分布N（176，52），所以，所以，所以該校超高的男生約有，故選：C.7. 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（    ）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可得解.【詳解】因為，所以，依題意在上恒成立，所以在上恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：D8. 在等比數(shù)列中，，若函數(shù)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，可得.求導(dǎo)代入即可得出.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求出的值.【詳解】設(shè)，則，，所以，.因為是等比數(shù)列，且，所以，，所以，，所以，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：將多項乘積看成兩項的乘積，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算的乘法法則，計算求導(dǎo).二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 袋中有9個除顏色外其余完全相同的球，其中2個黑球，3個白球，4個紅球，從中任取2個球，每取到一個黑球得0分，每取到一個白球得1分，每取到一個紅球得2分，則下列各選項正確的是（    ）A. “至多取到兩個紅球”和“取到一個白球，一個黑球”是互斥事件B. 總得分為1分的概率和取到一個白球，一個黑球的概率相等C. 總得分為2分的概率是D. 取到的兩個球均為紅球的概率是【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)事件的關(guān)系判斷A、B，根據(jù)古典概型的概率公式判斷C、D.【詳解】對于A：若“取到一個白球，一個黑球”，此時沒有取到紅球，則事件“至多取到兩個紅球”也發(fā)生了，故兩個事件不互斥，即A錯誤；對于B：要使總得分分，則表示取到一個白球，一個黑球，故總得分為分的概率和取到一個白球，一個黑球的概率相等，即B正確；對于C：若總得分為分，則取到兩個白球或取到一個紅球、一個黑球，故概率，即C正確；對于D：取到的兩個球均為紅球的概率，故D錯誤；故選：BC10. 有甲、乙兩個小組參加某項測試，甲組的合格率為70%，乙組的合格率為90%．已知甲、乙兩組的人數(shù)分別占這兩組總?cè)藬?shù)的70%，30%．從這兩組組成的總體中任選一個人，用事件，分別表示選取的該人來自甲、乙組，事件表示選取的該人測試合格，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】由已知可得，，，，可判B項；根據(jù)乘法公式求解，即可判斷A、C；根據(jù)全概率公式，可判D項.詳解】由已知可得，，，，.對于A項，由已知可得，，根據(jù)乘法公式可知，故A項正確；對于B項，由已知可得，故B項錯誤；對于C項，由已知可得，，根據(jù)乘法公式可知，故C項錯誤；對于D項，因為，故D項正確.故選：AD.11. 已知，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法判斷A、B、C，將式子兩邊對求導(dǎo)，再令，即可判斷D.【詳解】因為，令可得，令可得①，所以，故A正確；令可得②，①②得，故B錯誤；①②得，又展開式的通項為（且），所以當(dāng)為奇數(shù)時展開式系數(shù)為負數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時展開式系數(shù)為正數(shù)，即，，所以，故C正確；將兩邊對求導(dǎo)可得：，再令可得，故D正確；故選：ACD12. 已知函數(shù)，，則（    ）A. 有兩個極值點B. 有三個零點C. 直線是曲線的切線D. 當(dāng)直線與曲線有三個不同的交點時，實數(shù)的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得出A項；根據(jù)A項得出的結(jié)論，求出極值與端點處的函數(shù)值，根據(jù)零點存在定理，即可得出函數(shù)零點的個數(shù)，即可得出B項；由得出的值，代入函數(shù)求出值，驗證即可判斷C項；令，根據(jù)A、B的解析可得出函數(shù)的單調(diào)性、極值以及端點值，進而作出圖象，根據(jù)圖象得出函數(shù)與的圖象有3個交點時的的取值，即可得出D項.【詳解】對于A項，.由，可得.因為，所以或.當(dāng)時，有，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極大值，在處取得極小值，所以，有兩個極值點，故A正確；對于B項，因為，，，，根據(jù)A的結(jié)論以及零點存在定理可知，在，，上各有一個零點，所以有三個零點，故B正確；對于C項，假設(shè)直線是曲線的切線，由可得，因為，所以或.又，，所以切點為或，顯然這兩個點都不在直線上，故假設(shè)錯誤，故C項錯誤；對于D項，令，由A、B解析可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極大值，在處取得極小值0，且，.設(shè)，，則，.作出以及的圖象如圖  因為，由圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象恒有3個交點，即直線與曲線有三個不同的交點，所以，實數(shù)的取值范圍是，故D項正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：對于D項，通過研究與的性質(zhì)與圖象，結(jié)合圖象，即可求出參數(shù)的取值范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 某話劇排練時，要從6名演員中選3名分別扮演三種不同的角色，則不同的編排方法有______種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用排列數(shù)公式計算可得.【詳解】要從6名演員中選3名分別扮演三種不同的角色，則不同的編排方法有種.故答案為：14. 在展開式中，的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】由，再寫出展開式的通項，從而得到含的項，即可得解.【詳解】因為，其中展開式的通項為（且），所以的展開式中含的項為，所以的系數(shù)為.故答案為：15. 已知離散型隨機變量的分布列如下表，若隨機變量滿足，則______．012 【答案】【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，從而求出、，最后根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】依題意，解得，所以，則，又，所以.故答案為：16. 已知函數(shù)有正零點，則正實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由推得.形式相同，可構(gòu)造，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)遞增，進而得出，即可得出.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的最值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，定義域為.因為等價于.令，則在R上恒成立，所以，在R上單調(diào)遞增.由可知，，根據(jù)的單調(diào)性可知，，所以有.因為，所以.令，，則.由可得，.由可得，，所以在上單調(diào)遞增；由可得，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：由同構(gòu)變形推得，進而構(gòu)造，通過導(dǎo)函數(shù)研究的性質(zhì)，即可得出關(guān)系式.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17. 立德小學(xué)的課外活動室里有一些“塑料珠子”和“紙盒”．王寧同學(xué)正在玩珠子投紙盒的游戲，將5個不同的塑料珠子投入編號為1，2，3，4，5的5個紙盒中，試問：（1）一共有多少種不同的投法？（2）恰有1個空盒的投法共有多少種？【答案】（1）3125    （2）1200【解析】【分析】（1）每個塑料珠子都有5種投法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可得出答案；（2）先選出2個小球，與剩余的3個看作4組，投入4個盒子中，計算每步的結(jié)果，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，每個塑料珠子都有5種投法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，5個不同的塑料珠子的投法有種.【小問2詳解】恰有1個空盒，表示5個塑料珠子投入了4個盒子，這4個盒子里面有1個盒子里面有2個珠子，剩余3個盒子里面只有1個珠子.第一步：從5個小球中選出2個，選法種數(shù)為；第二步：將選出的2個小球與剩余的3個小球看為4組，分別投入5個空盒中4個中，不同的投放方法為.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，恰有1個空盒的投法種數(shù)為.18. 已知在（，為常數(shù)且，，，）中，有．（1）求的展開式中的常數(shù)項；（2）若它的展開式中的常數(shù)項是其各項系數(shù)中最大的項，求的最大值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由已知得出展開式的通項為，.由已知得出，求解得出的值，代入即可得出答案；（2）由已知可得，求解可推得.令，則，化簡整理可得.根據(jù)基本不等式得出，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，展開式的通項為，.由已知可得，即.因為，所以，所以，所以，的展開式中的常數(shù)項為.【小問2詳解】由（1）知，該式二項展開式通項為，.由已知可得，整理可得.因為，，所以有.令，則，且.因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，顯然滿足.所以，，所以，所以，的最大值為.19. 某學(xué)習(xí)平臺開設(shè)了一個“四人賽”的答題模塊，規(guī)則如下：用戶進入“四人賽”答題模塊后，共需答題兩輪，每輪開局時，系統(tǒng)會自動匹配3人與用戶一起答題，每輪答題結(jié)束時，根據(jù)答題情況四人分獲第一、二、三、四名．首輪中的第一名積5分，第二、三名均積3分，第四名積1分；第二輪中的第一名積3分，其余名次均積1分．兩輪的得分之和為用戶在“四人賽”中的總得分．假設(shè)小李在首輪獲得第一、二、三、四名的可能性相同；若其首輪獲得第一名，則第二輪獲得第一名的概率為，若其首輪沒獲得第一名，則第二輪獲得第一名的概率為．（1）設(shè)小李首輪的得分為，求的分布列；（2）求小李在“四人賽”中的總得分的期望．【答案】（1）分布列見解析    （2）【解析】【分析】（1）依題意的所有可能取值為，，，求出所對應(yīng)的概率，即可得到隨機變量的分布列；（2）設(shè)小李在“四人賽”中的總得分為，則的取值為，，，，求出所對應(yīng)的概率，即可得到隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問1詳解】依題意的所有可能取值為，，，則，，，所以的分布列為【小問2詳解】設(shè)小李在“四人賽”中的總得分為，則的取值為，，，，則， ，，，所以的分布列為所以.20. 已知函數(shù)，．（1）求的極小值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的極值；（2）根據(jù)已知可將不等式化為.根據(jù)（1）的結(jié)論可得出的最小值.求出，先說明時不滿足.當(dāng)時，研究函數(shù)的單調(diào)性以及極大值.然后根據(jù)與區(qū)間的3種關(guān)系，分別計算得出的最大值，進而得出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，.由可得，或.當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極小值.【小問2詳解】要使，不等式恒成立，只需滿足即可.由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，在上取得唯一極小值，也是最小值.因為，①當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，此時，所以有，即，無解；②當(dāng)時，由可得，.當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞減.所以，在取得唯一極大值，也是最大值；（ⅰ）當(dāng)時，有，此時上單調(diào)遞減，所以，，所以有，解得；（ⅱ）當(dāng)時，有，此時在上單調(diào)遞增，所以，，所以有，即，無解；（ⅲ）當(dāng)時，有，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，所以有，即，無解.綜上所述，.21. 已知甲書架上有本英文讀物和本中文讀物，乙書架上有本英文讀物和本中文讀物．（1）從甲書架上無放回地取本書，每次任取本，求第一次取到英文讀物的條件下第二次仍取到英文讀物的概率；（2）先從乙書架上隨機取本書放在甲書架上，再從甲書架上隨機取本書，求從甲書架上取出的是本英文讀物的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式計算可得；（2）記從乙書架上取出兩本英文讀物為事件，從乙書架上取出一本英文讀物、一本中文讀物為事件，從乙書架上取出兩本中文讀物為事件，從甲書架上取出的是本英文讀物為事件，利用全概率公式計算可得.【小問1詳解】依題意第一次取到英文讀物，則甲書架上還有本英文讀物和本中文讀物，所以第二次仍取到英文讀物的概率.【小問2詳解】從乙書架上隨機取本書放在甲書架上，記從乙書架上取出兩本英文讀物為事件，從乙書架上取出一本英文讀物、一本中文讀物為事件，從乙書架上取出兩本中文讀物為事件，從甲書架上取出的是本英文讀物為事件，依題意，，，，，，所以.22. 已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：不等式恒成立．【答案】（1）答案見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，只需證明即可.【小問1詳解】定義域為，，當(dāng)時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，所以當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，綜上可得，當(dāng)時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時，則不等式恒成立，即恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一實數(shù)使得，所以當(dāng)時，即，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，又，即，所以，則，所以，令，，則,所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，

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