2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)9月份月考數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色，墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第二章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn)，在直線上，則直線的傾斜角的大小為A. B. C. D.2.在棱柱中，A. B. C. D.3.若直線與直線垂直，則A. B. C. D.4.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，，，則A.  B.C.  D.5.已知點(diǎn)，分別是直線：與直線：上的點(diǎn)，則的最小值為A.0 B. C. D.6.已知點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段相交，則的斜率的取值范圍為A. B.C. D.7.已知圓：與圓：外切，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B. C.1或 D.或57.已知，直線：與軸的交點(diǎn)為，：與軸的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，則四邊形的面積的最小值為A. B.16 C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知，，是空間中三個(gè)向量，則下列說法錯(cuò)誤的是A.對(duì)于空間中的任意一個(gè)向量，總存在實(shí)數(shù)，，，使得B.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底C.若，，則D.若，，所在直線兩兩共面，則，，共面10.已知直線與直線平行，且與圓：相切，則直線的方程是A.  B.C.  D.11.已知直線過點(diǎn)，若與，軸的正半軸圍成的三角形的面積為，則的值可以是A.9 B.7 C.5 D.312.如圖，在正四棱錐中，，，分別是，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是A.B.直線和所成角的余弦值是C.點(diǎn)到直線的距離是D.點(diǎn)到平面的距離是2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在空間直角坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則______.14.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，的坐標(biāo)分別是，，，，若，，，四點(diǎn)共面，則______.15.2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分.唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，則將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程的最小值為______.15.已知直線：與直線：相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，在圓：上，且，則的取值范圍是______.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分10分）已知，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.18.（本小題滿分12分）已知三條直線：，：和：.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若三條直線相交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.19.（本小題滿分12分）已知的頂點(diǎn)為，，.（1）求邊上高所在直線的方程；（2）求的外接圓的方程.20.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21.（本小題滿分12分）已知圓：.（1）若直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）若直線過點(diǎn)且與圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.22.（本小題滿分12分）如圖，菱形和正方形所在平面互相垂直，，.（1）求證：平面；（2）若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.  2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)9月份月考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.C  直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?/span>，所以.故選C.2.D  .故選D.3.B  由題意可知，即.故選B.4.B  因?yàn)?/span>為與的交點(diǎn)，所以，故.故選B.5.C  由題意可知直線，所以當(dāng)且時(shí)，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，直線的方程可化為，所以.故選C.6.A  易求直線和直線的斜率分別為和，當(dāng)的斜率不存在時(shí)，直線與線段相交，故的斜率的取值范圍為.故選A.7.C  圓：的圓心為，半徑，圓：的圓心為，半徑，因?yàn)閮蓤A外切，所以，解得或.故選C.8.A  直線：，：都過點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo)是.在中，令，得，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最小值為.故選A.9.ACD  由空間向量基本定理，可知只有當(dāng)，，不共面時(shí)，，，才能作為基底，才能得到，故A錯(cuò)誤；若是空間的一個(gè)基底，則，，不共面，，，也不共面，所以也是空間的一個(gè)基底，故B正確；若，，則，不一定平行，故C錯(cuò)誤；若，，所在直線兩兩共面，則，，不一定共面，故D錯(cuò)誤.故選ACD.10.BD  由直線與直線平行，可設(shè)直線的方程為，圓的圓心為，半徑，點(diǎn)到直線的距離.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得或，所以直線的方程是或.故選BD.11.AB  由題意知直線在，軸上的截距存在且大于0，可設(shè)的方程為，由直線過點(diǎn)，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，即，所以.故選AB.12.ABC  連接交于點(diǎn)，連結(jié)，由題意，得平面，因?yàn)?/span>平面，所以，因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以，因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，故A正確；以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?/span>，所以，，所以，，，，，，，所以，，所以，所以直線和所成角的余弦值是，故B正確；，，與同向的單位向量為，所以點(diǎn)到直線的距離，故C正確；設(shè)為平面的法向量，則即令，得，點(diǎn)到平面的距離，故D錯(cuò)誤.故選ABC.13.  因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以.14.6  ，，，又，，，四點(diǎn)共面，則存在，使得，即，即解得.15.  由題可知，在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得即，所以“將軍飲馬”的總路程的最小值為.16.  因?yàn)?/span>，所以直線與直線垂直，直線過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，即點(diǎn)的軌跡方程是，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑，取的中點(diǎn)，連接，則，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，所以，因?yàn)?/span>，即，所以的取值范圍是.17.解：（1），，若，則，即，，，解得，.（2），，若，則，即，化簡可得，解得或.18.解：（1）因?yàn)?/span>：，：，且，所以，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，.（2）由解得即與的交點(diǎn)為，因?yàn)槿龡l直線相交于一點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，所以，解得.19.解：（1）直線的斜率，設(shè)邊上的高所在直線的斜率為，則所以所求直線為，即（2）設(shè)外接圓的方程為則解得故外接圓的方程為20.（1）證明：由直棱柱的性質(zhì)得平面，又平面，所以.因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>，，平面，所以平面因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)為平面的法向量，則即令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.21.解：（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為，所以由勾股定理得到圓心到直線的距離.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：，顯然不滿足；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，即，由圓心到直線的距離，得，即，解得或，故直線的方程為或.（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與圓相交，所以直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，又的面積，所以當(dāng)時(shí)，取最大值8.由，得，解得或，所以直線的方程為或.22.（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.因?yàn)?/span>，，平面，所以平面平面因?yàn)?/span>平面，所以平面（2）解：設(shè)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，易證，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>，平面，所以，因?yàn)?/span>，所以，，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，所以是等邊三角形，所以，，，，，所以，，，.設(shè)為平面的法向量，則即令，得.設(shè)為平面的法向量，則，即令，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則，令，所以，則，令，則，所以.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以平面與平面夾角的余弦值的取值范圍是. 

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