[基礎(chǔ)題組練]1．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝(　　)A．9  B．8C．17  D．16解析：選A．S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.2．在數(shù)列{an}中，an＝，若{an}的前n項和Sn＝，則n＝(　　)A．3  B．4C．5  D．6解析：選D．由an＝＝1－得，Sn＝n－＝n－，則Sn＝＝n－，將各選項中的值代入驗證得n＝6.3．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，則S60的值為(　　)A．990  B．1 000C．1 100  D．99解析：選A．n為奇數(shù)時，an＋2－an＝0，an＝2；n為偶數(shù)時，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.4．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點P(1，3)，Q(2，5)．當n∈N*時，an＝，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，當Sn＝時，n的值為(　　)A．7  B．6C．5  D．4解析：選D．因為函數(shù)f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點P(1，3)，Q(2，5)，所以所以或(舍去)，所以f(x)＝2x＋1，所以an＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝－，令Sn＝，得n＝4.故選D．5．(2020·河北保定期末)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則該數(shù)列的前100項之和是(　　)A．18  B．8C．5  D．2解析：選C．因為a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，所以a3＝3－1＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3＋1＝－2，a7＝－2＋3＝1，a8＝1＋2＝3，a9＝3－1＝2，…，所以{an}是周期為6的周期數(shù)列，因為100＝16×6＋4，所以S100＝16×(1＋3＋2－1－3－2)＋(1＋3＋2－1)＝5.故選C．6．等比數(shù)列{an}中，若a1＝27，a9＝，q＞0，Sn是其前n項和，則S6＝________．解析：由a1＝27，a9＝知，＝27·q8，又由q＞0，解得q＝，所以S6＝＝.答案：7．(2020·九江聯(lián)考)若{an}，{bn}滿足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，則{bn}的前18項和為________．解析：因為anbn＝1，且an＝n2＋3n＋2，所以bn＝＝＝－，所以{bn}的前18項和為－＋－＋－＋…＋－＝－＝＝.答案：8．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.則{an}的通項公式為______；設(shè)cn＝an＋bn，則數(shù)列{cn}的前n項和為______．解析：設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，由b2＝3，b3＝9，可得q＝＝3，bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1.即有a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，則d＝＝2，則an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1.cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，則數(shù)列{cn}的前n項和為[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1)＝n·2n＋＝n2＋.答案：an＝2n－1　n2＋9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，且an＋1＝.(1)求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；(2)若bn＝an·an＋1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解：(1)證明：因為an＋1＝，所以＝，所以－＝，所以數(shù)列{}是首項為2，公差為的等差數(shù)列．(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，所以an＝，所以bn＝＝4×(－)，Sn＝4×[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝4×(－)＝.10．(2020·廣州市綜合檢測(一))已知{an}是等差數(shù)列，且lg a1＝0，lg a4＝1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a1，ak，a6是等比數(shù)列{bn}的前3項，求k的值及數(shù)列{an＋bn}的前n項和．解：(1)因為lg a1＝0，lg a4＝1，所以a1＝1，a4＝10.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝＝3.所以an＝a1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由(1)知a1＝1，a6＝16，因為a1，ak，a6是等比數(shù)列{bn}的前3項．所以a＝a1a6＝16.又an＝3n－2＞0，所以ak＝4.因為ak＝3k－2，所以3k－2＝4，得k＝2.所以等比數(shù)列{bn}的公式q＝＝＝4.所以bn＝4n－1.所以an＋bn＝3n－2＋4n－1.所以數(shù)列{an＋bn}的前n項和為Sn＝＋＝n2－n＋(4n－1)．[綜合題組練]1．(綜合型)(2020·黑龍江牡丹江一中模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，4a3＝a6，是等差數(shù)列，則數(shù)列{(－1)nan}的前10項的和S10是(　　)A．220  B．110C．99  D．55解析：選B．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則＝a1＋5d，＝＋3d，將已知值和等量關(guān)系代入，計算得d＝2，所以＝a1＋(n－1)d＝2n，an＝2n2，所以S10＝－a1＋a2－a3＋a4－…＋a10＝2(1＋2＋…＋10)＝110，故選B．2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2 018等于(　　)A．22 018－1  B．3×21 009－3C．3×21 009－1  D．3×21 008－2解析：選B．a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2，所以＝2.所以a1，a3，a5，…成等比數(shù)列；a2，a4，a6，…成等比數(shù)列，所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 017＋a2 018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 018)＝＋＝3·21 009－3.故選B．3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1，2，3，…)，則S2n－1＝________．解析：因為a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1，2，3，…)，所以S2n－1＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2n－2＋a2n－1)＝1＋＋＋…＋＝.答案：4．(創(chuàng)新型)已知數(shù)列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則數(shù)列{bn}的前2 019項和為________．解析：由“凸數(shù)列”的定義及b1＝1，b2＝－2，得b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，所以數(shù)列{bn}是周期為6的周期數(shù)列，且b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，于是數(shù)列{bn}的前2 019項和等于b1＋b2＋b3＝－4.答案：－45．(2019·高考天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意，得解得故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.所以{an}的通項公式為an＝3n，{bn}的通項公式為bn＝3n.(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1＝－＋n×3n＋1＝.所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N*)．6．(2020·安徽省考試試題)已知等差數(shù)列{an}中，a5－a3＝4，前n項和為Sn，且S2，S3－1，S4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝(－1)n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)設(shè){an}的公差為d，由a5－a3＝4，得2d＝4，d＝2.所以S2＝2a1＋2，S3－1＝3a1＋5，S4＝4a1＋12，又S2，S3－1，S4成等比數(shù)列，所以(3a1＋5)2＝(2a1＋2)·(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n＝(－1)n，當n為偶數(shù)時，Tn＝－＋－＋…－＋，所以Tn＝－1＋＝－.當n為奇數(shù)時，Tn＝－＋－＋…＋－，所以Tn＝－1－＝－.所以Tn＝.

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