[基礎(chǔ)題組練]1．(多選)下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有(　　)A．(sin x)′＝cos x　　　　　 B．′＝C．(log3x)′＝  D．(ln x)′＝解析：選AD．因?yàn)?/span>(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以AD正確．2．已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(　　)A．3  B．2C．1   D．解析：選A．因?yàn)?/span>y′＝－，令y′＝，解得x＝3，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.3．已知函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則 等于(　　)A．f′(x)  B．f′(2)C．f(x)  D．f(2)解析：選B．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)可導(dǎo)，所以f′(x)＝ ，所以 ＝f′(2)．4．函數(shù)g(x)＝x3＋x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1處的切線過點(diǎn)(0，－5)，則b的值為(　　)A．   B．C．   D．解析：選B．當(dāng)x＝1時(shí)，g(1)＝1＋＋b＝＋b，又g′(x)＝3x2＋5x＋，所以切線斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，從而切線方程為y＝11x－5，由于點(diǎn)在切線上，所以＋b＝11－5，解得b＝.故選B．5．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(　　)解析：選D．由y＝f′(x)的圖象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，說(shuō)明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，故排除A、C．又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說(shuō)明y＝f(x) 與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故排除B．6．(2020·江西南昌一模)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，則f′(1)＝________．解析：因?yàn)?/span>f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.答案：1＋e7．(2020·四川綿陽(yáng)一診改編)若函數(shù)f(x)＝x3＋(t－1)x－1的圖象在點(diǎn)(－1，f(－1))處的切線平行于x軸，則t＝________，切線方程為________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(－1，f(－1))處的切線平行于x軸，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此時(shí)f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切線方程為y＝1.答案：－2　y＝18．(2020·江西重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考)已知曲線y＝＋在x＝1處的切線l與直線2x＋3y＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：y′＝－＋，當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝－1＋.由于切線l與直線2x＋3y＝0垂直，所以·＝－1，解得a＝.答案：9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝sin(1－2cos2)；(3)y＝.解：(1)因?yàn)?/span>y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)因?yàn)?/span>y＝sin(－cos)＝－sin x，所以y′＝(－sin x)′＝－(sin x)′＝－cos x.(3)y′＝＝＝.10．(2020·甘肅會(huì)寧一中模擬)已知曲線y＝x3＋x－2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點(diǎn)P0在第三象限．(1)求P0的坐標(biāo)；(2)若直線l⊥l1，且l也過切點(diǎn)P0，求直線l的方程．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.令3x2＋1＝4，解得x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－4.又點(diǎn)P0在第三象限，所以切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)．(2)因?yàn)橹本€l⊥l1，l1的斜率為4，所以直線l的斜率為－.因?yàn)?/span>l過切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)，所以直線l的方程為y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.[綜合題組練]1.如圖，y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝(　　)A．－1  B．0C．3  D．4解析：選B．由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率為－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.2．(多選)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．給出下列四個(gè)函數(shù)，其中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是(　　)A．f(x)＝x2  B．f(x)＝e－xC．f(x)＝ln x  D．f(x)＝tan x解析：選AC．對(duì)于A，若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，令x2＝2x，這個(gè)方程顯然有解，得x＝0或x＝2，故A符合要求；對(duì)于B，若f(x)＝e－x，則f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程無(wú)解，B不符合要求；對(duì)于C，若f(x)＝ln x，則f′(x)＝，若ln x＝，利用數(shù)形結(jié)合法可知該方程存在實(shí)數(shù)解，C符合要求；對(duì)于D，若f(x)＝tan x，則f′(x)＝′＝，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，變形可得sin 2x＝2，無(wú)解，D不符合要求．3．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝(　　)A．26  B．29C．212  D．215解析：選C．因?yàn)?/span>f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.故選C．4．(2020·湖北武漢4月調(diào)研)設(shè)曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲線C上一點(diǎn)M(1，－4)處的切線記為l，則切線l與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：選C．y′＝12x3－6x2－18x，則y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，所以曲線y＝3x4－2x3－9x2＋4在點(diǎn)M(1，－4)處的切線方程為y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.聯(lián)立解得或或故切線與曲線C還有其他的公共點(diǎn)(－2，32)，，所以切線l與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C5．已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為－3，求a，b的值；(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由題意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因?yàn)榍€y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－.所以a的取值范圍為∪.6．已知拋物線C：y＝－x2＋x－4，過原點(diǎn)O作C的切線y＝kx，使切點(diǎn)P在第一象限．(1)求k的值；(2)過點(diǎn)P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo)．解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，則y1＝kx1，①y1＝－x＋x1－4，②將①代入②得x＋x1＋4＝0.因?yàn)?/span>P為切點(diǎn)，所以Δ＝－16＝0，得k＝或k＝.當(dāng)k＝時(shí)，x1＝－2，y1＝－17.當(dāng)k＝時(shí)，x1＝2，y1＝1.因?yàn)?/span>P在第一象限，所以k＝.(2)過P點(diǎn)作切線的垂線，其方程為y＝－2x＋5.③將③代入拋物線方程得，x2－x＋9＝0.設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2，y2)，則2x2＝9，所以x2＝，y2＝－4.所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為. 

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