[基礎(chǔ)題組練]1．若直線l不平行于平面α，且l?α，則(　　)A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α與直線l至少有兩個(gè)公共點(diǎn)D．α內(nèi)的直線與l都相交解析：選B．因?yàn)?/span>l?α，直線l不平行于平面α，所以直線l只能與平面α相交，于是直線l與平面α只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以平面α內(nèi)不存在與l平行的直線．2．(2020·大連雙基測(cè)試)已知直線l，m，平面α，β，γ，則下列條件能推出l∥m的是(　　)A．l?α，m?β，α∥β  B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝mC．l∥α，m?α  D．l?α，α∩β＝m解析：選B．選項(xiàng)A中，直線l，m也可能異面；選項(xiàng)B中，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可推出l∥m，B正確；選項(xiàng)C中，直線l，m也可能異面；選項(xiàng)D中，直線l，m也可能相交，故選B．3．(2020·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.真命題的個(gè)數(shù)是(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：選A．由題意，對(duì)于①，根據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對(duì)于②，根據(jù)a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a?α，故②是假命題；對(duì)于③，根據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行、相交或異面，故③是假命題；對(duì)于④，根據(jù)a?α，b?β.α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題，所以真命題的個(gè)數(shù)是1，故選A．4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則(　　)A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH 是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析：選B．由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFBD，又EF?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HGBD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推斷正確的序號(hào)是(　　)A．①③  B．①④C．②③  D．②④解析：選A．因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，所以FG∥BC1，因?yàn)?/span>BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因?yàn)?/span>FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正確；因?yàn)?/span>EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，所以EF與平面BC1D1相交，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>E，F，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，所以FG∥BC1，因?yàn)?/span>FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正確；因?yàn)?/span>EF與平面BC1D1相交，所以平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯(cuò)誤．故選A．6.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)等于________．解析：因?yàn)?/span>EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)．故EF＝AC＝.答案：7．在下面給出的條件中，若條件足夠推出a∥α，則在橫線上填“OK”；若條件不能保證推出a∥α，則請(qǐng)?jiān)跈M線上補(bǔ)足條件：(1)條件：a∥b，b∥c，c?α，______，結(jié)論：a∥α；(2)條件：α∩β＝b，a∥b，a?β，______，結(jié)論：a∥α.解析：因?yàn)?/span>a∥b，b∥c，c?α，所以由直線與平面平行的判定定理得，當(dāng)a?α時(shí)，a∥α.因?yàn)?/span>α∩β＝b，a∥b，a?β，則由直線與平面平行的判定定理得a∥α.答案：a?α　OK8．在四面體A-BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．解析：如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，則EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因?yàn)?/span>AB?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案：平面ABD與平面ABC9.在如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要經(jīng)過平面A′B′C′D′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？(2)所畫的線與平面ABCD是什么位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．解： (1)過點(diǎn)P作B′C′的平行線，交A′B′，C′D′于點(diǎn)E，F，連接BE，CF.作圖如右：(2)EF∥平面ABCD.理由如下：因?yàn)?/span>BC∥平面A′B′C′D′，又因?yàn)槠矫?/span>B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，所以BC∥B′C′，因?yàn)?/span>EF∥B′C′，所以EF∥BC，又因?yàn)?/span>EF?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.10．(2020·南昌市摸底調(diào)研)如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設(shè)M，N分別為PD，AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P-ABM的體積．解：(1)證明：因?yàn)?/span>M，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，所以MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，所以MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.因?yàn)?/span>CN?平面PAB，AB?平面PAB，所以CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，所以點(diǎn)M到平面PAB的距離等于點(diǎn)C到平面PAB的距離．因?yàn)?/span>AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝，所以三棱錐P-ABM的體積V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝××1××2＝.[綜合題組練]1．如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列說法中，錯(cuò)誤的為(　　)A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AC∥截面PQMND．異面直線PM與BD所成的角為45°解析：選B．因?yàn)榻孛?/span>PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，則PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正確；由BD∥PN，所以∠MPN是異面直線PM與BD所成的角，且為45°，D正確；由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.所以＝，＝，而AN≠DN，PN＝MN，所以BD≠AC.B錯(cuò)誤．故選B．2．如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)命題：①沒有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在的平面平行；④當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BE·BF是定值．其中正確的個(gè)數(shù)是(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：選C．由題圖，顯然①是正確的，②是錯(cuò)的；對(duì)于③因?yàn)?/span>A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正確的；因?yàn)樗嵌康?/span>(定體積V)．所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝(定值)，即④是正確的，故選C．3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：(1)AD1所在的直線與平面BCC1的位置關(guān)系是______；(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是______．解析：(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是平行．理由：AB∥C1D1，且AB＝C1D1，可得四邊形ABC1D1為平行四邊形，即有AD1∥BC1，AD1?平面BCC1，BC1?平面BCC1，則AD1∥平面BCC1.(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是相交．理由：平面A1BC1與平面ABCD有一個(gè)交點(diǎn)B，由公理3得，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)在一條直線上，這條直線為交線．如圖，過點(diǎn)B作AC的平行線l，即為交線．答案：平行　相交4．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.解析：如圖所示，設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>P為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.連接DB，因?yàn)?/span>P，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q為CC1的中點(diǎn)5．如圖，四邊形ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．(1)求證：BE∥平面DMF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG.證明：(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)?/span>N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.6. (2020·南昌二模)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.(1)確定點(diǎn)E，F的位置，并說明理由；(2)求三棱錐F-DCE的體積．解：(1)因?yàn)槠矫?/span>CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，又AB∥DC，所以四邊形AECD是平行四邊形，所以DC＝AE＝AB，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．因?yàn)槠矫?/span>CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)．綜上，E，F分別是AB，PB的中點(diǎn)．(2)連接PE，由題意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF-DEC＝VP-DEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.

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