考點15  平面向量的線性運算  1、理解向量的加法、減法和數(shù)乘運算,理解其幾何意義;理解向量共線定理 . 了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義 2、了解平面向量的基本定理及其意義 .3、 理解平面向量的正交分解及其坐標表示,會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算;4、理解用坐標表示的平面向量共線的條件  平面向量的線性運用是平面向量模塊中比較重要的知識點，用一組基底可以表示其它的向量，這也是為下一節(jié)平面向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)，因此平面向量的線性運算是這幾年江蘇高考?？嫉闹R點。在其它地區(qū)的高考中也經(jīng)?？疾榈?/span>·    1、平面向量的基本概念及其線性運算是向量的基本知識,一般以填空題的形式出現(xiàn),有時也出現(xiàn)在解答題的某一步驟 . 命題的落腳點可能以平面圖形為載體考查平面向量,重點在于對三點共線及基底向量等相關(guān)知識的運用 .2、平面向量的基本定理及其坐標運算是向量的基本知識,一般以填空題的形式出現(xiàn),有時也出現(xiàn)在解答題的某一步驟 . 命題的落腳點可能以平面圖形為載體考查平面向量,借助基向量考查交點位置或借助向量的坐標考查共線等問題    1、【2020年江蘇卷】在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】【解析】∵三點共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為.當時， ，重合，此時的長度為，當時，，重合，此時，不合題意，舍去.故答案為：0或.2、【2018年高考全國I卷理數(shù)】在中，為邊上的中線，為的中點，則A．       B． C．       D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的運算法則，可得 ，所以.故選A.3、【2017年高考全國III卷理數(shù)】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為A．3                           B．2C．         D．2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系.設(shè)，易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則 ，，所以，設(shè)，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A．4、【2019年高考浙江卷】已知正方形的邊長為1，當每個取遍時，的最小值是___________；最大值是___________．【答案】0；.【解析】以分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖.則,令0.又因為可取遍，所以當時，有最小值.因為和的取值不相關(guān)，或，所以當和分別取得最大值時，y有最大值，所以當時，有最大值.故答案為0；.5、【2018年高考全國III卷理數(shù)】已知向量，，．若，則___________．【答案】6、【2017年高考江蘇卷】如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，且=7，與的夾角為45°．若，則___________．【答案】3【解析】由可得，，根據(jù)向量的分解，易得，即，即，即得，所以．       題型一：平面向量基本定理1、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，已知，，，，若，（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】建立如圖所以坐標系，根據(jù)條件不妨設(shè)，，，則，所以，解得，，所以，故選：C．2、（2020屆北京市昌平區(qū)新學道臨川學校高三上學期期中）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，若，則下列關(guān)系中正確的是（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.3、（2020·河南高三期末（文））如圖，在等腰直角中，，分別為斜邊的三等分點（靠近點），過作的垂線，垂足為，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，，所以，所以.因為，所以.故選：D4、（2020屆湖南省長沙市長郡中學高三月考（六)數(shù)學（理)試題）如圖，在平行四邊形中，點滿足，與交于點，設(shè)，則（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)是上除點外的令一個三等分點，連接，連接交于，則.在三角形中，是兩條中線的交點，故是三角形的重心，結(jié)合可知，由于是中點，故.所以，由此可知，故選C.5、（2020屆北京市海淀區(qū)高三上學期期中數(shù)學試題）在四邊形中，，設(shè).若，則（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，過作，又． ∴四邊形是平行四邊形．， 又． ， 又，則 ． 故選：B．6、（2020屆山東省泰安市高三上期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，且，F為AE的中點，則（    ）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法則得，A對；∵，∴，∴，又F為AE的中點，∴，B對；∴，C對；∴，D錯；故選：ABC．7、（2020屆江蘇省南通市海門中學高三上學期10月檢測）在中，已知D是邊的中點，E是線段的中點若，則的值為______.【答案】；【解析】由題意，，∵∴．故答案為：．8、(2019無錫期末）在四邊形 ABCD 中，已知 ＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中，a，b是不共線的向量，則四邊形 ABCD 的形狀是________．【答案】7. 【解析】梯形因為＝＋＋＝(a＋2b)＋－4a－b＋(－5a＋－3b)＝－8a－2b所以，＝2，即AD∥BC，且|AD|≠|BC|，所以，四邊形ABCD是梯形．9、(2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）如圖，正六邊形中，若（），則的值為  ▲  ．【答案】【解析】：建系（坐標法）以AB所在的直線為x軸，以AE所在的直線為y軸，設(shè)六邊形邊長為2，,，，,由得：，      故.題型二：平面向量的坐標運算1、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知向量，，．若，則實數(shù)的值為（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以,選C.2、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知向量，且，則（    ）A．3 B．-3 C． D．【答案】C【解析】由題意，∵，∴，解得．故選：C.3、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯(lián)考）已知向量，，與平行，則實數(shù)x的值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：由已知，又，，解得：，故選：D.4、（2020屆山東省濟寧市高三上期末）已知A,B,C為不共線的三點,則“”是“為直角三角形”的(    )A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，兩邊平方得到，，即故為直角三角形，充分性；若為直角三角形，當或為直角時，，不必要；故選：5、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知向量，，，且，，則(     )A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因為向量，，，且，，所以，解得：，即，，所以，因此.故選：B.6、（2020屆江蘇省南通市四校聯(lián)盟高三數(shù)學模擬）設(shè)向量，，若，則實數(shù)的值為_______.【答案】【解析】向量，，且，則，解得.因此，實數(shù)的值為.故答案為：. 題型三、平面向量基本定理及線性運算綜合運用1、（2020屆山東省棗莊市高三上學期統(tǒng)考）如圖，在△中，點是線段上兩個動點，且 ，則的最小值為（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖可知x，y均為正，設(shè)，共線， ，，則，，則的最小值為，故選D.2、（2020屆山東省九校高三上學期聯(lián)考）已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點，且，，與交于點，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．在方向上的投影為【答案】BCD【解析】由題E為AB中點，則，以E為原點，EA，EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示：所以，，設(shè)，∥，所以，解得：，即O是CE中點，，所以選項B正確；，所以選項C正確；因為，，所以選項A錯誤；，，在方向上的投影為，所以選項D正確.故選：BCD3、（2020·浙江溫州中學3月高考模擬）如圖，在等腰三角形中，已知，，分別是邊上的點，且,其中且，若線段的中點分別為，則的最小值是_____. 【答案】【解析】根據(jù)題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數(shù)量積運算可知線段的中點分別為則由向量減法的線性運算可得所以因為,代入化簡可得因為所以當時, 取得最小值因而故答案為: 4、（2020屆湖南省長沙市長郡中學高三上學期月考（四)數(shù)學（理)試題）在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（      ）A． B． C． D．【答案】D【解析】中設(shè)，，，，即，，，，，，，，，根據(jù)直角三角形可得，，，，，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸建立直角坐標系可得，，，P為直線上的一點，則存在實數(shù)使得,設(shè)，，則，，,,，則,,故所求的最小值為,故選：D.5、(2019泰州期末） 已知點P為平行四邊形ABCD所在平面上一點，且滿足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，則λμ＝________．【答案】－　    由于題中出現(xiàn)了四個向量，因此可以考慮消去或，再根據(jù)平面向量基本定理，即可求得λ和μ的值．解法1(轉(zhuǎn)化法) 如圖，因為＋＋2＝0，所以＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋－)＝0，所以，3－＋2＝0，即－＋＝0，所以λ＝，μ＝－，λμ＝－.解法2(基底法) 因為＋＋＝0，λ＋μ＋＝0，兩式相減得＋＋＝＋＋－＝0，所以λ－＝1，μ－＝－1，λμ＝×＝－.解法3(幾何法)  取AB中點E，則＋＝2＝－2，所以＝，即P為DE中點，延長CP交BA延長線于點F，易知：A，E為BF的三等分點，且P為CF中點．由＝＋＝－，得－＋＝0，所以λμ＝－.  

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