?2022年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（二）（二模）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1．（4分）設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，則A∩B＝（　?。?br /> A．{1，2} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）已知雙曲線C：（a＞0）的一條漸近線方程為y＝x，則C的離心率為（　?。?br /> A． B． C．2 D．
4．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣，），則sin2α＝（　?。?br /> A． B． C． D．
5．（4分）過點(diǎn)（1，2）作圓x2+y2＝5的切線，則切線方程為（　　）
A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0
C．x+2y﹣5＝0 D．x＝1或x+2y﹣5＝0
6．（4分）“m＞n＞0”是“（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（4分）已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下面正確的結(jié)論是（　?。?br /> A．若l∥α，m∥α，則l∥m B．若m∥β，α⊥β，則m⊥α
C．若l⊥α，l⊥m，則m∥α D．若l⊥β，m⊥β，m⊥α，則l⊥α
8．（4分）ISO216是國際標(biāo)準(zhǔn)化組織所定義的紙張尺寸國際標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)定義了A，B系列的紙張尺寸．設(shè)型號(hào)為A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6的紙張的面積分別是a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，它們組成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，設(shè)型號(hào)為B1，B2，B3，B4，B5，B6的紙張的面積分別是b1，b2，b3，b4，b5，b6，已知，（i＝1，2，3，4，5，6），則的值為（　?。?br /> A． B． C． D．2
9．（4分）已知M為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＝＝1，且，，則＝（　?。?br /> A．0 B．1 C． D．3
10．（4分）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為P＝P0e﹣kt，其中P0，k是正的常數(shù)．如果在前10h污染物減少19%，那么再過5h后污染物還剩余（　?。?br /> A．40.5% B．54% C．65.6% D．72.9%
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.
11．（5分）拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為　 ?。?br /> 12．（5分）在（x+）5的展開式中，x3的系數(shù)是 　 ?。ㄓ脭?shù)字作答）
13．（5分）已知△ABC的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則能使成立的一組A，B的值是 　 ?。?br /> 14．（5分）“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就．在如圖所示的“楊輝三角”中，去掉所有的數(shù)字1，余下的數(shù)逐行從左到右排列，得到數(shù)列{an}為2，3，3，4，6，4，5，10，…，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為 　 ??；若am＝10，m∈N*，則m的最大值為 　 ?。?br />
15．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱A1A，A1B1，A1D1上的點(diǎn)（與正方體頂點(diǎn)不重合），過A1作A1H⊥平面EFG，垂足為H．設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①若E，F(xiàn)，G分別是A1A，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，則A1H＝；
②若E，F(xiàn)，G分別是A1A，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，則用平行于平面EFG的平面去截正方體ABCD﹣A1B1C1D1，得到的截面圖形一定是等邊三角形；
③△EFG可能為直角三角形；
④．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 　 　．

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16．（13分）已知函數(shù)f（x）＝cos2ωx+sinωxcosωx+m（ω＞0，m∈R）．再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)f（x）的解析式的兩個(gè)作為已知．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（t＞0）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍．
條件①：函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
條件②：函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，）；
條件③：函數(shù)f（x）的最大值為．
17．（14分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，DD1＝4，E，F(xiàn)分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1F∥平面AED1；
（Ⅱ）設(shè)H在棱BB1上，且BH＝BB1，N為CD的中點(diǎn)，求證：NH⊥平面AED1；并求直線AN與平面AED1所成角的正弦值．

18．（13分）為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村的全面振興，某地區(qū)依托鄉(xiāng)村特色優(yōu)勢資源，鼓勵(lì)當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植中藥材，批發(fā)銷售．根據(jù)前期分析多年數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，某品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝種植成本為5000元，此品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝產(chǎn)量與此品種中藥材的國內(nèi)市場批發(fā)價(jià)格均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：
該地區(qū)此品種中藥材各年的平均每畝產(chǎn)量情況
各年的平均每畝產(chǎn)量
400kg
500kg
頻率
0.25
0.75
（注：各年的平均每畝純收入＝各年的平均每畝產(chǎn)量×批發(fā)價(jià)格﹣各年的平均每畝種植成本）
（Ⅰ）以頻率估計(jì)概率，試估計(jì)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材獲得最高純收入的概率；
（Ⅱ）設(shè)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材的平均每畝純收入為X元，以頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）已知該地區(qū)某農(nóng)民有一塊土地共10畝，該塊土地現(xiàn)種植其他農(nóng)作物，年純收入最高可達(dá)到45000元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該農(nóng)民下一年是否應(yīng)該選擇在這塊土地種植此品種中藥材？說明理由．

19．（15分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為P（0，1），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作斜率為k1的直線l1，交橢圓C于另一點(diǎn)A，過點(diǎn)P作斜率為k2（k2≠k1）的直線l2交橢圓C于另一點(diǎn)B．若k1k2＝1，求證：直線AB經(jīng)過定點(diǎn)．
20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝xsinx+cosx．
（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）＝﹣x2+2ax．若對(duì)任意x1∈[﹣π，π]，存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
21．（15分）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．對(duì)集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定義T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），當(dāng)正整數(shù)n≥2時(shí)，定義T（α）＝T（Tn﹣1（α））（約定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）滿足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能結(jié)果；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)n使得對(duì)任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，說明理由．

2022年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（二）（二模）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1．（4分）設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，則A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
【分析】利用交集運(yùn)算即可求得答案．
【解答】解：由A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＞2}，
則A∩B＝{1，2，3，4}∩{x|x＞2}＝{3，4}，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】把給出的復(fù)數(shù)運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理成a+bi（a，b∈R）的形式，得到復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，則答案可求．
【解答】解：由．
知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為．
所以，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法，采用分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，此題是基礎(chǔ)題．
3．（4分）已知雙曲線C：（a＞0）的一條漸近線方程為y＝x，則C的離心率為（　?。?br /> A． B． C．2 D．
【分析】利用雙曲線的漸近線方程求解a，然后求解雙曲線的離心率即可．
【解答】解：由雙曲線C：（a＞0）的一條漸近線方程為y＝x，
可得雙曲線方程為x2﹣y2＝1，
所以雙曲線的離心率e＝＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．
4．（4分）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣，），則sin2α＝（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)已知求出sinα，cosα，再根據(jù)正弦的倍角公式化簡即可求解．
【解答】解：因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣，），
則sinα＝，cos，
所以sin2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，涉及到倍角公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）過點(diǎn)（1，2）作圓x2+y2＝5的切線，則切線方程為（　?。?br /> A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0
C．x+2y﹣5＝0 D．x＝1或x+2y﹣5＝0
【分析】由已知可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2+y2＝5上，求出CA所在直線的斜率，然后利用兩直線垂直與斜率的關(guān)系求得切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．
【解答】解：∵點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2+y2＝5上，
∴圓心C與點(diǎn)A的連線與過A點(diǎn)的圓的切線垂直，
又，∴切線方程為y﹣2＝（x﹣1），即x+2y﹣5＝0．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線方程的其求法，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
6．（4分）“m＞n＞0”是“（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，再結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可．
【解答】解：①當(dāng)m＞n＞0時(shí)，則m﹣n＞0，log2m﹣log2n＞0，∴（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0，∴充分性成立，
②當(dāng)m＝，n＝時(shí)，則log2m＝﹣2，log2n＝﹣1，滿足（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0，但0＜m＜n，∴必要性不成立，
∴m＞n＞0是（m﹣n）（log2m﹣log2n）＞0的充分不必要條件，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下面正確的結(jié)論是（　　）
A．若l∥α，m∥α，則l∥m B．若m∥β，α⊥β，則m⊥α
C．若l⊥α，l⊥m，則m∥α D．若l⊥β，m⊥β，m⊥α，則l⊥α
【分析】由直線與平面平行分析兩直線的位置關(guān)系判定A；由線面平行、面面垂直分析線面關(guān)系判定B；由直線與平面垂直的判定與性質(zhì)判斷C與D．
【解答】解：若l∥α，m∥α，則l∥m或l與m相交或l與m異面，故A錯(cuò)誤；
若m∥β，α⊥β，則m∥α或m?α或m與α相交，相交也不一定垂直，故B錯(cuò)誤；
若l⊥α，l⊥m，則m∥α或m?α，故C錯(cuò)誤；
若l⊥β，m⊥β，則l∥m，又m⊥α，則l⊥α，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．
8．（4分）ISO216是國際標(biāo)準(zhǔn)化組織所定義的紙張尺寸國際標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)定義了A，B系列的紙張尺寸．設(shè)型號(hào)為A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6的紙張的面積分別是a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，它們組成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，設(shè)型號(hào)為B1，B2，B3，B4，B5，B6的紙張的面積分別是b1，b2，b3，b4，b5，b6，已知，（i＝1，2，3，4，5，6），則的值為（　　）
A． B． C． D．2
【分析】由題意可得a5＝a4×，＝a4?a5，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵a5＝a4×，＝a4?a5，
∴＝a4?a4×，a5＞0，b4＞0，
∴＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．（4分）已知M為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＝＝1，且，，則＝（　　）
A．0 B．1 C． D．3
【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解即可．
【解答】解：由，
則，
即，
又＝＝1，，
則，
即BC＝，，
又AC＝2MC＝2，
則＝||||cosC＝2×，
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量的線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
10．（4分）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為P＝P0e﹣kt，其中P0，k是正的常數(shù)．如果在前10h污染物減少19%，那么再過5h后污染物還剩余（　?。?br /> A．40.5% B．54% C．65.6% D．72.9%
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型及已知可得 e﹣5k＝0.9，再計(jì)算5 h后污染物剩余量．
【解答】解：由題設(shè)，，可得 e﹣5k＝0.9，
再過5個(gè)小時(shí)，，
所以最后還剩余72.9%．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)模型及其應(yīng)用，指數(shù)型函數(shù)模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.
11．（5分）拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為　x＝﹣1　．
【分析】直接利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解準(zhǔn)線方程即可．
【解答】解：y2＝4x的準(zhǔn)線方程為：x＝﹣1．
故答案為：x＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
12．（5分）在（x+）5的展開式中，x3的系數(shù)是 　5?。ㄓ脭?shù)字作答）
【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開式中含x3的項(xiàng)，由此即可求解．
【解答】解：展開式中含x3的項(xiàng)為C＝5x3，
所以x3的系數(shù)為5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）已知△ABC的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則能使成立的一組A，B的值是 　?。?br /> 【分析】由已知結(jié)合正弦定理及二倍角公式進(jìn)行化簡即可求解．
【解答】解：由正弦定理得＝，
故sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B或2A+2B＝π，且B
所以A＝B或A+B＝且B．
故滿足條件的A＝B＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查 了正弦定理，二倍角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就．在如圖所示的“楊輝三角”中，去掉所有的數(shù)字1，余下的數(shù)逐行從左到右排列，得到數(shù)列{an}為2，3，3，4，6，4，5，10，…，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為 　52　；若am＝10，m∈N*，則m的最大值為 　45?。?br />
【分析】利用二項(xiàng)式定理的系數(shù)性質(zhì)、數(shù)列求和即可得出結(jié)論．
【解答】解：數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和＝2+3+3+4+6+4+5+10+10+5＝22+23+24+25﹣8＝52；
若am＝10，m∈N*，楊輝三角形的第10行的第10個(gè)數(shù)是10，則m的最大值為45．
故答案為：52；45．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的系數(shù)性質(zhì)、數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱A1A，A1B1，A1D1上的點(diǎn)（與正方體頂點(diǎn)不重合），過A1作A1H⊥平面EFG，垂足為H．設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①若E，F(xiàn)，G分別是A1A，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，則A1H＝；
②若E，F(xiàn)，G分別是A1A，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，則用平行于平面EFG的平面去截正方體ABCD﹣A1B1C1D1，得到的截面圖形一定是等邊三角形；
③△EFG可能為直角三角形；
④．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ?、佗堋。?br />
【分析】對(duì)于①，利用等體積法可求得A1H；
對(duì)于②，利用平面和平面平行可得截面不一定是三角形；
對(duì)于③，利用反證法求解；
對(duì)于④，利用等體積算法求解．
【解答】解：對(duì)于①，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是A1A，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，所以A1E＝A1F＝A1G＝，
因?yàn)镚A1⊥A1F，EA1⊥平面A1FG，所以VE﹣A1GF＝S△A1GF?A1E＝×＝，
又因?yàn)镈F＝GE＝GF＝，
所以＝VE﹣A1GF＝S△EFG?A1H，
即×sin60°×A1H＝，
∴A1H＝，故①正確；
對(duì)于②，MNOPQR均為各棱中點(diǎn)，平面MNOPQR∥平面EFG，平面MNOPQR為正六邊形，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，不妨設(shè)A1E＝x，A1F＝y(tǒng)，A1G＝z，
由于GA1⊥A1F，GA1⊥A1E，A1E⊥A1F，
根據(jù)勾股定理：EG2＝x2+z2，EF2＝x2+y2，F(xiàn)G2＝y(tǒng)2+z2，
若△EFG是直角三角形，若∠EFG是直角，則EF2+FG2＝EG2，即x2+y2+y2+z2＝x2+z2，則y＝0．
由于E，F(xiàn)，G不與定點(diǎn)重合，故y不可能為0，其他兩角，同理可證．故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，如右圖，設(shè)A1G＝a，A1E＝b，A1F＝c，設(shè)，，，S△EFG＝S，
則EG＝，EF＝，GF＝，
∴，
＝
＝＝，
∴，
再根據(jù)三棱錐A1﹣EFG的等體積算法可得＝＝t，
∴，，，，
∴，
∴，
故④正確，
故答案為：①④．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體中各棱長、對(duì)角線長、點(diǎn)到平面的距離等關(guān)系，等體積法求點(diǎn)面距離，等體積算法，屬中檔題．
三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16．（13分）已知函數(shù)f（x）＝cos2ωx+sinωxcosωx+m（ω＞0，m∈R）．再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)f（x）的解析式的兩個(gè)作為已知．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（t＞0）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍．
條件①：函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
條件②：函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，）；
條件③：函數(shù)f（x）的最大值為．
【分析】（Ⅰ）首先利用三角恒等變換公式以及輔助角公式化簡f（x），然后根據(jù)條件①②或①③求其解析式即可，若選擇②③，m的取值有兩個(gè)，舍去；
（Ⅱ）根據(jù)零點(diǎn)即是函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，令f（x）＝0求出橫坐標(biāo)，即可判斷t的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）由題可知，

＝
＝，
選擇①②：
因?yàn)?，所以ω?，
又因?yàn)椋裕?br /> 所以，
當(dāng)，
即時(shí)，f（x）＝﹣1，
所以函數(shù)f（x）的最小值為﹣1；
選擇①③：
因?yàn)椋驭兀?，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最大值為，
所以m＝0，
所以，
當(dāng)，即時(shí)，
，
所以函數(shù)f（x）的最小值為；
選擇②③：
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最大值為，所以m＝0，
∵m的取值不可能有兩個(gè)，∴無法求出解析式，舍去；
（Ⅱ）選擇①②：
令，
則，
所以，
當(dāng)k＝1，2時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為，
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，
所以，
所以t的取值范圍是；
選擇①③：
令，
則，或，
所以，或，
當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)分別為，
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，
所以，
所以t的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)恒等變換公式和輔助角公式，屬于中檔題．
17．（14分）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，DD1＝4，E，F(xiàn)分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1F∥平面AED1；
（Ⅱ）設(shè)H在棱BB1上，且BH＝BB1，N為CD的中點(diǎn)，求證：NH⊥平面AED1；并求直線AN與平面AED1所成角的正弦值．

【分析】（I）通過證明線線平行證明線面平行即可；
（II）通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法求直線AN與平面AED1所成角的正弦值．
【解答】解：（I）連接A1D，設(shè)∩AD1＝O，連接OE，EF，B1C，
在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，因?yàn)锳1B1∥CD，且A1B1＝CD，
所以四邊形A1B1CD是平行四邊形，
所以A1D∥B1C，且A1D＝B1C，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)．
所以EF∥B1C，且EF＝B1C，
在矩形A1ADD1中，O是A1D的中點(diǎn)，所以A1O∥FE，A1O＝FE，
所以四邊形A1OEF是平行四邊形，所以A1F∥OE，因?yàn)锳1F?平面AED1，OE?平面AED1，
∴A1F∥平面AED1；
（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，
則D（0，0，0），A（2，0，0），D1（0，0，4），E（0，2，2），H（2，2，1），N（0，1，0），
所以＝（﹣2，0，4），＝（0，2，﹣2），
設(shè)平面AED1的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），
則，即，令z＝1，則x＝2，y＝1，
所以平面AED1的一個(gè)法向量為＝（2，1，1），
因?yàn)椋?，所以NH⊥平面AED1，
因?yàn)椋剑?，1，1），＝（2，﹣1，0），
設(shè)直線AN與平面AED1所成角為θ，
所以sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．
直線AN與平面AED1所成角的正弦值為．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明、考查線面角的正弦值的求法，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
18．（13分）為實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村的全面振興，某地區(qū)依托鄉(xiāng)村特色優(yōu)勢資源，鼓勵(lì)當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植中藥材，批發(fā)銷售．根據(jù)前期分析多年數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，某品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝種植成本為5000元，此品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝產(chǎn)量與此品種中藥材的國內(nèi)市場批發(fā)價(jià)格均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：
該地區(qū)此品種中藥材各年的平均每畝產(chǎn)量情況
各年的平均每畝產(chǎn)量
400kg
500kg
頻率
0.25
0.75
（注：各年的平均每畝純收入＝各年的平均每畝產(chǎn)量×批發(fā)價(jià)格﹣各年的平均每畝種植成本）
（Ⅰ）以頻率估計(jì)概率，試估計(jì)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材獲得最高純收入的概率；
（Ⅱ）設(shè)該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材的平均每畝純收入為X元，以頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）已知該地區(qū)某農(nóng)民有一塊土地共10畝，該塊土地現(xiàn)種植其他農(nóng)作物，年純收入最高可達(dá)到45000元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該農(nóng)民下一年是否應(yīng)該選擇在這塊土地種植此品種中藥材？說明理由．

【分析】（Ⅰ）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式求解．
（Ⅱ）根據(jù)題意求出X的所有可能取值，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率，列出分布列，再根據(jù)期望公式求出EX即可．
（Ⅲ）根據(jù)10EX的值與45000的大小關(guān)系判斷．
【解答】解：（Ⅰ）該地區(qū)此品種中藥材各年的平均每畝產(chǎn)量500kg的概率為0.75，此品種中藥材的國內(nèi)市場批發(fā)價(jià)格為25元/kg的概率為0.6，
∴該地區(qū)某農(nóng)民2022年種植此品種中藥材獲得最高純收入的概率0.75×0.6＝0.45．
（Ⅱ）400×20﹣5000＝3000，400×25﹣5000＝5000，500×20﹣5000＝5000，500×25﹣5000＝7500，
則X的所有可能取值為3000，5000，7500，
∴P（X＝3000）＝0.25×0.4＝0.1，P（X＝5000）＝0.25×0.6+0.75×0.4＝0.45，P（X＝7500）＝0.75×0.6＝0.45，
∴X的分布列為：
X
3000
5000
7500
P
0.1
0.45
0.45
∴EX＝3000×0.1+5000×0.45+7500×0.45＝5925．
（Ⅲ）10E（X）＝59250＞45000，
∴該農(nóng)民下一年應(yīng)該選擇在這塊土地種植此品種中藥材．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法計(jì)算公式，考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中檔題．
19．（15分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為P（0，1），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作斜率為k1的直線l1，交橢圓C于另一點(diǎn)A，過點(diǎn)P作斜率為k2（k2≠k1）的直線l2交橢圓C于另一點(diǎn)B．若k1k2＝1，求證：直線AB經(jīng)過定點(diǎn)．
【分析】（Ⅰ）由橢圓過的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可得b的值，再由離心率和a，b，c之間的關(guān)系可得a的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；
（Ⅱ）分直線AB的斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)直線AB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，求出直線PA，PB的斜率之積，將兩根之和及兩根之積代入，再由斜率之積為1，可得直線AB恒過的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（Ⅰ）由題意可得b＝1，e＝＝．a(chǎn)2＝b2+c2，
可得a2＝2，
所以橢圓C的方程為：+y2＝1；
（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx+t，t≠1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立，整理可得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，
Δ＞0，x1+x2＝，x1x2＝，
則k1?k2＝?＝＝＝＝＝，
由題意可得1＝可得t＝﹣3，
即直線恒過定點(diǎn)（0，﹣3）；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝t，代入橢圓的方程可得y2＝1﹣，所以y＝，
所以A（t，），B（t，﹣），
則k1?k2＝?＝＝≠1，
所以直線AB的斜率存在，且可證得直線AB恒過定點(diǎn)（0，﹣3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，直線恒過定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．
20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝xsinx+cosx．
（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）＝﹣x2+2ax．若對(duì)任意x1∈[﹣π，π]，存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，找出單調(diào)增區(qū)間即可；
（2）利用已知得到，從而轉(zhuǎn)化為求解兩個(gè)函數(shù)的最大值即可．
【解答】解：（1）由已知有：f′（x）＝xcosx，令f′（x）＞0，解得，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：；
（2）由已知有：，
對(duì)于f（x）：f′（x）＝xcosx，∵x∈[﹣π，π]，
當(dāng)或者時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)或者時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
，故f（x）在[﹣π，π]的最大值為，
故，即g（x）在[0，1]的最大值大于等于，
對(duì)于g（x）：g（x）為關(guān)于x的二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸為x＝a，
①當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）在[0，1]的最大值為g（0）＝0≥不滿足題意；
②當(dāng)0≤a≤1時(shí)，g（x）在[0，1]的最大值為g（a）＝，解得，
③當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）在[0，1]的最大值為g（1）＝2a﹣1，解得：a＞1
綜上所述：a的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)最值，屬于基中檔題．
21．（15分）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．對(duì)集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定義T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），當(dāng)正整數(shù)n≥2時(shí)，定義T（α）＝T（Tn﹣1（α））（約定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）滿足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能結(jié)果；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)n使得對(duì)任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，說明理由．
【分析】（I）根據(jù)定義依次寫出Tn（α），n∈{1，2，3，4}、Tn（β），n∈{1，2，3，4\}即可得結(jié)果．
（II）由題設(shè)T（α）有（1，0，1，0）或（0，1，0，1），再依據(jù)定義確定α的所有可能結(jié)果；
（III）由定義得T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），依次寫出Tn（α）直到Tn（α）＝（0，0，0，0）即可判斷存在性，并確定n的所有取值．
【解答】解：（I）由題意T（α）＝（2，2，1，1），T2（α）＝（0，1，0，1），T3（α）＝（1，1，1，1），T4（α）＝（0，0，0，0），
T（β）＝（2，2，0，0），T2（β）＝（0，2，0，2），T3（β）＝（2，2，2，2），T4（β）＝（0，0，0，0），
（II）由T2（α）＝（1，1，1，1）且xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4），|x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝1，
同理，x2＝0或1時(shí)，||x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝|x1﹣x3|＝1，
x3＝0或1時(shí)，||x2﹣x3|﹣|x3﹣x4||＝|x2﹣x4|＝1，
x4＝0或1時(shí)，||x3﹣x4|﹣|x4﹣x1||＝|x1﹣x3|＝1，
所以（1）等價(jià)于，則x1≠x3，x2≠x4，
當(dāng)x1＝0，x2＝0，則α為（0，0，1，1）滿足；
當(dāng)x1＝0，x2＝1，則α為（0，1，1，0）滿足，
當(dāng)x1＝1，x2＝0，則α為（1，0，0，1）滿足，
當(dāng)x1＝1，x2＝1，則α為（1，1，0，0）滿足，
綜上，α的所有可能結(jié)果（1，0，0，1）、（0，1，1，0）、（1，1，0，0）、（0，0，1，1）．
（III）存在正整數(shù)n使Tn（α）＝（0，0，0，0）且{n∈N*|n≥6}，理由如下：
由α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3），則T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），
所以T2（α）＝（|x1+x3﹣2x2|，x2﹣x4，|x1+x3﹣2x4|，x2﹣x4），
若a＝|x1+x3﹣2x2|，b＝|x1+x3﹣2x4|，
所以T3（α）＝（|x2﹣x4﹣a|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣a|），
若c＝|x2﹣x4﹣a|﹣|x2﹣x4﹣b||，則T4（α）＝（c，0，c，0），T5（α）＝（c，c，c，c），T6（α）＝（0，0，0，0），
所以，對(duì)α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有T6（α）＝（0，0，0，0），
當(dāng)n≥7時(shí)，Tn（α）＝（0，0，0，0）恒成立，
綜上，n所有取值為{，n∈N*|n≥6使Tn（α）＝（0，0，0，0）成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的新定義，考查學(xué)生的推理運(yùn)算能力，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/8/4 19:11:14；用戶：李超；郵箱：lichao317807156@126.com；學(xué)號(hào)：19716718

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