?2022年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜0或x＞1}，則?RA＝（　?。?br /> A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1}
2．（4分）在（1﹣2x）3的展開式中，x的系數(shù)為（　?。?br /> A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
3．（4分）已知雙曲線C：的漸近線經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則雙曲線的離心率為（　?。?br /> A． B． C．2 D．
4．（4分）已知x，y∈R，且x+y＞0，則（　　）
A．+＞0 B．x3+y3＞0 C．lg（x+y）＞0 D．sin（x+y）＞0
5．（4分）若f（x）＝是奇函數(shù)，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＝1，b＝﹣1 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝1 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣1
6．（4分）已知F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，?）在拋物線上．若|Pn+1F|﹣|PnF|＝1，則（　?。?br /> A．{xn}是等差數(shù)列 B．{xn}是等比數(shù)列
C．{yn}是等差數(shù)列 D．{yn}是等比數(shù)列
7．（4分）已知向量＝（1，0），＝（﹣1，）．若＜，＞＝＜，＞，則可能是（　?。?br /> A． B． C． D．
8．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則“f（x）是R上的增函數(shù)”是“任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）無零點(diǎn)”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
9．（4分）從物理學(xué)知識可知，圖中彈簧振子中的小球相對平衡位置的位移y與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系符合函數(shù)y＝Asin（ωt+φ）（|ω|＜100）．從某一時(shí)刻開始，用相機(jī)的連拍功能給彈簧振子連拍了20張照片．已知連拍的間隔為0.01s，將照片按拍照的時(shí)間先后順序編號，發(fā)現(xiàn)僅有第5張、第13張、第17張照片與第1張照片是完全一樣的，請寫出小球正好處于平衡位置的所有照片的編號為（　　）

A．9，15 B．6，18 C．4，11，18 D．6，12，18
10．（4分）在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，E為棱DC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為線段B'E的中點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①B'E⊥AD'；
②直線D'F與平面ABB'A'的夾角不變；
③點(diǎn)F到直線AB的距離不變；
④點(diǎn)F到A，D，D'，A'四點(diǎn)的距離相等．
其中，所有正確結(jié)論的序號為（　　）

A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．（5分）已知a，b均為實(shí)數(shù)．若b+i＝i（a+i），則a+b＝　 ?。?br /> 12．（5分）不等式的解集為 　 ?。?br /> 13．（5分）已知圓：C：x2+y2+2x＝0，則圓C的半徑為 　 ??；若直線y＝kx被圓C截得的弦長為1，則k＝　 ?。?br /> 14．（5分）已知f（x）＝sinx+cosx的圖象向右平移a（a＞0）個(gè)單位后得到g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的最大值為 　 ?。蝗鬴（x）+g（x）的值域?yàn)閧0}，則a的最小值為 　 ?。?br /> 15．（5分）在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的．選用正實(shí)數(shù)數(shù)列{an}，{bn}分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：an+1＝2an+bn，bn+1＝an+2bn（n＝1，2，?），描述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演化過程．若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿足a1＞b1，則在該模型中，關(guān)于兩組信息，給出如下結(jié)論：
①?n∈N*，an＞bn；
②?n∈N*，an+1＞an，bn+1＞bn；
③?k∈N*，使得當(dāng)n＞k時(shí)，總有|；
④?k∈N*，使得當(dāng)n＞k時(shí)，總有|．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 　 ?。?br /> 三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
16．（14分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝2，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DC∥平面ABE；
（Ⅱ）求DC到平面ABE的距離．

17．（13分）在△ABC中，7a＝6bcosB．
（Ⅰ）若sinA＝，求∠B的值；
（Ⅱ）若c＝8，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在．求△ABC的面積．
條件①：sinA＝；
條件②：sinB＝．
18．（14分）PMI值是國際上通行的宏觀經(jīng)濟(jì)監(jiān)測指標(biāo)之一，能夠反映經(jīng)濟(jì)的變化趨勢．如圖是國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的某年12個(gè)月的制造業(yè)和非制造業(yè)PMI值趨勢圖．將每連續(xù)3個(gè)月的PMI值作為一個(gè)觀測組，對國家經(jīng)濟(jì)活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)測和預(yù)測．

（Ⅰ）現(xiàn)從制造業(yè)的10個(gè)觀測組中任取一組，
（?。┣蠼M內(nèi)三個(gè)PMI值至少有一個(gè)低于50.0的概率；
（ⅱ）若當(dāng)月的PMI值大于上一個(gè)月的PMI值，則稱該月的經(jīng)濟(jì)向好．設(shè)X表示抽取的觀測組中經(jīng)濟(jì)向好的月份的個(gè)數(shù)（由已有數(shù)據(jù)知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）用bj（j＝1，2，…，12）表示第j月非制造業(yè)所對應(yīng)的PMI值，表示非制造業(yè)12個(gè)月PMI值的平均數(shù)，請直接寫出|bj﹣|取得最大值所對應(yīng)的月份．
19．（14分）橢圓M：+＝1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A（﹣2，0），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知經(jīng)過點(diǎn)（0，）的直線l交橢圓M于B，C兩點(diǎn)，D是直線x＝﹣4上一點(diǎn)．若四邊形ABCD為平行四邊形，求直線l的方程．
20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝ln+．
（Ⅰ）當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＝﹣時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）≥恒成立，求a的取值范圍．
21．（15分）已知有限數(shù)列{an}共M項(xiàng)（M≥4），其任意連續(xù)三項(xiàng)均為某等腰三角形的三邊長，且這些等腰三角形兩兩均不全等．將數(shù)列{an}的各項(xiàng)和記為S．
（Ⅰ）若an∈{1，2}（n＝1，2，?，M），直接寫出M、S的值；
（Ⅱ）若an∈{1，2，3}（n＝1，2，?，M），求M的最大值；
（Ⅲ）若an∈N+（n＝1，2，…，M），M＝16，求S的最小值．

2022年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜0或x＞1}，則?RA＝（　　）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1}
【分析】利用補(bǔ)集定義不等式性質(zhì)直接求解．
【解答】解：集合A＝{x|x＜0或x＞1}，
則?RA＝{x|0≤x≤1}．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查補(bǔ)集的求法，考查補(bǔ)集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．（4分）在（1﹣2x）3的展開式中，x的系數(shù)為（　?。?br /> A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
【分析】求出展開式中含x的項(xiàng)，由此即可求解．
【解答】解：展開式中含x的項(xiàng)為C＝﹣6x，
所以x的系數(shù)為﹣6，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）已知雙曲線C：的漸近線經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則雙曲線的離心率為（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】利用雙曲線漸近線經(jīng)過的點(diǎn)，得到a、b關(guān)系，然后求解離心率即可．
【解答】解：雙曲線C：的漸近線經(jīng)過點(diǎn)（1，2），
可得b＝2a，
所以雙曲線的離心率e＝＝＝．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．
4．（4分）已知x，y∈R，且x+y＞0，則（　?。?br /> A．+＞0 B．x3+y3＞0 C．lg（x+y）＞0 D．sin（x+y）＞0
【分析】利用不等式的性質(zhì)和通過舉反例進(jìn)行排除即可得到．
【解答】解：對于A，當(dāng)x＝10，y＝﹣1時(shí)，x+y＞0，但＝﹣＜0，故A錯(cuò)誤；
對于B，x，y∈R，且x+y＞0，x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（x+y）[（x﹣）2+]＞0，故B正確；
對于C，當(dāng)x+y＝0.1＞0時(shí)，lg（x+y）＜0，故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)x+y＝＞0時(shí)，sin（x+y）＝sin＝﹣1＜0，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
5．（4分）若f（x）＝是奇函數(shù)，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＝1，b＝﹣1 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝1 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣1
【分析】利用奇函數(shù)的定義計(jì)算即可．
【解答】解：因?yàn)閒（x）＝是奇函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝﹣bx﹣1，
即﹣f（x）＝﹣bx﹣1，
所以f（x）＝bx+1，
又因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝x+a，
所以x+a＝bx+1，
所以a＝1，b＝1．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了奇函數(shù)的定義及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，?）在拋物線上．若|Pn+1F|﹣|PnF|＝1，則（　?。?br /> A．{xn}是等差數(shù)列 B．{xn}是等比數(shù)列
C．{yn}是等差數(shù)列 D．{yn}是等比數(shù)列
【分析】由拋物線的性質(zhì)可得|PnF|＝xn+1，從而可得xn+1﹣xn＝1，yn+12﹣yn2＝4（xn+1﹣xn）＝4，可得答案．
【解答】解：∵點(diǎn)Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，?）在拋物線上．
∴|PnF|＝xn+1，由|Pn+1F|﹣|PnF|＝1，可得xn+1+1﹣（xn+1）＝1，
∴xn+1﹣xn＝1，
∴{xn}是等差數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；
yn+12﹣yn2＝4（xn+1﹣xn）＝4，∴{yn2}是等差數(shù)列，故CD錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的性質(zhì)，屬中檔題．
7．（4分）已知向量＝（1，0），＝（﹣1，）．若＜，＞＝＜，＞，則可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)的是否滿足cos＜，＞＝cos＜，＞，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對于A，＝2﹣＝（3，﹣），則cos＜，＞＝＝，cos＜，＞＝＝﹣，有cos＜，＞≠cos＜，＞，＜，＞≠＜，＞，不符合題意；
對于B，＝+＝（0，），則cos＜，＞＝＝0，cos＜，＞＝＝，有cos＜，＞≠cos＜，＞，＜，＞≠＜，＞，不符合題意；
對于C，＝2+＝（1，），則cos＜，＞＝＝，cos＜，＞＝＝，有cos＜，＞＝cos＜，＞，必有＜，＞＝＜，＞，符合題意；
對于D，＝+＝（﹣1，），則cos＜，＞＝＝，cos＜，＞＝＝，有cos＜，＞≠cos＜，＞，＜，＞≠＜，＞，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
8．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則“f（x）是R上的增函數(shù)”是“任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）無零點(diǎn)”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)及其方程根的關(guān)系結(jié)合充分必要條件的判定得答案．
【解答】解：若f（x）是R上的增函數(shù)，則a＞0時(shí)，f（x+a）＞f（x）成立，
即y＝f（x+a）﹣f（x）＞0，任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）無零點(diǎn)，充分性成立．
若任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）無零點(diǎn)，則函數(shù)f（x）不一定為增函數(shù)，
反之對于任意a＞0，f（x+a）＜f（x），即y＝f（x+a）﹣f（x）＜0，滿足y＝f（x+a）﹣f（x）無零點(diǎn)，但f（x）為R上的減函數(shù)，必要性不成立．
即“f（x）是R上的增函數(shù)”是“任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）無零點(diǎn)”的充分而不必要條件，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定及其應(yīng)用，考查充分必要條件的判定，是基礎(chǔ)題．
9．（4分）從物理學(xué)知識可知，圖中彈簧振子中的小球相對平衡位置的位移y與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系符合函數(shù)y＝Asin（ωt+φ）（|ω|＜100）．從某一時(shí)刻開始，用相機(jī)的連拍功能給彈簧振子連拍了20張照片．已知連拍的間隔為0.01s，將照片按拍照的時(shí)間先后順序編號，發(fā)現(xiàn)僅有第5張、第13張、第17張照片與第1張照片是完全一樣的，請寫出小球正好處于平衡位置的所有照片的編號為（　?。?br />
A．9，15 B．6，18 C．4，11，18 D．6，12，18
【分析】求得函數(shù)的周期，可得ω，推得當(dāng)t＝0.09s時(shí)，y取得最值，求得φ，再令y＝0，可得所求結(jié)論．
【解答】解：由題意可得13﹣1＝12，17﹣5＝12，
則T＝12×0.01＝0.12，
所以ω＝＝，
又＝＝9，可得當(dāng)t＝0.09s時(shí)，y取得最值．
代入y＝Asin（ωt+φ），可得sin（×0.09+φ）＝±1，
解得φ＝kπ，k∈Z，
所以y＝Asin（t+kπ），k∈Z，
令y＝0，可得t+kπ＝mπ，k∈Z，
則t＝0，0.06，0.12，0.18，...．
所以小球正好處于平衡位置的所有照片的編號為6，12，18．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的解析式的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．（4分）在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，E為棱DC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為線段B'E的中點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①B'E⊥AD'；
②直線D'F與平面ABB'A'的夾角不變；
③點(diǎn)F到直線AB的距離不變；
④點(diǎn)F到A，D，D'，A'四點(diǎn)的距離相等．
其中，所有正確結(jié)論的序號為（　　）

A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④
【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．
【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)正方體ABCD﹣A'B'C'D'中棱長為2，設(shè)DE＝a（0≤a≤2，
則E（0，a，0），B′（2，2，2），A（ 2，0，0），D′（0，0，2），F(xiàn)（1，，1），B（ 2，2，0），D（0，0，0），A′（2，0，2），
對于①，＝（﹣2，a﹣2，﹣2），＝（﹣2，0，2），＝4+0+4＝0，∴B'E⊥AD'，故①正確；
對于②，＝（1，），平面ABB'A'的法向量＝（1，0，0），
設(shè)直線D'F與平面ABB'A'的夾角為θ，
則sinθ＝＝，∵0≤a≤2，∴θ不是定值，故②錯(cuò)誤；
對于③，＝（﹣1，，1），＝（0，2，0），
點(diǎn)F到直線AB的距離d＝||?＝?＝，
∴點(diǎn)F到直線AB的距離不變，故③正確；
對于④，|AF|＝＝，
|DF|＝＝，
|D′F|＝＝，
|A′F|＝＝，
∴點(diǎn)F到A，D，D'，A'四點(diǎn)的距離相等，故④正確．
故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查命題題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．（5分）已知a，b均為實(shí)數(shù)．若b+i＝i（a+i），則a+b＝　0　．
【分析】由復(fù)數(shù)相等的條件求得a與b的值，則答案可求．
【解答】解：由b+i＝i（a+i）＝﹣1+ai，得b＝﹣1，a＝1，
∴a+b＝0．
故答案為：0．
【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．
12．（5分）不等式的解集為 ?。ī仭?，0）?。?br /> 【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．
【解答】解：∵，
∴＞，
∴x＜0，
∴不等式的解集為（﹣∞，0），
故答案為：（﹣∞，0）．
【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）已知圓：C：x2+y2+2x＝0，則圓C的半徑為 　1　；若直線y＝kx被圓C截得的弦長為1，則k＝　±　．
【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可求半徑，利用圓中的弦長，半徑，圓心距可求k的值．
【解答】解：由x2+y2+2x＝0，得（x+1）2+y2＝1，
所以圓心C（﹣1，0），半徑r＝1，
圓心C到直線y＝kx的距離為d＝，
又直線y＝kx被圓C截得的弦長為1，
∴（）2+（）2＝1，解得k＝±．
故答案為：1；±．
【點(diǎn)評】本題考查圓的方程與直線與圓位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知f（x）＝sinx+cosx的圖象向右平移a（a＞0）個(gè)單位后得到g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的最大值為 　　；若f（x）+g（x）的值域?yàn)閧0}，則a的最小值為 　π?。?br /> 【分析】f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+），其圖像向右平移a（a＞0）個(gè)單位后得到g（x）＝sin（x﹣a+），可確定其最大值；
f（x）+g（x）＝sin（x+）+sin（x﹣a+），其值域?yàn)閧0}，可知f（x）+g（x）＝0，則可確定a的最小值．
【解答】解：f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+），其圖像向右平移a（a＞0）個(gè)單位后得到g（x）＝sin（x﹣a+），可知其最大值為；
f（x）+g（x）＝sin（x+）+sin（x﹣a+），其值域?yàn)閧0}，可知f（x）+g（x）＝0，所以sin（x﹣a+）＝﹣sin（x+），則可得a的最小值為π．
故答案為：；π．
【點(diǎn)評】本題考查三角恒等變換、誘導(dǎo)公式及平移變換，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及直觀想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的．選用正實(shí)數(shù)數(shù)列{an}，{bn}分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：an+1＝2an+bn，bn+1＝an+2bn（n＝1，2，?），描述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演化過程．若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿足a1＞b1，則在該模型中，關(guān)于兩組信息，給出如下結(jié)論：
①?n∈N*，an＞bn；
②?n∈N*，an+1＞an，bn+1＞bn；
③?k∈N*，使得當(dāng)n＞k時(shí)，總有|；
④?k∈N*，使得當(dāng)n＞k時(shí)，總有|．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 ?、佗冖邸。?br /> 【分析】由an+1﹣bn+1＝an﹣bn，得an﹣bn＝a1﹣b1＞0即可判斷①；an+1﹣an＝an+bn，bn+1﹣bn＝an+bn，可判斷②；|﹣1|＝||，可得n→+∞時(shí)，→0，可判斷③；|﹣2|＝|1﹣|，當(dāng)n→+∞時(shí)，1﹣→1，可判斷④．
【解答】解：因?yàn)閍n+1＝2an+bn，bn+1＝an+2bn（n＝1，2，?），兩式作差得an+1﹣bn+1＝2an+bn﹣an+2bn＝an﹣bn，
故{an﹣bn}為常數(shù)列，即an﹣bn＝a1﹣b1＞0，故?n∈N*，an＞bn；故①正確；
因?yàn)閍n+1﹣an＝an+bn，bn+1﹣bn＝an+bn，又?jǐn)?shù)列{an}，{bn}為正實(shí)數(shù)數(shù)列，
故an+bn＞0，故an+1＞an，bn+1＞bn＞0，故②正確；
由上可知|﹣1|＝||＝||，因?yàn)閍1﹣b1為常數(shù)，{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列，
故當(dāng)n→+∞時(shí)，→0，又10﹣10＞0，故?k∈N*，使得當(dāng)n＞k時(shí)，總有|；故③正確；
|﹣2|＝||＝||，又an﹣bn＝a1﹣b1＞0，故|﹣2|＝||＝||＝||＝|1﹣|，
因?yàn)閍1﹣b1為常數(shù)，{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，故當(dāng)n→+∞時(shí)，→0，1﹣→1，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．
【點(diǎn)評】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式推得數(shù)列中的項(xiàng)的特征，解題中還要注意函數(shù)知識在求解問題中的重要性，屬難題．
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
16．（14分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝2，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DC∥平面ABE；
（Ⅱ）求DC到平面ABE的距離．

【分析】（I）利用線線平行證明線面平行即可；
（II）取BC的中點(diǎn)M，連接AC，可證AM⊥AD，以A為原點(diǎn)，AM，AD，AP為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量示求點(diǎn)C到平面ABE的距離即可求DC到平面ABE的距離．
【解答】（I）證明：∵底面ABCD是邊長為2的菱形，
∴CD∥AB，∵AB?平面ABE，CD?平面ABE，
∴DC∥平面ABE；
（II）解：取BC的中點(diǎn)M，連接AC，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，
△ACB是正三角形，所以AM⊥CB，∴AM⊥AD，
以A為原點(diǎn)，AM，AD，AP為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），P（0，0，2），E（，，1）
∴＝（，﹣1，0），＝（，，1）
設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），
則，令x＝，則y＝3，z＝﹣3，
所以面ABE的一個(gè)法向量為＝（，3，﹣3），
又＝（，1，0），
所以C到平面ABE的距離為＝＝．
∴DC到平面ABE的距離為．

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，以及線到面的距離的求法，屬中檔題．
17．（13分）在△ABC中，7a＝6bcosB．
（Ⅰ）若sinA＝，求∠B的值；
（Ⅱ）若c＝8，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在．求△ABC的面積．
條件①：sinA＝；
條件②：sinB＝．
【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式即可求解．
（Ⅱ）若選條件①：由正弦定理以及二倍角公式化簡可得sin2B＝＞1，可得△ABC不存在；
若選條件②：由題意可得cosB＝＞0，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB，利用余弦定理可求a的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得7sinA＝6sinBcosB＝3sin2B，
又sinA＝，
可得sin2B＝1，
因?yàn)锽∈（0，π），
所以2B＝，即B＝．
（Ⅱ）若選條件①：由正弦定理可得7sinA＝6sinBcosB＝3sin2B，
又sinA＝，
所以sin2B＝＞1，此時(shí)△ABC不存在；
若選條件②：由cosB＝＞0，
又sinB＝，可得cosB＝＝，可得7a＝3b，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得（）2＝a2+64﹣8a，解得a＝3或a＝﹣（舍去），
所以△ABC的面積S＝acsinB＝6．
【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理，二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
18．（14分）PMI值是國際上通行的宏觀經(jīng)濟(jì)監(jiān)測指標(biāo)之一，能夠反映經(jīng)濟(jì)的變化趨勢．如圖是國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的某年12個(gè)月的制造業(yè)和非制造業(yè)PMI值趨勢圖．將每連續(xù)3個(gè)月的PMI值作為一個(gè)觀測組，對國家經(jīng)濟(jì)活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)測和預(yù)測．

（Ⅰ）現(xiàn)從制造業(yè)的10個(gè)觀測組中任取一組，
（?。┣蠼M內(nèi)三個(gè)PMI值至少有一個(gè)低于50.0的概率；
（ⅱ）若當(dāng)月的PMI值大于上一個(gè)月的PMI值，則稱該月的經(jīng)濟(jì)向好．設(shè)X表示抽取的觀測組中經(jīng)濟(jì)向好的月份的個(gè)數(shù)（由已有數(shù)據(jù)知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）用bj（j＝1，2，…，12）表示第j月非制造業(yè)所對應(yīng)的PMI值，表示非制造業(yè)12個(gè)月PMI值的平均數(shù)，請直接寫出|bj﹣|取得最大值所對應(yīng)的月份．
【分析】（Ⅰ）（i）根據(jù)已知條件寫出基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的計(jì)算公式即可求解；
（ii）根據(jù)已知條件寫出隨機(jī)變量X的取值求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而得出分布列，根據(jù)分布列及數(shù)學(xué)期望的公式即可求解；
（Ⅱ）根據(jù)已知條件求出，結(jié)合某年12個(gè)月的非制造業(yè)PMI值趨勢圖即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）（i）從制造業(yè)的10個(gè)觀測組中任取一組的基本事件有：
（51.3，50.6，51.9），（50.6，51.9，51.1），（51.9，51.1，51），（51.1，51，50.9），（51，50.9，50.4），
（50.9，50.4，50.1），（50.4，50.1，49.6），（50.1，49.6，49.2），（49.6，49.2，50.1），（49.2，50.1，50.3），共有10個(gè)，
設(shè)“組內(nèi)三個(gè)PMI值至少有一個(gè)低于50.0”為事件A，則事件A包含的結(jié)果有：
（50.4，50.1，49.6），（50.1，49.6，49.2），（49.6，49.2，50.1），（49.2，50.1，50.3）共4個(gè)，
由古典概型的計(jì)算公式，得；
（ii）X的可能取值為0，1，2，
，
X的分布列為：
X
0
1
2
P



所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）8月份，理由如下：
由某年12個(gè)月的非制造業(yè)PMI值趨勢圖中的數(shù)據(jù)，得
，
根據(jù)某年12個(gè)月的非制造業(yè)PMI值趨勢圖，可知
當(dāng)j＝8時(shí)，取得最大值為．
【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題．
19．（14分）橢圓M：+＝1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A（﹣2，0），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知經(jīng)過點(diǎn)（0，）的直線l交橢圓M于B，C兩點(diǎn)，D是直線x＝﹣4上一點(diǎn)．若四邊形ABCD為平行四邊形，求直線l的方程．
【分析】（Ⅰ）由左頂點(diǎn)及離心率的值，可得a，c的值，進(jìn)而求出b的值，求出橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)D的坐標(biāo)，可得直線AD的斜率及|AD|的值，由四邊形為平行四邊形可得直線AD，BC的斜率相等，由直線BC過點(diǎn)（0，），可得直線BC的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出弦長|BC|的值，由|AD|＝|BC|可得參數(shù)的值，當(dāng)直線BC的斜率為0時(shí)，可得直線BC的方程，與橢圓聯(lián)立，求出B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的斜率及弦長|AB|的值，由四邊形ABCD為平行四邊形，可得AD∥BC，可得D（﹣4，0），可得直線CD的斜率及|CD|的長，符合平行四邊形的性質(zhì)，求出直線BC的方程．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為A（﹣2，0），則a＝2，離心率為，即e＝＝，
所以c＝，b2＝a2﹣c2＝1，
所以橢圓的方程為：+y2＝1；
（Ⅱ）設(shè)D（﹣4，t），B（x1，y1），C（x2，y2），
又A（﹣2，0），由四邊形ABCD為平行四邊形，所以直線AD∥BC，
kBC＝kAD＝＝﹣，所以直線BC的方程為：y＝﹣x+，
聯(lián)立，整理可得：（1+t2）x2﹣2x﹣1＝0，
Δ＞0顯然成立，且x1+x2＝，x1x2＝﹣，
則|BC|＝?＝?，而|AD|＝，
所以＝?，解得：t＝±，
所以直線l的方程為：y＝±x+．
當(dāng)直線BC的斜率為0時(shí)，則直線BC的方程為y＝，代入橢圓+y2＝1中，可得x＝±1，
B（1，），C（﹣1，），則直線AB的斜率為k＝＝，且|AB|＝＝，
也為四邊形ABCD為平行四邊形，所以可得AD∥BC，即D（﹣4，0），可得直線CD的斜率＝＝kAB
即D（﹣4，0），則|CD|＝＝＝|AB|，所以四邊形ABCD也為平行四邊形，
綜上所述直線BC的方程為：y＝±x+或y＝．
【點(diǎn)評】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝ln+．
（Ⅰ）當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＝﹣時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）≥恒成立，求a的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）直接計(jì)算f（﹣1），求導(dǎo)計(jì)算f′（﹣1），寫出切線方程即可；
（Ⅱ）直接求導(dǎo)確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，寫出單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）先根據(jù)必要性得到f（﹣1）＝﹣a，再證明當(dāng)a時(shí)，f（x）＝ln+≥ln﹣，結(jié)合（Ⅱ）中單調(diào)性證得f（x）≥，即滿足充分性，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln+（x＜1且x≠0），
∴f'（x）＝﹣×﹣＝﹣，
當(dāng)a＝0時(shí)，f'（x）＝，f′（﹣1）＝﹣，
f（x）＝ln，f（﹣1）＝0，
故曲線y＝f（x）在點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為y＝﹣（x+1），即x+2y+1＝0；
（Ⅱ）易得定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，1），
當(dāng)a＝﹣時(shí)，f′（x）＝+＝，
令f′（x）＝0，得x＝或x＝﹣1，
當(dāng)x＜﹣1或＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)﹣1＜x＜0或0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
故f（x）的單增區(qū)間為（﹣1，0），（0，）；單減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（，1）；
（Ⅲ）“f（﹣1）＝﹣a，即a”是“當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）≥恒成立”的必要條件．
當(dāng)a，x＜0時(shí)，f（x）＝ln+≥ln﹣，
令g（x）＝ln﹣，
由（Ⅱ）知，g（x）在（﹣∞，﹣1）單調(diào)遞減，在（﹣1，0）單調(diào)遞增，
故g（x）≥g（﹣1）＝，
即f（x）≥g（x），
所以a的取值范圍是（﹣∞，﹣]．
【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于中檔題．
21．（15分）已知有限數(shù)列{an}共M項(xiàng)（M≥4），其任意連續(xù)三項(xiàng)均為某等腰三角形的三邊長，且這些等腰三角形兩兩均不全等．將數(shù)列{an}的各項(xiàng)和記為S．
（Ⅰ）若an∈{1，2}（n＝1，2，?，M），直接寫出M、S的值；
（Ⅱ）若an∈{1，2，3}（n＝1，2，?，M），求M的最大值；
（Ⅲ）若an∈N+（n＝1，2，…，M），M＝16，求S的最小值．
【分析】（Ⅰ）直接列舉出數(shù)列{an}，即可求得M，S；
（Ⅱ）先構(gòu)造數(shù)列使M＝8，再說明不同的等腰三角形只有6個(gè)，故M≤6+2＝8，即可求得M的最大值；
（Ⅲ）先構(gòu)造數(shù)列使S＝50，再設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，得3S＝T+2a1+2a16+a2+a15，列舉出不同的等腰三角形，使T和2a1+2a16+a2+a15最小，進(jìn)而得到S≥50，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）邊長為1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2，
若前三項(xiàng)為1，1，1，則該數(shù)列只有3項(xiàng)，不合題意，
若前三項(xiàng)為1，2，2，該數(shù)列只有4項(xiàng)，該數(shù)列只能為1，2，2，2，
若前三項(xiàng)為2，2，2，該數(shù)列只有4項(xiàng)，該數(shù)列只能為2，2，2，1，
綜上：M＝4，S＝7；
（Ⅱ）①構(gòu)造數(shù)列：1，2，2，2，3，3，3，1，此時(shí)M＝8；
②當(dāng)存在連續(xù)三項(xiàng)為1，1，1時(shí)，本題中有兩條邊為1，1的等腰三角形僅有1，1，1，即數(shù)列只有3項(xiàng)，與M≥4矛盾，舍去；
③當(dāng)不存在連續(xù)三項(xiàng)為1，1，1時(shí)，連續(xù)三項(xiàng)（不考慮這三項(xiàng)的順序）共以下6種可能：
1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3；
又相鄰的4項(xiàng)組成的2個(gè)等腰三角形中間2項(xiàng)是共用的，則總的項(xiàng)數(shù)為不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)加上首尾2項(xiàng)，所以M≤6+2＝8，
④由①②③，M的最大值為8；
（Ⅲ）①構(gòu)造數(shù)列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此時(shí)S＝50；
②設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，則T＝（a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+?+（a13+a14+a15）+（a14+a15+a16）
＝3（a1+a2+?+a15+a16）﹣2a1﹣a2﹣a15﹣2a16，即3S＝T+2a1+2a16+a2+a15；
③連續(xù)三項(xiàng)（不考慮這三項(xiàng)的順序）及這三項(xiàng)的和（標(biāo)注在下面的括號內(nèi)）有以下可能：
[2，2，1（5）]；2，2，2（6）；2，2，3（7）；
[3，3，1（7）]；3，3，2（8）；3，3，3（9）；?；3，3，5（1l）；
[4，4，1（9）；4，4，2（10）]；4，4，3（11）；?；4，4，7（15）；
[5，5，1（11）；5，5，2（12）]；5，5，3（13）；?；5，5，9（19）；
[6，6，1（13）；6，6，2（14）；6，6，3（15）]；?；6，6，11（23）；
其中帶[]的連續(xù)三項(xiàng)不能同時(shí)滿足和前一項(xiàng)、后一項(xiàng)構(gòu)成3個(gè)等腰三角形，故必為數(shù)列的首三項(xiàng)或尾三項(xiàng)，
故其對應(yīng)的三角形在14個(gè)三角形中至多出現(xiàn)兩個(gè)；
④由③，要使最小，則使T和2a1+2a16+a2+a15最小，在畫橫線的連續(xù)三項(xiàng)中取和最小的2組，
在沒帶[]的連續(xù)三項(xiàng)中取合最小的12組，同時(shí)令a1＝1，a16＝1，a2＝2，a15＝3，
則T≥（5+7）+（6+7+8+9+10+11+11+12+13+13+14+14）＝140，
2a1+2a16+a2+a15≥2×1+2×1+2+3＝9，又由（2），3S≥140+9＝149，
所以S≥50；
⑤由①④，S的最小值為50．
【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/5/15 15:49:59；用戶：高中數(shù)學(xué)01；郵箱：pdsw9@xyh.com；學(xué)號：21616314

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