培優(yōu)點18　隱圓問題隱圓問題近幾年在各地?？己透呖嫉奶羁疹}和解答題中都出現(xiàn)過，難度為中、高檔題．在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中的，要通過分析、轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而最終利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓”問題．例1　(1)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m,0)，且m>0.若圓C上存在一點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值是(　　)A．7  B．6  C．5  D．4答案　B解析　如圖所示，圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半徑為1，|OC|＝5，所以圓C上的點到點O距離的最大值為6，最小值為4，由∠APB＝90°可得，以AB為直徑的圓和圓C有交點，連接OP，故|PO|＝|AB|＝m，故4≤m≤6.所以m的最大值是6.(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓x2＋y2＝1交x軸于A，B兩點，且點A在點B的左側(cè)，若直線x＋y＋m＝0上存在點P，使得|PA|＝2|PB|，則m的取值范圍為________．答案　解析　由題意得A(－1,0)，B(1,0)，設(shè)P(x，y)，則由|PA|＝2|PB|，得＝2，即2＋y2＝，因此圓2＋y2＝與直線x＋y＋m＝0有交點，即 ≤，解得－≤m≤1.故m的取值范圍為.例2　(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(－12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2＋y2＝50上，若·≤20，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是(　　)A．[0，]   B．[－5，1]C．[－，]   D．[－2,0]答案　B解析　設(shè)P(x，y)，由·≤20可得(x＋6)2＋(y－3)2≤65，則點P為圓O在圓(x＋6)2＋(y－3)2＝65內(nèi)部及其上的點，聯(lián)立解得或結(jié)合圖形(圖略)可知－5≤x≤1.(2)已知等邊三角形ABC的邊長為2，點P在線段AC上，若滿足·－2λ＋1＝0的點P恰有兩個，則實數(shù)λ的取值范圍是________．答案　解析　如圖，以AB的中點O為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)，B(1,0)，設(shè)P(x，y)，則·－2λ＋1＝0，即為(－1－x)(1－x)＋y2－2λ＋1＝0，化簡得x2＋y2＝2λ(λ>0)，故所有滿足·－2λ＋1＝0的點P在以O為圓心，為半徑的圓上．過點O作OM⊥AC，垂足為點M，由題意知，線段AC與圓x2＋y2＝2λ有兩個交點，所以|OM|<≤|OA|，即<≤1，解得<λ≤.發(fā)現(xiàn)隱圓的方法(1)利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱圓．(2)在平面上給定相異兩點A，B，設(shè)點P在同一平面上且滿足|PA|＝λ|PB|，當(dāng)λ>0且λ≠1時，點P的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓．(3)兩定點A，B，動點P滿足·＝λ，確定隱圓．(4)兩定點A，B，動點P滿足|PA|2＋|PB|2是定值，確定隱圓． 1．已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得PA⊥PB，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)A．[0，]   B．[－5，1]C．[－，]   D．[－2,2]答案　D解析　由題意可知四邊形PAOB為正方形，|OP|＝，∴點P在以O為圓心，以為半徑的圓上，又P也在圓M上，∴|OM|≤2，∴a2＋4≤8，∴－2≤a≤2.2．已知圓O：x2＋y2＝5，A，B為圓O上的兩個動點，且|AB|＝2，M為弦AB的中點，C(2，a)，D(2，a＋2)．當(dāng)A，B在圓O上運動時，始終有∠CMD為銳角，則實數(shù)a的取值范圍為__________________．答案　(－∞，－2)∪(0，＋∞)解析　由題意得|OM|＝＝2，所以點M在以O為圓心，半徑為2的圓上．設(shè)CD的中點為N，則N(2，a＋1)，且|CD|＝2.因為當(dāng)A，B在圓O上運動時，始終有∠CMD為銳角，所以以O為圓心，半徑為2的圓與以N(2，a＋1)為圓心，半徑為1的圓外離，所以>3，整理得(a＋1)2>1，解得a<－2或a>0，所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2)∪(0，＋∞)．3．已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x＋2)與x軸交于點A，過l上一點P作圓C的切線，切點為T，若|PA|＝|PT|，則實數(shù)k的取值范圍是______________．答案　解析　由題意知A(－2,0)，C(2,0)，設(shè)P(x，y)，則由|PA|＝|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化簡得(x－6)2＋y2＝36，所以滿足|PA|＝|PT|的點P在以(6,0)為圓心，6為半徑的圓上，由題意知，直線y＝k(x＋2)與圓(x－6)2＋y2＝36有公共點，所以d＝≤6，解得－≤k≤.4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，點A(0,2)，若圓C上存在點M，滿足|MA|2＋|MO|2＝10，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案　[0,3]解析　設(shè)M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10，可得x2＋(y－1)2＝4，∴M點在圓x2＋(y－1)2＝4上，故圓x2＋(y－1)2＝4和圓(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切，∴1≤≤3，∴0≤a≤3. 

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