培優(yōu)點(diǎn)16　非線性回歸問(wèn)題通過(guò)變量間的相關(guān)關(guān)系對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析是數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用．其中非線性回歸問(wèn)題具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義．例　二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的A型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價(jià)格y(單位：萬(wàn)元/輛)進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)：使用年數(shù)x234567售價(jià)y201286.44.43z＝ln y3.002.482.081.861.481.10 下面是z關(guān)于x的折線圖：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)某輛A型號(hào)二手車使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為多少；(，小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字)(3)基于成本的考慮，該型號(hào)二手車的售價(jià)不得低于7 118元，請(qǐng)根據(jù)(2)求出的回歸方程預(yù)測(cè)在收購(gòu)該型號(hào)二手車時(shí)車輛的使用年數(shù)不得超過(guò)多少年．參考公式：＝＝，＝－，r＝.參考數(shù)據(jù)：iyi＝187.4，izi＝47.64，＝139，  ＝4.18，＝13.96，＝1.53，ln 1.46≈0.38，ln 0.711 8≈－0.34.解　(1)由題意，知＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，＝×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，又izi＝47.64，＝4.18，＝1.53，∴r＝＝－≈－0.99，∴z與x的相關(guān)系數(shù)大約為－0.99，說(shuō)明z與x的線性相關(guān)程度很高．(2)＝＝－≈－0.36，∴＝－ ＝2＋0.36×4.5＝3.62，∴z與x的線性回歸方程是＝－0.36x＋3.62，又z＝ln y，∴y關(guān)于x的回歸方程是＝e－0.36x＋3.62.令x＝9，得＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln 1.46≈0.38，∴≈1.46.即預(yù)測(cè)當(dāng)某輛A型號(hào)二手車使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為1.46萬(wàn)元．(3)當(dāng)≥0.711 8，即e－0.36x＋3.62≥0.711 8＝eln 0.711 8≈e－0.34時(shí)，則有－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11，因此，預(yù)測(cè)在收購(gòu)該型號(hào)二手車時(shí)車輛的使用年數(shù)不得超過(guò)11年．非線性回歸方程的求法(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3)作恰當(dāng)變換，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程．(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過(guò)相應(yīng)變換，即可得非線性回歸方程．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，于是對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． (xi－)2(wi－)2(xi－)·(yi－)(wi－)·(yi－)46.65636.8289.81.61 469108.8 注：表中wi＝，＝i.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，＝＋x與＝＋ 哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y之間的關(guān)系為＝0.2y－x，根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題．①當(dāng)年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？解　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，＝＋ 適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程模型．(2)令w＝，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程．由于＝＝＝68，＝－＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為＝100.6＋68.(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值為＝100.6＋68＝576.6，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值為＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值＝0.2×(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12，所以當(dāng)＝＝6.8，即x＝46.24時(shí)，取得最大值．故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．

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