新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分專題1 培優(yōu)點4 洛必達(dá)法則（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

培優(yōu)點4　洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則：設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足：(1)f(x)＝g(x)＝0(或∞)；(2)在U(a)內(nèi)，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3) ＝A(A可為實數(shù)，A也可以是±∞)．則＝＝A(可連續(xù)使用)．例　已知函數(shù)f(x)＝ex－1－x－ax2，當(dāng)x≥0時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解　當(dāng)x＝0時，f(x)＝0，對任意實數(shù)a都有f(x)≥0；當(dāng)x>0時，由f(x)≥0得，a≤，設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝，令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，則h′(x)＝xex－ex＋1，記φ(x)＝h′(x)，則φ′(x)＝xex>0，∴h′(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，h′(x)>h′(0)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，h(x)>h(0)＝0，∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．由洛必達(dá)法則知＝＝＝，故a≤.綜上，實數(shù)a的取值范圍是.對函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍時，大家常采用分類討論、假設(shè)反證法，但很難對參數(shù)進行討論．若采取參數(shù)與分離變量的方法，在求分離后函數(shù)的最值(值域)時會有些麻煩，如最值、極值在無意義點處，或趨于無窮．此時，利用洛必達(dá)法則．已知函數(shù)f(x)＝＋，當(dāng)x>0且x≠1時，f(x)>＋恒成立，求k的取值范圍．解　由題意，當(dāng)x>0且x≠1時，f(x)>＋恒成立等價于k<＋1－＝＋1，記g(x)＝＋1，則g′(x)＝＝；又記h(x)＝ln x＋，則h′(x)＝－＝>0，所以，當(dāng)x>0時，h′(x)≥0，h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且h(1)＝0，因此，當(dāng)x∈(0,1)時，h(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h(x)>0；即當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0；所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．由洛必達(dá)法則有g(x)＝＋1＝＋1＝0，即當(dāng)x→1時，g(x)→0.所以當(dāng)x>0且x≠1時，g(x)>0，所以k≤0.故所求k的取值范圍是(－∞，0]．