新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 培優(yōu)點12 用“不動點法”求數(shù)列的通項公式（含解析）

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培優(yōu)點12　用“不動點法”求數(shù)列的通項公式對于一個函數(shù)f(x)，我們把滿足f(m)＝m的值x＝m稱為函數(shù)f(x)的“不動點”．利用“不動點法”可以構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．例　(1)在數(shù)列{an}中，a1＝1, an＋1＝an＋1，求數(shù)列{an}的通項公式．解　設(shè)f(x)＝x＋1，令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2，∴x＝2是函數(shù)f(x)＝x＋1的不動點，∴an＋1－2＝(an－2)，∴數(shù)列{an－2}是以－1為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴an－2＝－1×n－1，∴an＝2－n－1，n∈N*.(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝，求該數(shù)列的通項公式．解　由方程x＝，得數(shù)列{an}的不動點為1和2，＝＝＝·，所以是首項為＝2，公比為的等比數(shù)列，所以＝2·n－1，解得an＝＋2＝，n∈N*. (1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不動點．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，則an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比為a的等比數(shù)列．(2)設(shè)f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有兩個相異的不動點p，q，則＝k·.1．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝－an－2，a1＝4，求數(shù)列{an}的通項公式．解　設(shè)f(x)＝－x－2，由f(x)＝x，得x＝－.∴an＋1＋＝－，又a1＝4，∴是以為首項，以－為公比的等比數(shù)列，∴an＋＝×n－1，∴an＝－＋·n－1，n∈N*.2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項公式．解　解方程x＝，化簡得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1，令＝c·，由a1＝2，得a2＝，可得c＝－，∴數(shù)列是以＝為首項，以－為公比的等比數(shù)列，∴＝·n－1，∴an＝.3．設(shè)數(shù)列{an}滿足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N*)，且a1＝1，記bn＝(n≥1)．求數(shù)列{bn}的通項公式．解　由已知得an＋1＝，由方程x＝，得不動點x1＝，x2＝.所以＝＝·，所以數(shù)列是首項為－2，公比為的等比數(shù)列，所以＝－2×n－1＝－，解得an＝.故bn＝＝，n∈N*.