[考情分析] 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上．
考點(diǎn)一 三視圖與直觀圖
核心提煉
1．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則
俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”．
2．由三視圖還原幾何體的步驟
一般先依據(jù)俯視圖確定底面，再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體．
3．S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖．
例1 (1)(2022·全國(guó)甲卷)如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為( )
A．8 B．12 C．16 D．20
答案 B
解析 三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是放倒的直四棱柱，如圖，直四棱柱的高為2，底面是上底為2，下底為4，高為2的梯形，所以體積V＝Sh＝eq \f(1,2)×(2＋4)×2×2＝12.
(2)如圖，已知用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的△ABC的直觀圖是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則原△ABC的面積為_(kāi)_______．
答案 eq \f(\r(6),2)a2
解析 如圖，過(guò)點(diǎn)C′作C′M′∥y′軸，交x′軸于點(diǎn)M′，
過(guò)點(diǎn)C′作C′D′⊥x′軸，交x′軸于點(diǎn)D′，
則C′D′＝eq \f(\r(3),2)a，∠C′M′D′＝45°，
則C′M′＝eq \f(\r(6),2)a，
所以原三角形的高CM＝eq \r(6)a，底邊長(zhǎng)為a，
其面積為S＝eq \f(1,2)×a×eq \r(6)a＝eq \f(\r(6),2)a2.
規(guī)律方法 由三視圖還原直觀圖的方法
(1)注意圖中實(shí)、虛線，分別是原幾何體中的可視線與被遮擋線．
(2)想象原形，并畫(huà)出草圖后進(jìn)行三視圖還原，把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系，與所給三視圖比較，通過(guò)調(diào)整，準(zhǔn)確畫(huà)出原幾何體．
(3)由三視圖還原直觀圖時(shí)，往往采用削體法，選定一個(gè)視圖，比如俯視圖，然后逐步削切正方體等幾何載體．
跟蹤演練1 (1)(2021·全國(guó)乙卷)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)_____(寫(xiě)出符合要求的一組答案即可)．
答案 ③④(答案不唯一，②⑤也可)
解析 根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，圖④⑤只能是俯視圖，則組成某個(gè)三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次是③④或②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示．
(2)(2022·運(yùn)城模擬)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，它的俯視圖的直觀圖是△A′B′C′，如圖2所示，其中O′A′＝O′B′， O′C′＝eq \r(3)，則該幾何體的表面積為( )
A．36＋12eq \r(3) B．24＋8eq \r(3)
C．24＋12eq \r(3) D．36＋8eq \r(3)
答案 C
解析 由俯視圖的直觀圖，可得該幾何體的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，底面積是4eq \r(3)，
由正視圖和側(cè)視圖知該幾何體是三棱錐，如圖所示，
其中SA⊥平面ABC，SA＝6，△SAB，△SAC 都是直角三角形，且S△SAB＝S△SAC＝eq \f(1,2)×SA×AB＝eq \f(1,2)×6×4＝12，
△SCB是腰長(zhǎng)為2eq \r(13)，底邊長(zhǎng)為4的等腰三角形，則S△SCB＝eq \f(1,2)×4×eq \r(?2\r(13)?2－22)＝8eq \r(3)，
所以該幾何體的表面積為24＋12eq \r(3).
考點(diǎn)二 表面積與體積
核心提煉
1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積
(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．
(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．
(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．
2．空間幾何體的體積公式
(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)．
(2)V錐＝eq \f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．
(3)V臺(tái)＝eq \f(1,3)(S上＋eq \r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下為底面面積，h為高)．
(4)V球＝eq \f(4,3)πR3(R為球的半徑)．
例2 (1)(2022·凌源模擬)五脊殿是宋代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式．如圖所示，其屋頂上有一條正脊和四條垂脊，可近似看作一個(gè)底面為矩形的五面體．若某一五脊殿屋頂?shù)恼归L(zhǎng)
4米，底面矩形的長(zhǎng)為6米，寬為4米，正脊到底面矩形的距離為2米，則該五脊殿屋頂?shù)捏w積的估計(jì)值為( )
A.eq \f(32,3) 立方米 B.eq \f(64,3) 立方米
C．32 立方米 D．64 立方米
答案 B
解析 如圖所示，將屋頂分割為一個(gè)三棱柱和兩個(gè)相同的四棱錐，
三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4，高為2的等腰三角形，三棱柱的高為4.
四棱錐的底面是長(zhǎng)為4，寬為1的矩形，其高為2，
所以V＝eq \f(1,2)×4×2×4＋2×eq \f(1,3)×4×1×2＝eq \f(64,3)(立方米)．
(2)(2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若eq \f(S甲,S乙)＝2，則eq \f(V甲,V乙)等于( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(2) C.eq \r(10) D.eq \f(5\r(10),4)
答案 C
解析 方法一 因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，
所以結(jié)合eq \f(S甲,S乙)＝2，
可知甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之比是2∶1.
不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l＝3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，
則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為6π的圓，
所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.
由勾股定理得，
h1＝eq \r(l2－r\\al(2,1))＝eq \r(5)，h2＝eq \r(l2－r\\al(2,2))＝2eq \r(2)，
所以eq \f(V甲,V乙)＝eq \f(\f(1,3)πr\\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\\al(2,2)h2)＝eq \f(4\r(5),2\r(2))＝eq \r(10).
方法二 設(shè)兩圓錐的母線長(zhǎng)為l，甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角分別為n1，n2，
則由eq \f(S甲,S乙)＝eq \f(πr1l,πr2l)＝eq \f(\f(n1πl(wèi)2,2π),\f(n2πl(wèi)2,2π))＝2，
得eq \f(r1,r2)＝eq \f(n1,n2)＝2.
由題意知n1＋n2＝2π，
所以n1＝eq \f(4π,3)，n2＝eq \f(2π,3)，
所以2πr1＝eq \f(4π,3)l，2πr2＝eq \f(2π,3)l，
得r1＝eq \f(2,3)l，r2＝eq \f(1,3)l.
由勾股定理得，h1＝eq \r(l2－r\\al(2,1))＝eq \f(\r(5),3)l，
h2＝eq \r(l2－r\\al(2,2))＝eq \f(2\r(2),3)l，
所以eq \f(V甲,V乙)＝eq \f(\f(1,3)πr\\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\\al(2,2)h2)＝eq \f(4\r(5),2\r(2))＝eq \r(10).
規(guī)律方法 空間幾何體的表面積與體積的求法
(1)公式法：對(duì)于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解．
(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體．
(3)等體積法：選擇合適的底面來(lái)求體積．
跟蹤演練2 (1)(2022·錦州質(zhì)檢)2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦使北京成為奧運(yùn)史上第一座“雙奧之城”．其中2008年北京奧運(yùn)會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館之一“水立方”搖身一變成為了“冰立方”．“冰立方”在冬奧會(huì)期間承接了冰壺和輪椅冰壺等比賽項(xiàng)目．“水立方”的設(shè)計(jì)靈感來(lái)自于威爾·弗蘭泡沫，威爾·弗蘭泡沫是對(duì)開(kāi)爾文胞體的改進(jìn)，開(kāi)爾文胞體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個(gè)頂點(diǎn)處有一個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形)，已知該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，且棱長(zhǎng)為2，則該多面體的表面積是( )
A．24(eq \r(3)＋1) B．24eq \r(3)＋6
C．48eq \r(3)＋24 D．16eq \r(3)＋8
答案 C
解析 邊長(zhǎng)為2的正方形的面積為2×2＝4，正六邊形的面積為6×eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3)，
又正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，正六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn)，
所以最多有6個(gè)正方形，最少有4個(gè)正六邊形，1個(gè)正六邊形與3個(gè)正方形相連，所以該多面體有6個(gè)正方形，正六邊形有6×4÷3＝8(個(gè))．
所以該多面體的表面積是S＝8×6eq \r(3)＋6×4＝48eq \r(3)＋24.
(2)(2022·連云港模擬)如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺(tái)的體積是( )
A.eq \f(7\r(2)π,24) B.eq \f(7\r(3)π,24) C.eq \f(7\r(2)π,12) D.eq \f(7\r(3)π,12)
答案 B
解析 如圖，設(shè)上底面的半徑為r，下底面的半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l，
則2πr＝π·1,2πR＝π·2，
解得r＝eq \f(1,2)，R＝1，
l＝2－1＝1，
h＝eq \r(l2－?R－r?2)＝eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)，
上底面面積S′＝π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(π,4)，
下底面面積S＝π·12＝π，
則該圓臺(tái)的體積為eq \f(1,3)(S＋S′＋eq \r(SS′))h＝
eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,4)＋\f(π,2)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(7\r(3)π,24).
考點(diǎn)三 多面體與球
核心提煉
求空間多面體的外接球半徑的常用方法
(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；
(2)定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．
例3 (1)(2022·煙臺(tái)模擬)如圖，三棱錐V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝VA＝2，則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為( )
A．(2－eq \r(3))∶1 B．(2eq \r(3)－3)∶1
C．(eq \r(3)－1)∶3 D．(eq \r(3)－1)∶2
答案 C
解析 因?yàn)閂A⊥底面ABC，AB，AC?底面ABC，
所以VA⊥AB，VA⊥AC，
又因?yàn)椤螧AC＝90°，
所以AB⊥AC，而AB＝AC＝VA＝2，
所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)的棱，可以看成正方體中共頂點(diǎn)的長(zhǎng)、寬、高，因此該三棱錐外接球的半徑
R＝eq \f(1,2)×eq \r(22＋22＋22)＝eq \r(3)，
設(shè)該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，
因?yàn)椤螧AC＝90°，
所以BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，
因?yàn)閂A⊥AB，VA⊥AC，AB＝AC＝VA＝2，
所以VB＝VC＝eq \r(VA2＋AB2)＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，
由三棱錐的體積公式可得，
3×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2·r＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)·r＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2?r＝eq \f(3－\r(3),3)，
所以r∶R＝eq \f(3－\r(3),3)∶eq \r(3)＝(eq \r(3)－1)∶3.
(2)(2022·全國(guó)乙卷)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大．
設(shè)圓錐的高為h(0

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