2021-2022學(xué)年江蘇省南京市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．（5分）已知且，若集合，2，3，4，，，4，6，，則　　A．， B．， C．，3， D．，3，6，2．（5分）命題“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，3．（5分）已知，若，，，則，，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．4．（5分）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”現(xiàn)有一類似問題，一不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示．用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中的長度為　　A． B． C． D．5．（5分）要得到函數(shù)的圖象，只需　　A．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標(biāo)不變） B．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/span>倍（縱坐標(biāo)不變） C．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位 D．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位6．（5分）已知，，關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為　　A．， B． C．，， D．，，7．（5分）函數(shù)的圖象如圖所示，則　　A．，， B．，， C．，， D．，，8．（5分）設(shè)函數(shù)，，則不等式（2）的解集是　　A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分．9．（5分）已知，，且，則　　A． B． C． D．10．（5分）已知函數(shù)，，對于任意，，，則　　A．的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點 B． C．單調(diào)遞增 D．11．（5分）已知函數(shù)，則　　A．函數(shù)的圖象關(guān)于點，對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 C．若，，則函數(shù)的值域為， D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，12．（5分）已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)，時，，則　　A． B．函數(shù)是周期函數(shù) C．不等式的解集是， D．當(dāng)關(guān)于的方程恰有三個不同的解時，三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．（5分）已知角的終邊經(jīng)過點，，且，則的值為 　　．14．（5分）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：滿足：．若當(dāng)空氣溫度為時，某物體的溫度從下降到用時14分鐘．則再經(jīng)過28分鐘后，該物體的溫度為 　　．15．（5分）設(shè)函數(shù)，若，則　　．若函數(shù)有最小值，且無最大值，則實數(shù)的取值范圍是 　　．16．（5分）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為 　　．四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）已知集合，，，．（1）當(dāng)時，求；（2）在①充分條件，②必要條件這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中．若問題中的存在，求出的取值范圍；若問題中的不存在，請說明理由．問題：是否存在正實數(shù)，使得“”是“”的___？18．（12分）已知函數(shù)．（1）求值；（2）若，求的值．19．（12分）如圖，有一塊半徑為1的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上．記梯形的周長為．（1）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（2）求梯形周長的最大值． 20．（12分）已知，且．（1）若，求的值；（2）求的最小值．21．（12分）已知函數(shù)，．（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；（2）若存在實數(shù)，，使得函數(shù)在區(qū)間，上的值域為，，求實數(shù)的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）設(shè)集合，，，若，求實數(shù)的取值范圍．
2021-2022學(xué)年江蘇省南京市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．（5分）已知且，若集合，2，3，4，，，4，6，，則　　A．， B．， C．，3， D．，3，6，【解答】解：因為且，又集合，2，3，4，，，4，6，，則，3，，故選：．2．（5分）命題“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：因為已知命題為全稱命題，所以該命題的否定是“，”，故選：．3．（5分）已知，若，，，則，，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．【解答】解：在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出三個函數(shù)的圖象，如圖： 由圖可知：．即，故選：．4．（5分）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”現(xiàn)有一類似問題，一不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示．用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中的長度為　　A． B． C． D．【解答】解：設(shè)半徑為，則，，，，即，解得，，即，的長度為．故選：．5．（5分）要得到函數(shù)的圖象，只需　　A．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標(biāo)不變） B．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/span>倍（縱坐標(biāo)不變） C．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位 D．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位【解答】解：將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，故錯誤；將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，故錯誤；將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位，得到函數(shù)，故錯誤；將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位，得到函數(shù)，故正確；故選：．6．（5分）已知，，關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為　　A．， B． C．，， D．，，【解答】解：因為關(guān)于的不等式的解集為，所以，即，則 化為，即，解得故選：．7．（5分）函數(shù)的圖象如圖所示，則　　A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：函數(shù)的定義域為，由圖象可知，，令得，則，，令得，則，，，即，，，故選：．8．（5分）設(shè)函數(shù)，，則不等式（2）的解集是　　A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)，，定義域關(guān)于原點對稱，且，所以是奇函數(shù)，當(dāng)，時，，，，且都為增函數(shù)，（或利用導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)單調(diào)遞增，則當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以令，，解得，則當(dāng)時，（2），不符合題意；當(dāng)時，令（2），則不等式可化為，可知在上單調(diào)遞增，且（2）（2），所以，解得，則，即解集為．故選：．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分．9．（5分）已知，，且，則　　A． B． C． D．【解答】解：對于：由于和的范圍不確定，故不一定成立，故錯誤；對于：由于，所以，故正確；對于：由于，所以，故正確；對于，故，故正確．故選：．10．（5分）已知函數(shù)，，對于任意，，，則　　A．的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點 B． C．單調(diào)遞增 D．【解答】解：因為對于任意，，，令，得，所以，故正確；令，所以，即，所以，即，故正確；令代入得，故正確；任取，，且，由選項可知，函數(shù)為奇函數(shù)，所以代入得，因為，而的符號不確定，所以不能確定函數(shù)的單調(diào)性，故錯；故選：．11．（5分）已知函數(shù)，則　　A．函數(shù)的圖象關(guān)于點，對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 C．若，，則函數(shù)的值域為， D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，【解答】解：已知函數(shù)，對于：當(dāng)時，，故正確；對于：當(dāng)時，，故錯誤；對于：由于，故，故．故的值域為，故錯誤；對于：令，整理得，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故正確．故選：．12．（5分）已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)，時，，則　　A． B．函數(shù)是周期函數(shù) C．不等式的解集是， D．當(dāng)關(guān)于的方程恰有三個不同的解時，【解答】解：由題意可知，，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，故正確；對于選項，（1），故錯誤；對于選項，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，因為，，所以，則函數(shù)關(guān)于對稱，所以當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，則可作出函數(shù)在一個周期，上的圖象，如圖所示， 所以在一個周期，時，，解得，所以在整個定義域上，的解集是，，故正確；對于，根據(jù)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，也有三個不同的解，故錯誤．故選：．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．（5分）已知角的終邊經(jīng)過點，，且，則的值為 　　．【解答】解：角的終邊經(jīng)過點，，且，解得（負(fù)值舍去）； 則．故答案為：．14．（5分）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：滿足：．若當(dāng)空氣溫度為時，某物體的溫度從下降到用時14分鐘．則再經(jīng)過28分鐘后，該物體的溫度為 　37.5　．【解答】解：，又當(dāng)空氣溫度為時，某物體的溫度從下降到用時14分鐘，，解得，當(dāng)過了42分鐘，．故答案為：37.5．15．（5分）設(shè)函數(shù)，若，則　　．若函數(shù)有最小值，且無最大值，則實數(shù)的取值范圍是 　　．【解答】解：，又，，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)有最小值，且無最大值，，解得，故實數(shù)的取值范圍為．故答案為：；．16．（5分）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為 　　．【解答】解：因為正實數(shù)，滿足，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號，此時取得最小值．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）已知集合，，，．（1）當(dāng)時，求；（2）在①充分條件，②必要條件這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中．若問題中的存在，求出的取值范圍；若問題中的不存在，請說明理由．問題：是否存在正實數(shù)，使得“”是“”的___？【解答】解：集合，，（1）當(dāng)時，，，所以；（2）選①，即“”是“”的充分條件，則，顯然此時集合，即，所以，則有，解得；所以的取值范圍是，．選②，即“”是“”的必要條件，則，當(dāng)時，，此時滿足條件；當(dāng)時，，，則有，此時不等式組無解；綜上，的取值范圍是，．18．（12分）已知函數(shù)．（1）求值；（2）若，求的值．【解答】解：（1），所以；（2）由（1）得：，故．19．（12分）如圖，有一塊半徑為1的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上．記梯形的周長為．（1）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（2）求梯形周長的最大值． 【解答】解：（1）過點作垂直于于點，如圖所示，下底是半圓的直徑，，，，又，，，梯形的周長，且，即，．（2），，設(shè)，則，，當(dāng)時，取得最大值5，即當(dāng)時，取得最大值5．20．（12分）已知，且．（1）若，求的值；（2）求的最小值．【解答】解：（1）若，則，即，所以，解得或，（2）因，則，，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，令，則，，，，，即的最小值為．21．（12分）已知函數(shù)，．（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；（2）若存在實數(shù)，，使得函數(shù)在區(qū)間，上的值域為，，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意，，設(shè)，則，若，則，，，則有，即函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，若存在實數(shù)，，使得函數(shù)在區(qū)間，上的值域為，，則有且，變形可得且，則方程存在兩個正根，設(shè)，又由函數(shù)，，則，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為9，沒有最大值，若存在兩個正根，必有，故的取值范圍為．22．（12分）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）設(shè)集合，，，若，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時，，定義域為．且．故為奇函數(shù)；當(dāng) 時，，（1），（1），即（1），且（1），因此既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；綜上，當(dāng)時，為奇函數(shù)；當(dāng)時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）由得，整理得，由題意知，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，則，即，設(shè)，，，①當(dāng)，即時，，即，又，所以；②當(dāng)，即時，，即，又，所以；③當(dāng)，即時，，即，又，所以；綜上，．當(dāng)時，，即，因為，所以恒成立，由此，故的取值范圍是，．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/8/1 9:02:45；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號：42412367

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