?2020-2021學(xué)年江蘇省南京市建鄴區(qū)中華中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是　　
A． B．4 C． D．
2．連續(xù)拋擲同一顆骰子2次，向上的點(diǎn)數(shù)之和正好等于8的概率為　　
A． B． C． D．
3．如圖，已知，用，表示，則等于　　

A． B． C． D．
4．求值：　　
A． B． C． D．
5．在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為　　
A． B． C． D．
6．江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體于2020年進(jìn)行了一次校際數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過(guò)評(píng)判，這100名參賽者的得分都在，之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是　　

A．得分在，之間的共有40人
B．從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在，的概率為0.5
C．這100名參賽者得分的中位數(shù)為65
D．可求得
7．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．且，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
8．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面與平面的交線為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是　　

A．平面
B．
C．直線與所成角的正切值為
D．平面截四棱錐所得的上下兩部分幾何體的體積之比為
二、多項(xiàng)選擇題
9．從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率為，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球．下列結(jié)論正確的是　　
A．2個(gè)球都是紅球的概率為
B．2個(gè)球不都是紅球的概率為
C．至少有1個(gè)紅球的概率為
D．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為
10．函數(shù)，下列結(jié)論正確的是　　
A．在區(qū)間，上單調(diào)遞增
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．將的圖象向左平移個(gè)單位后與的圖象重合
D．若，則
11．三棱錐中，已知平面，，且，則下列說(shuō)法正確的有　　
A． B．平面
C．二面角的大小為 D．三棱錐的外接球表面積為
12．《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書(shū)十八卷共八十一個(gè)問(wèn)題，分為九類，每類九個(gè)問(wèn)題，《數(shù)書(shū)九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊，，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，請(qǐng)運(yùn)用上述公式判斷下列命題正確的是　　
A．周長(zhǎng)為 B．
C．的外接圓半徑為 D．中線的長(zhǎng)為
三、填空題
13．在一次機(jī)器人比賽中，有供選擇的型機(jī)器人和型機(jī)器人若干，從中選擇一個(gè)機(jī)器人參加比賽，型機(jī)器人被選中的概率為，若型機(jī)器人比型機(jī)器人多4個(gè)，則型機(jī)器人的個(gè)數(shù)為 　?。?br /> 14．為了了解高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為1200的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比依次為．已知高一年級(jí)共抽取了200人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為 　?。?br /> 15．已知，，兩兩垂直且，，，則過(guò)、、、四點(diǎn)的球的體積為 　　．
16．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，滿足，．若，則的周長(zhǎng)為 　?。?br /> 四、解答題
17．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足．
（1）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且實(shí)部為，計(jì)算：；
（2）若，是純虛數(shù)，求．
18．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)．某市宣傳部門(mén)為了解全民使用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周使用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)長(zhǎng)．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．
（1）宣傳部為了了解大家使用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從使用時(shí)長(zhǎng)為，和，的兩組中抽取6人參加一個(gè)座談會(huì)．
①這兩組分別抽取的人數(shù)；
②從上述參加座談會(huì)的6人中隨機(jī)抽取兩人發(fā)言，求使用時(shí)長(zhǎng)為，的小組中至少有1人發(fā)言的概率；
（2）根據(jù)如圖，估計(jì)所有被調(diào)查人員使用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

19．（1）已知，，求；
（2）已知，，求的值．
20．如圖，在棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面平面．
（1）求直線與平面所成角的正弦值；
（2）求證：．

21．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，．
（1）若，求角；
（2）求的最大值．
22．在中，．
（1）若，求的值；
（2）設(shè)向量，，且，求的值．

2020-2021學(xué)年江蘇省南京市建鄴區(qū)中華中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題
1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是　　
A． B．4 C． D．
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則直接求解．
【解答】解：復(fù)數(shù)滿足，
，
的虛部是4．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．連續(xù)拋擲同一顆骰子2次，向上的點(diǎn)數(shù)之和正好等于8的概率為　　
A． B． C． D．
【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出向上的點(diǎn)數(shù)之和為8包含的基本事件個(gè)數(shù)，即可求解．
【解答】解：連續(xù)拋擲同一顆骰子2次，基本事件總數(shù)，
向上的點(diǎn)數(shù)之和為8包含的基本事件有，，，，共5個(gè)，
向上的點(diǎn)數(shù)之和正好等于8的概率為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，解題是要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
3．如圖，已知，用，表示，則等于　　

A． B． C． D．
【分析】由已知可得，然后利用三角形法則化簡(jiǎn)即可求解．
【解答】解：由已知可得，
則
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．求值：　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的兩角差公式，即可求解．
【解答】解：，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及余弦函數(shù)的兩角差公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
5．在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為　　
A． B． C． D．
【分析】由，得是直線與所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理，求出直線與所成的角．
【解答】解，是直線與所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，，
，
，
直線與所成的角為．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角和余弦定理，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6．江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體于2020年進(jìn)行了一次校際數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過(guò)評(píng)判，這100名參賽者的得分都在，之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是　　

A．得分在，之間的共有40人
B．從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在，的概率為0.5
C．這100名參賽者得分的中位數(shù)為65
D．可求得
【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)直接求解．
【解答】解：由頻率分布直方圖得：
對(duì)于，得分在，之間有：人，故正確；
對(duì)于，從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在，的概率為：
，故正確；
對(duì)于，，解得，故正確；
對(duì)于，，的頻率為，
，的頻率為，
這100名參賽者得分的中位數(shù)為：，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)、概率、中位數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
7．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．且，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：由于，，
所以，
故，
所以，
由于，
所以，
則，
故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面與平面的交線為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是　　

A．平面
B．
C．直線與所成角的正切值為
D．平面截四棱錐所得的上下兩部分幾何體的體積之比為
【分析】對(duì)于，取中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出與重合，從而，進(jìn)而平面；
對(duì)于，由，且，得；
對(duì)于，由知，是直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出直線與所成角的余弦值；
對(duì)于，截面就是平面，先分別求出，，由此能求出平面截四棱錐所得的上、下兩部分幾何體的體積之比．
【解答】解：對(duì)于，取中點(diǎn)，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
過(guò)，，三點(diǎn)的平面與平面的交線為，
與重合，，平面，平面，平面，故正確；
對(duì)于，由知，底面，，則，故正確；
對(duì)于，由知，是直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），
四棱錐的底面為矩形，底面，，，
，
直線與所成角的余弦值為：，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，由知截面就是平面，下半部分分為四棱錐和三棱錐．
所以下部分體積為：，所以上部分，上下之比就是．故正確．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題
9．從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率為，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球．下列結(jié)論正確的是　　
A．2個(gè)球都是紅球的概率為
B．2個(gè)球不都是紅球的概率為
C．至少有1個(gè)紅球的概率為
D．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中概率計(jì)算是否正確，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于，2個(gè)球都是紅球的概率，正確；
對(duì)于，2個(gè)球不都是紅球的概率，錯(cuò)誤；
對(duì)于，2個(gè)球都不是紅球的概率為，至少有1個(gè)紅球的概率，正確；
對(duì)于，2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率，正確；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件和相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，注意分析事件之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
10．函數(shù)，下列結(jié)論正確的是　　
A．在區(qū)間，上單調(diào)遞增
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．將的圖象向左平移個(gè)單位后與的圖象重合
D．若，則
【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)得，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析可得答案．
【解答】解：，
對(duì)于，，，，，因此在區(qū)間，上單調(diào)遞增，故正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，為最大值，故正確；
對(duì)于，因?yàn)?，即將的圖象向左平移個(gè)單位后不與的圖象重合，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，若，則，，故正確；
綜上所述，結(jié)論正確的為，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性及平移變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
11．三棱錐中，已知平面，，且，則下列說(shuō)法正確的有　　
A． B．平面
C．二面角的大小為 D．三棱錐的外接球表面積為
【分析】對(duì)于，反證法判斷錯(cuò)誤；
對(duì)于，線面垂直的判定定理判斷正確；
對(duì)于，建系，求法向量，根據(jù)向量夾角公式來(lái)求二面角的大?。?br /> 對(duì)于，為外接球的直徑，進(jìn)而利用球的表面積公式求出外接球表面積．
【解答】解：對(duì)于，若，又，，
則平面，所以，與矛盾，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，平面，所以平面平面，故 正確；
對(duì)于，過(guò)點(diǎn)作，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，1，，，0，，
所以．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，
則，即，?。?br /> ，即，取，，
所以，于是，故正確；
對(duì)于，三棱錐外接球的直徑為，
所以表面積為，故 正確．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反證法的應(yīng)用，考查線面垂直的證明，利用空間向量求二面角，考查三棱錐的外接球，考查直觀想象能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
12．《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書(shū)十八卷共八十一個(gè)問(wèn)題，分為九類，每類九個(gè)問(wèn)題，《數(shù)書(shū)九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊，，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，請(qǐng)運(yùn)用上述公式判斷下列命題正確的是　　
A．周長(zhǎng)為 B．
C．的外接圓半徑為 D．中線的長(zhǎng)為
【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，余弦定理三角形的面積公式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，中線向量的應(yīng)用和向量的模的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．
【解答】解：由于滿足，且，
利用正弦定理：，
故，，，
故：
整理得，
故，，，故三角形的周長(zhǎng)為，故錯(cuò)誤；
利用余弦定理：，由于，故，故正確；
利用正弦定理，解得，故正確；
利用，所以，故，與矛盾，故錯(cuò)誤；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，余弦定理三角形的面積公式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，中線向量的應(yīng)用和向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
三、填空題
13．在一次機(jī)器人比賽中，有供選擇的型機(jī)器人和型機(jī)器人若干，從中選擇一個(gè)機(jī)器人參加比賽，型機(jī)器人被選中的概率為，若型機(jī)器人比型機(jī)器人多4個(gè)，則型機(jī)器人的個(gè)數(shù)為 　8　．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)有型機(jī)器人個(gè)，則型機(jī)器人有個(gè)，由古典概型公式可得有，解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)有型機(jī)器人個(gè)，則型機(jī)器人有個(gè)，
則有，解可得，
即型機(jī)器人的個(gè)數(shù)為8．
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的計(jì)算，注意古典概型的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．
14．為了了解高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為1200的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比依次為．已知高一年級(jí)共抽取了200人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為 　400?。?br /> 【分析】利用分層抽樣的比例關(guān)系列式求解．
【解答】解：由條件有，解得，所以高三年級(jí)抽取的人數(shù)為人．
故答案為：400．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．
15．已知，，兩兩垂直且，，，則過(guò)、、、四點(diǎn)的球的體積為 　　．
【分析】把三棱錐放置在棱長(zhǎng)分別為，，的長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，可得外接球的半徑，代入球的體積公式得答案．
【解答】解：如圖，

把三棱錐放置在棱長(zhǎng)分別為，，的長(zhǎng)方體中，
可得過(guò)、、、四點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體的外接球，
外接球的半徑，
則外接球的體積．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體外接球體積的求法，訓(xùn)練了分割補(bǔ)形法，是基礎(chǔ)題．
16．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，滿足，．若，則的周長(zhǎng)為 　　．
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，結(jié)合的范圍可得的值，再根據(jù)正弦定理，余弦定理，求出，從而求出三角形的周長(zhǎng)．
【解答】解：，
，
，即，
又，
，
又，
由正弦定理得：，
，
則由正弦定理得：，①，
又由余弦定理得：，
，可得，則，
代入①得：，
，
解得：，即．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角恒等變換，正余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．
四、解答題
17．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足．
（1）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且實(shí)部為，計(jì)算：；
（2）若，是純虛數(shù)，求．
【分析】（1）設(shè)，由求得，則可求，代入，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案；
（2）設(shè)，結(jié)合，利用為純虛數(shù)得，結(jié)合求得與的值，則答案可求．
【解答】解：（1）設(shè)，由，得，解得，
，；
（2）設(shè)，又，
，
則，解得或，
則或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．
18．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)．某市宣傳部門(mén)為了解全民使用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周使用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)長(zhǎng)．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．
（1）宣傳部為了了解大家使用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從使用時(shí)長(zhǎng)為，和，的兩組中抽取6人參加一個(gè)座談會(huì)．
①這兩組分別抽取的人數(shù)；
②從上述參加座談會(huì)的6人中隨機(jī)抽取兩人發(fā)言，求使用時(shí)長(zhǎng)為，的小組中至少有1人發(fā)言的概率；
（2）根據(jù)如圖，估計(jì)所有被調(diào)查人員使用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

【分析】（1）①先分別求出兩組中的總?cè)藬?shù)，然后由分層抽樣的特點(diǎn)，即按比例抽取，求解即可；
②利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）由頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可．
【解答】解：（1）①使用時(shí)長(zhǎng)，的人數(shù)為人，
使用時(shí)長(zhǎng)為，的人數(shù)為人，
由分層抽樣，時(shí)長(zhǎng)為，組中抽取人數(shù)為人，
時(shí)長(zhǎng)為，組中抽取人數(shù)為人；
②上述參加座談會(huì)的6人中隨機(jī)抽取兩人，共有種，
使用時(shí)長(zhǎng)為，的小組中沒(méi)有人發(fā)言共有種，
所以使用時(shí)長(zhǎng)為，的小組中至少有1人發(fā)言的概率為；
（2）所有被調(diào)查人員使用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)為：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，古典概型概率公式的應(yīng)用，分層抽樣方法的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
19．（1）已知，，求；
（2）已知，，求的值．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式，可得，再結(jié)合余弦函數(shù)的兩角差公式，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合正切函數(shù)的二倍角公式和兩角和公式，即可求解．
【解答】解：（1），，
，
．
（2），
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的兩角和公式與兩角差公式，以及三角函數(shù)的同角公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
20．如圖，在棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面平面．
（1）求直線與平面所成角的正弦值；
（2）求證：．

【分析】（1）利用正三棱柱的幾何性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理可得，平面，從而得到即為與平面所成的角，在三角形中，利用邊角關(guān)系求解即可；
（2）由正三棱柱的幾何性質(zhì)，先證明四邊形為平行四邊形，再證明四邊形為平行四邊形，可證明，由線面平行的判定定理證明平面，由線面平行的性質(zhì)定理證明即可．
【解答】（1）解：因?yàn)槿庵鶠檎庵?br /> 則平面，為等邊三角形，
又平面，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
因?yàn)椋矫妫?br /> 則平面，
故即為與平面所成的角，
因?yàn)槠矫妫移矫妫?br /> 則，
又三棱柱的棱長(zhǎng)均為2，
則是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是邊長(zhǎng)為2的正方形，
則，，
故，
所以直線與平面所成角的正弦值為；
（2）證明：在正三棱柱中，四邊形為矩形，，，
因?yàn)椋鶠橹悬c(diǎn)，則，，
則四邊形為平行四邊形，
故，，
在正三棱柱中，，，
所以四邊形為平行四邊形，
則，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，直線與平面所成角的求解，在使用幾何法求線面角時(shí)，可通過(guò)已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過(guò)解直角三角形求得，屬于中檔題．
21．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，．
（1）若，求角；
（2）求的最大值．
【分析】（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果；
（2）利用正弦定理、余弦定理和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：（1）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，．
整理得：，
故，
所以，
由于，
利用正弦定理：，
整理得，
整理得：，
故或，
故．
（2）由于，
整理得，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．
則的最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
22．在中，．
（1）若，求的值；
（2）設(shè)向量，，且，求的值．
【分析】（1）先求出，結(jié)合題意可得，由正弦定理得，進(jìn)而得，再結(jié)合即可求出答案；
（2）由可得，進(jìn)而求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出的值．
【解答】解：（1），因?yàn)椋裕?br /> 所以．
因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，
則，又，故，
由正弦定理可得，
等式兩邊同時(shí)除以得，
則，
解得或．
當(dāng)時(shí)，，則，
又，矛盾．
所以．
（2）因?yàn)?，所以?br /> 所以，
所以，即，又，
所以或，
當(dāng)時(shí)，由 1 知，由正切函數(shù)單調(diào)性可得，
所以，又，于是，矛盾．
所以，所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查正弦定理，考查三角恒等變換公式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/23 17:51:16；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號(hào)：26722394

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