2020-2021學年江蘇省常州市教育學會高一（下）期中數學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）1．（5分）函數的最小正周期是　　A． B． C． D．2．（5分）在中，已知，那么最小內角的余弦值為　　A． B． C． D．3．（5分）把函數的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象所對應的函數的解析式是　　A． B． C． D．4．（5分）歐拉公式為虛數單位，為自然對數的底數）是由瑞士著名數學家歐拉給出的，被譽為“數學中的天橋”．根據歐拉公式，表示的復數在復平面中對應的點位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（5分）已知向量與向量共線，則　　A． B．3 C． D．6．（5分）若，且，（其中，則　　A． B． C．2 D．7．（5分）邊長為2的菱形中，為邊的中點，若，則　　A．1 B．3 C． D．8．（5分）在中，，為邊上一點，，，，則　　A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）9．（5分）設向量，，則下列命題中正確的有　　A．的最小值為3 B．的最小值為3 C．若，則 D．若，則10．（5分）設，是復數，則下列命題中正確的有　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，，則11．（5分）若函數，則　　A．的最大值是4 B．的最小正周期是 C．的圖象關于直線對稱 D．在區(qū)間，上單調遞減12．（5分）設，，分別為的內角，，的對邊，下列條件中，可以判定一定為等腰三角形的有　　A． B． C． D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上）13．（5分）在平面直角坐標系中，角，的始邊均為軸的正半軸，若點，分別在，的終邊上，則實數的值是　　．14．（5分）在平面四邊形中，，，，，，則　　．15．（5分）笛卡爾坐標系是直角坐標系與斜角坐標系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標系中，兩坐標軸的正半軸的夾角為，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序實數對為在該斜角坐標系下的坐標．若向量，在該斜角坐標系下的坐標分別為，，當　　時，．16．（5分）用表示，則　　；利用該等式并結合，可得　　．四、解答題（本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知平面向量，滿足，，，的夾角為．（1）求；（2）求．18．（12分）已知定義在上的函數，，在時取到最大值，的最小的正的零點為．（1）求的解析式；（2）若關于的方程在區(qū)間，上有實根，求實數的取值范圍．19．（12分）已知虛數滿足，為虛數單位．（1）若是純虛數，求；（2）求證：為純虛數．20．（12分）在中，，，分別為的內角，，的對邊，．（1）求；（2）若，求．21．（12分）如圖，在直角梯形中，，，，，點，分別在線段，上（均不與重合），且，．（1）求；（2）求邊的長．22．（12分）已知有半徑為，圓心角為（其中為給定的銳角）的扇形鐵皮，現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據下列方案之一，裁剪出一個矩形．方案1：如圖1，裁剪出的矩形的頂點，在線段上，點在弧上，點在線段上；方案2：如圖2，裁剪出的矩形的頂點，分別在線段，上，頂點，在弧上，并且滿足，其中點為弧的中點．（1）按照方案1裁剪，設，用表示矩形的面積，并求出其最大面積；（2）按照方案2裁剪，求矩形的最大面積，并與（1）中的結果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形．
2020-2021學年江蘇省常州市教育學會高一（下）期中數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）1．【分析】直接利用正弦函數的周期公式求解即可．【解答】解：由正弦函數的周期公式可得：；故選：．2．【分析】由正弦定理可得，進而可用表示，，可求為三角形的最小內角，代入余弦定理化簡即可得解．【解答】解：，由正弦定理可得，，，為三角形的最小內角，由余弦定理可得．故選：．3．【分析】由題意利用函數的圖象變換規(guī)律，得出結論．【解答】解：由題意，將函數的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，故選：．4．【分析】由題意可得，再根據3的范圍即可求解．【解答】解：由題意可得，因為，所以，，所以表示的復數在復平面中對應的點位于第二象限，故選：．5．【分析】由題意利用兩個向量平行的性質求得，再利用二倍角的正切公式，計算求得結果．【解答】解：向量與向量共線，，，則，故選：．6．【分析】由已知結合兩角和與差的正弦公式及同角基本關系進行化簡即可求解．【解答】解：因為，且，（其中，所以，所以，即，則．故選：．7．【分析】首先將，分別用向量，表示，然后進行數量積的運算即可．【解答】解，，，故選：．8．【分析】在中，先由余弦定理求，然后結合誘導公式及同角基本關系求，在中由正弦定理代入即可求解．【解答】解：，為邊上一點，，，，中，由余弦定理可得，，，中，由正弦定理，可得．故選：．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）9．【分析】根據條件可得出，，從而可判斷選項錯誤，正確；時，可得出，從而判斷正確；時，可得出，從而判斷正確．【解答】解：，，，，的最小值為1，的最小值為3，若，則，，若，則，．故選：．10．【分析】利用復數的概念和復數的模長定義求解．【解答】解：對于選項：設，，，，，若，則，所以，所以，，即，故選項正確，對于選項：令，，則，而，，所以，故選項錯誤，對于選項：令，，則，而，，故選項錯誤，對于選項：由題意可知，表示以原點為圓心，1為半徑的圓上的點，表示以點為圓心，2為半徑的圓上的點，所以表示，的距離，，，，故選項正確，故選：．11．【分析】利用倍角公式可得，利用余弦函數的性質對、、、四個選項逐一分析可得答案．【解答】解：，的最大值是，故錯誤；的最小正周期，故正確；當時，，的圖象關于直線對稱，故正確；，，，在區(qū)間，上單調遞增，故錯誤，故選：．12．【分析】由已知結合正弦定理及和差角公式進行化簡檢驗各選項即可判斷．【解答】解：因為，由正弦定理得，即，所以或，所以或，為等腰三角形或直角三角形，不符合題意；因為，由正弦定理得，即，所以，即一定為等腰三角形，符合題意；因為，由正弦定理得，即，所以，一定為等腰三角形，符合題意；因為，所以，所以，所以，即，所以，一定為等腰三角形，符合題意．故選：．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上）13．【分析】根據任意角的三角函數定義分別求出和，然后利用兩角和的正切函數公式及特殊角的三角函數值得到一個關于的方程，進而可求出的值．【解答】解：由題意得，，而，解得．故答案為：．14．【分析】設，，在中利用勾股定理可求，可求，由余弦定理，由，可得，解得的值，進而可求的值．【解答】解：設，，在中，，所以，在中，由余弦定理，由于，所以，即，整理可得，解得或（舍去），即，所以．故答案為：9．15．【分析】根據題意，得到，，再利用數量積的法則，把式子展開即可求出．【解答】解：由題意得，，，，，．故答案為：．16．【分析】將化簡為，利用兩角和差的公式和二倍角公式化簡即可得解；利用三角函數恒等變換的應用轉化為即可求的值．【解答】解：．，，，，，可得，可得，可得，可得，解得，（負值舍去）．故答案為：，．四、解答題（本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．【分析】（1）利用數量積的定義即可求解．（2）利用已知條件，通過向量的模以及數量積的運算法則，轉化求解即可．【解答】解：（1），，，的夾角為，，（2），，．18．【分析】（1）由函數的最大值求出，由周期求出，由最值點求出的值，可得函數的解析式．（2）由題意利用正弦函數的定義域和值域，求得的值．【解答】解：（1）定義在上的函數，，在時取到最大值，的最小的正的零點為，，，．再根據，，，，．（2）關于的方程 在區(qū)間，上有實根，即 在區(qū)間，上有實根，當，，，，，，故，，故的取值范圍為，．19．【分析】（1）設，，，，由，可得．由是純虛數，可得，，解得，即可得出．（2）由在為虛數，得，利用，代入化簡即可證明結論．【解答】解：（1）設，，，，，．是純虛數，，，又，解得：，或．，；（2）證明：由在為虛數，得，，，，為純虛數．20．【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得，由余弦定理可得，結合，可求的值．（2）由已知利用三角函數恒等變換的應用可求，可求范圍，利用同角三角函數基本關系式可求的值，根據，利用兩角和的余弦函數公式即可計算得解的值．【解答】解：（1）因為，所以由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，所以．（2）因為由（1）可得，又，所以，又，可得，所以，由，可得，可得，所以．21．【分析】（1）利用向量數量積的定義可以求出，進而可求，最后求出．（2）在兩個直角三角形中，求出和，利用可求出．【解答】解：（1）設，則，，則，為銳角，，．（2）過作于，則，，，設，則在中，，在中，，，，，即，解得或（舍去），．22．【分析】（1）分別用含有的三角函數表示，，寫出矩形面積，利用三角函數求最值；（2）在圖2中，設與邊，分別交于，，則利用（1）的結論，可以得到矩形的最大面積為，根據對稱性，矩形的最大面積為．然后利用作差法比較大?。?/span>【解答】解：（1）在圖1中，，，，，，，當時，矩形的最大面積為；（2）在圖2中，設與邊，分別交于，，則利用（1）的結論，可以得到矩形的最大面積為，根據對稱性，矩形的最大面積為．為銳角，，于是．因此，．故按照方案1可以裁剪出面積最大的矩形，其最大面積為．聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/3/11 19:11:09；用戶：高中數學6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學號：42412367

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