?2020-2021學(xué)年江蘇省常州市部分學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1．（5分）已知，則　　
A． B． C． D．
2．（5分）在等邊中，，為邊的中點(diǎn)，則的值為　　
A． B． C． D．
3．（5分）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年8月在成都舉行，舉辦方將招募志愿者在賽事期間為運(yùn)動(dòng)會(huì)提供咨詢、交通引導(dǎo)、場(chǎng)館周邊秩序維護(hù)等服務(wù)．招募的志愿者需接受專(zhuān)業(yè)培訓(xùn)，甲、乙兩名志愿者在培訓(xùn)過(guò)程中進(jìn)行了六次測(cè)試，其測(cè)試成績(jī)（單位：分）如折線圖所示，則下列說(shuō)法正確的是　　

A．甲成績(jī)的中位數(shù)比乙成績(jī)的中位數(shù)大
B．甲成績(jī)的眾數(shù)比乙成績(jī)的眾數(shù)小
C．甲成績(jī)的極差比乙成績(jī)的極差小
D．乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定
4．（5分）已知，則的值等于　　
A． B． C． D．
5．（5分）如圖，已知平面，，且．設(shè)梯形中，，且，．則下列結(jié)論一定正確的是　　

A． B．直線與可能為異面直線
C．直線與可能為異面直線 D．直線，，相交于一點(diǎn)
6．（5分）2021年江蘇進(jìn)入新高考模式，數(shù)學(xué)增加了多選題，已知在多項(xiàng)選擇題的四個(gè)選項(xiàng)、、、中，有多項(xiàng)符合題目要求．規(guī)定：全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分．若某題的正確答案是，某考生隨機(jī)選了一些選項(xiàng)（選項(xiàng)個(gè)數(shù)大于或等于，則其得分的概率為　　
A． B． C． D．
7．（5分）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，若滿足條件，的三角形有兩個(gè)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
8．（5分）如圖，點(diǎn)在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中不一定正確的是　　

A．平面 B．平面平面
C．三棱錐的體積不變 D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.
9．（5分）若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則　　
A．的虛部為
B．的模為
C．的共軛復(fù)數(shù)為
D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
10．（5分）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則　　
A．
B．四面體的表面積為
C．四面體的體積為
D．四面體的外接球半徑為
11．（5分）下列命題正確的有　　
A．
B．若，把向右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為
C．在中，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)是的重心
D．在中，若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心
12．（5分）在中，滿足，則下列說(shuō)法正確的是　　
A．
B．
C．若，為不同象限角，則的最大值為
D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）從含有兩件正品，和一件次品的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率為　　．
14．（5分）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，且，平均數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為　?。?br /> 15．（5分）已知向量、滿足為單位向量，且，，則向量、的夾角是 　?。?br /> 16．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，則由點(diǎn)、、確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于 　?。?br />
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（10分）（1）計(jì)算：為虛數(shù)單位）；
（2）已知是一個(gè)復(fù)數(shù)，求解關(guān)于的方程．為虛數(shù)單位）．
18．（12分）已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
19．（12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）設(shè)，，延長(zhǎng)到點(diǎn)使，求的面積．
20．（12分）如圖，三棱錐的底面是等腰直角三角形，其中，，平面平面，點(diǎn)，，，分別是，，，的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)與平面所成的角為時(shí)，求四棱錐的體積．

21．（12分）習(xí)近平總書(shū)記指出：“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛(ài)的社會(huì)心態(tài)．”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取位市民進(jìn)行心理健康問(wèn)卷調(diào)查，按所得評(píng)分（滿分100分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：
調(diào)查評(píng)分
，
，
，
，
，
，
心理等級(jí)
有隱患
一般
良好
優(yōu)秀
并繪制如圖所示的頻率分布直方圖已知調(diào)查評(píng)分在，的市民為400人．
（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；
（2）在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取3人，進(jìn)行心理疏導(dǎo)據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在，的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評(píng)分在，的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問(wèn)在抽取的3人中，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少？
（3）心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門(mén)設(shè)定的預(yù)案是以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于0.8，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說(shuō)明理由．（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)問(wèn)卷調(diào)查評(píng)分
22．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，，，．
（1）若平面與平面的交線為，求證：；
（2）求直線與平面所成角的正切值；
（3）求直線與所成角的余弦值．


2020-2021學(xué)年江蘇省常州市部分學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1．（5分）已知，則　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算即可求解．
【解答】解：，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）在等邊中，，為邊的中點(diǎn)，則的值為　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：等邊中，，為邊的中點(diǎn)，
則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
3．（5分）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年8月在成都舉行，舉辦方將招募志愿者在賽事期間為運(yùn)動(dòng)會(huì)提供咨詢、交通引導(dǎo)、場(chǎng)館周邊秩序維護(hù)等服務(wù)．招募的志愿者需接受專(zhuān)業(yè)培訓(xùn)，甲、乙兩名志愿者在培訓(xùn)過(guò)程中進(jìn)行了六次測(cè)試，其測(cè)試成績(jī)（單位：分）如折線圖所示，則下列說(shuō)法正確的是　　

A．甲成績(jī)的中位數(shù)比乙成績(jī)的中位數(shù)大
B．甲成績(jī)的眾數(shù)比乙成績(jī)的眾數(shù)小
C．甲成績(jī)的極差比乙成績(jī)的極差小
D．乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定
【分析】分別計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，眾數(shù)，極差，方差，再判斷即可．
【解答】解：甲的成績(jī)分別為90，93，92，94，96，93，乙的成績(jī)分別為93，94，91，95，92，93，
甲成績(jī)的中位數(shù)為，乙成績(jī)的中位數(shù)為，錯(cuò)誤，
甲成績(jī)的眾數(shù)為93，乙成績(jī)的眾數(shù)為93，錯(cuò)誤，
甲成績(jī)的極差為，乙成績(jī)的極差為，錯(cuò)誤，
甲成績(jī)的平均數(shù)為，甲成績(jī)的方差為，
乙成績(jī)的平均數(shù)為，乙成績(jī)的方差為，
，乙成績(jī)比甲成績(jī)穩(wěn)定，正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求中位數(shù)，極差，平均數(shù)，眾數(shù)和方差的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）已知，則的值等于　　
A． B． C． D．
【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式即可計(jì)算得解．
【解答】解：，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）如圖，已知平面，，且．設(shè)梯形中，，且，．則下列結(jié)論一定正確的是　　

A． B．直線與可能為異面直線
C．直線與可能為異面直線 D．直線，，相交于一點(diǎn)
【分析】由梯形的定義和平面的基本性質(zhì)，結(jié)合圖形，可得結(jié)論．
【解答】解：梯形中，，且，，則不一定成立；
和不為異面直線；和不為異面直線；
由、相交，設(shè)交點(diǎn)為，可得在上，又在平面內(nèi)，可得在平面內(nèi)；
同理可得也在平面內(nèi)，則在平面、的交線上，
即直線，，相交于一點(diǎn)．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線線的位置關(guān)系，以及平面的基本性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）2021年江蘇進(jìn)入新高考模式，數(shù)學(xué)增加了多選題，已知在多項(xiàng)選擇題的四個(gè)選項(xiàng)、、、中，有多項(xiàng)符合題目要求．規(guī)定：全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分．若某題的正確答案是，某考生隨機(jī)選了一些選項(xiàng)（選項(xiàng)個(gè)數(shù)大于或等于，則其得分的概率為　　
A． B． C． D．
【分析】求出基本事件總數(shù)和能得分的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式即可求解．
【解答】解：考生隨機(jī)地選了至少一個(gè)選項(xiàng)，共有：種，
得分的選法有：種，
能得分的概率為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
7．（5分）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，若滿足條件，的三角形有兩個(gè)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【分析】由已知結(jié)合正弦定理及三角形的大邊對(duì)大角即可求解．
【解答】解：由正弦定理得，
所以，
因?yàn)槿切斡袃山猓?br /> 所以且，
所以，
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用正弦定理判斷三角形的解的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）如圖，點(diǎn)在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中不一定正確的是　　

A．平面 B．平面平面
C．三棱錐的體積不變 D．
【分析】對(duì)于，當(dāng)在處時(shí)，符合題意；對(duì)于，由三垂線定理易知平面，進(jìn)而可得平面平面；對(duì)于，由等體積法結(jié)合線面平行的性質(zhì)易判斷正確；對(duì)于，可證得平面，由此得到，而這顯然不成立，由此判斷其錯(cuò)誤．
【解答】解：對(duì)于，當(dāng)在處時(shí)，易知，，而平面，平面，故平面，
故選項(xiàng)可能正確；
對(duì)于，在正方體中，由三垂線定理可得，，，
而，且平面，平面，故平面，
又平面，故平面平面，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，，而，則易知平面，點(diǎn)在上，
則點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，由三垂線定理可知，，
若，則易知平面，則，而這顯然不成立，故選項(xiàng)一定不正確．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查等體積法的運(yùn)用，考查空間想象能力及邏輯推理能力，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.
9．（5分）若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則　　
A．的虛部為
B．的模為
C．的共軛復(fù)數(shù)為
D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
【分析】由可得，利用復(fù)數(shù)的除法法則將轉(zhuǎn)化為、的形式即可對(duì)選項(xiàng)逐一判斷．
【解答】解：由，得，
所以的虛部為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，選項(xiàng)正確；
的共軛復(fù)數(shù)為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限，選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，涉及的模、虛部、幾何意義等，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則　　
A．
B．四面體的表面積為
C．四面體的體積為
D．四面體的外接球半徑為
【分析】、取中點(diǎn)，由面，即有；
、正四面體的表面積等于其四個(gè)面的面積之和，且每一個(gè)面都是正三角形，利用正三角形的面積公式求解即可；
、設(shè)在底面的投影為，求出，從而求得即可得四面體的體積；
、將正四面體，補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體的面上對(duì)角線，根據(jù)正四面體外接球求出外接球的半徑的即可．
【解答】解：，如圖，取中點(diǎn)，連接，，可得，，即可得面，即有，故正確；
、正四面體的各棱長(zhǎng)為，正四面體的表面積．故正確；
、如圖，設(shè)在底面的投影為，則，
，四面體的體積為，故錯(cuò)；
、將正四面體，補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體的面上對(duì)角線，
正四面體的棱長(zhǎng)為，正方體的棱長(zhǎng)為，正四面體的外接球，就是以正四面體的棱為面對(duì)角線的正方體的外接球，球的直徑就是正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，所以正方體的對(duì)角線為，，．故正確．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正四面體的性質(zhì)、體積，屬于中檔題．
11．（5分）下列命題正確的有　　
A．
B．若，把向右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為
C．在中，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)是的重心
D．在中，若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心
【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算，單位向量的應(yīng)用，中線向量，三角形的重心和內(nèi)心的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．
【解答】解：對(duì)于，故正確；
對(duì)于：若，把向右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：在中，若點(diǎn)滿足，
如圖所示：

整理得：以和為鄰邊作平行四邊形，
所以，
則，
則點(diǎn)是的重心，故正確；
對(duì)于：由于為單位向量，
由于，則點(diǎn)的軌跡在角平分線上，即經(jīng)過(guò)的內(nèi)心，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，單位向量的應(yīng)用，中線向量，三角形的重心和內(nèi)心的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
12．（5分）在中，滿足，則下列說(shuō)法正確的是　　
A．
B．
C．若，為不同象限角，則的最大值為
D．
【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可得，
對(duì)于，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式可得，進(jìn)而可求，或，即可判斷；
對(duì)于，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可判斷；
對(duì)于，由，為不同象限角，可得，利用三角函數(shù)恒等變換及基本不等式即可求解，即可判斷；
對(duì)于，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，即可判斷．
【解答】解：因?yàn)?，可得?br /> 所以，
對(duì)于，由題意可得，可得，可得，或，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，故正確；
對(duì)于，因?yàn)椋瑸椴煌笙藿?，所以?br /> 可得，故正確；
對(duì)于，因?yàn)?br /> ，
所以，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換及基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）從含有兩件正品，和一件次品的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率為　?。?br /> 【分析】基本事件總數(shù)，取出的兩件產(chǎn)品都是正品包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率．
【解答】解：從含有兩件正品，和一件次品的3件產(chǎn)品中，按先后順序任意取出兩件產(chǎn)品，每次取出后不放回，
基本事件總數(shù)，
取出的兩件產(chǎn)品都是正品包含的基本事件個(gè)數(shù)，
取出的兩件產(chǎn)品都是正品的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，且，平均數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為　9?。?br /> 【分析】該組數(shù)據(jù)的方差為，先求出該組數(shù)據(jù)的方差，再求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．
【解答】解：一組樣本數(shù)據(jù)，，，，且，平均數(shù)，
則該組數(shù)據(jù)的方差為


，
該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為9．
故答案為：9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法，方差的定義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知向量、滿足為單位向量，且，，則向量、的夾角是 　?。?br /> 【分析】根據(jù)可得出，然后對(duì)兩邊平方即可得出的值，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可得出的值，從而可得出，的夾角．
【解答】解：，，
，
，
又，
，
，
，且，
的夾角是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單位向量的定義，向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角的余弦公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，則由點(diǎn)、、確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于 　?。?br />
【分析】分別取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得出過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形，由此能求出過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積．
【解答】解：分別取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得出過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形，則正六邊形的邊長(zhǎng)，
故截面多邊形的面積等于．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查截面面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（10分）（1）計(jì)算：為虛數(shù)單位）；
（2）已知是一個(gè)復(fù)數(shù)，求解關(guān)于的方程．為虛數(shù)單位）．
【分析】（1）直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案；
（2）設(shè)，則，代入，整理后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得與的值，則答案可求．
【解答】解：（1）
；
（2）設(shè)，則，
代入，
得，即，
則，解得或．
則或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，考查計(jì)算能力，是中檔題．
18．（12分）已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
【分析】（1）由已知結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示及和差角公式及同角平方關(guān)系即可求解，
（2）由已知結(jié)合同角基本關(guān)系可求，然后結(jié)合兩角和的正切公式可求，進(jìn)而可求．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，即．
（2）因?yàn)?，?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)?，且?br /> 所以，
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 【點(diǎn)評(píng)】本題以向量平行為載體，主要考查了兩角和與差的三角公式，同角基本關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
19．（12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）設(shè)，，延長(zhǎng)到點(diǎn)使，求的面積．
【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等可得，化簡(jiǎn)可得：，結(jié)合范圍，情況的值．
（2）由正弦定理可求的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，利用兩角和的正弦公式可求的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【解答】解：（1）．由正弦定理，可得，
可得：，可得：，化簡(jiǎn)可得：，
，
．
（2）由，可得，
可得，
，
所以，可得．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題．
20．（12分）如圖，三棱錐的底面是等腰直角三角形，其中，，平面平面，點(diǎn)，，，分別是，，，的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)與平面所成的角為時(shí)，求四棱錐的體積．

【分析】（1）由，知，再由平面平面，推出平面，然后由面面垂直的判定定理，得證；
（2）連接，則，由平面平面，知平面，連接，則，再求得的長(zhǎng)，然后由，得解．
【解答】（1）證明：由題意知，，
，分別是，的中點(diǎn)，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
（2）解：連接，
，且是的中點(diǎn)，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
連接，則為與平面所成的角，即，
，
而，
，即點(diǎn)到平面的距離為，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為，
四棱錐的體積．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、線面角和棱錐體積的求法，熟練掌握線與面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，以及等體積法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
21．（12分）習(xí)近平總書(shū)記指出：“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛(ài)的社會(huì)心態(tài)．”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取位市民進(jìn)行心理健康問(wèn)卷調(diào)查，按所得評(píng)分（滿分100分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：
調(diào)查評(píng)分
，
，
，
，
，
，
心理等級(jí)
有隱患
一般
良好
優(yōu)秀
并繪制如圖所示的頻率分布直方圖已知調(diào)查評(píng)分在，的市民為400人．
（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；
（2）在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取3人，進(jìn)行心理疏導(dǎo)據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在，的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評(píng)分在，的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問(wèn)在抽取的3人中，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少？
（3）心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門(mén)設(shè)定的預(yù)案是以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于0.8，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說(shuō)明理由．（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)問(wèn)卷調(diào)查評(píng)分
【分析】（1）調(diào)查評(píng)分在，的市民為400人，該區(qū)間的頻率為0.2，即可求解的值，再根據(jù)每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距10為1，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的知識(shí)和概率乘法知識(shí)，即可求解．
（3）根據(jù)頻率分布直方圖，求出平均值，即可求解．
【解答】解：（1）調(diào)查評(píng)分在，的市民為400人，
，
每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距10為1，
，解得．
（2）調(diào)查評(píng)分在，的頻率為0.002，調(diào)查評(píng)分在，的頻率為0.004，
調(diào)查評(píng)分在，的人數(shù)占調(diào)查評(píng)分在，人數(shù)的，
若按分層抽樣抽取3人，則查評(píng)分在，的人數(shù)為1人，調(diào)查評(píng)分在，人數(shù)為2人，
經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，
選出的3人經(jīng)過(guò)心里輔導(dǎo)后，心里等級(jí)均達(dá)不到的概率為，
經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為．
（3）由頻率分布直方圖可得，
，
估計(jì)市民心里健康問(wèn)卷調(diào)查的平均評(píng)分為80.7，
市民心里健康指數(shù)平均值為，
只需發(fā)放心里指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動(dòng)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率、頻數(shù)與樣本容量的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
22．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，，，．
（1）若平面與平面的交線為，求證：；
（2）求直線與平面所成角的正切值；
（3）求直線與所成角的余弦值．

【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明平面，由線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）連結(jié)，取的中點(diǎn)，連接，，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，由線面角的定義得到，為與平面所成的角，在三角形中，由邊角關(guān)系求解即可；
（3）利用直線與所成的角即為直線與所成的角，然后在三角形中，由余弦定理求解即可．
【解答】（1）證明：因?yàn)椋矫?，平面?br /> 所以平面，又平面平面，
所以；
（2）解：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫妫?br /> 所以平面，則平面，
所以是在平面內(nèi)的射影，
則為與平面所成的角，
因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，，
所以四邊形為矩形，
則，，
又，
在中，，
故直線與平面所成角的正切值為；
（3）解：由（2）可知，，
所以直線與所成的角即為直線與所成的角，
連接，在中，，
在中，，又，
則在中，，
所以直線與所成角的余弦值為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面角與異面直線所成角的求解，在使用幾何法求線面角時(shí)，可通過(guò)已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過(guò)解直角三角形求得，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/23 17:48:07；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號(hào)：26722394

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